III

Recherche d'une formule propre pour satisfaire aux expériences précédentes.

i3. Les faits précédents sont certains, étant donnes immédiatement par l’expérience, et il serait intéressant d’en connaître

la loi , et de pouvoir la représenter par les circonstances qui concourent à les produire. Mais il paraît très-difficile , au moins d’après les seules expériences qui précédent, de pouvoir établir sur cet objet quelque chose de précis et de satisfaisant. Toutefois je présenterai ici quelques vues, qui pourront, ce me semble, conduire à une première approximation de ces loix.

Pour cela considérons la figure 5 . e qui représente ce qui a lieu relativement au remou, dans le cas dont il s’agit. KN est le fond du canal , et CF la surface du courant que nous supposerons parallèle au fond, lorsque le canal est libre. MN est la hauteur verticale de la digue au-dessus du fond ou elle est établie. BRPO est la surface de l’eau dans la longueur du regonflement. B est l’origine de ce regonflement, de sorte que l’étendue du remou , où la longueur du regonflement est égale à l’horizontale AD , tirée par l’endroit le plus élevé de la surface du regonflement et prolongée de part et d’autre jusqu’aux points A et D , dont le premier correspond au sommet M de la digue, et l’autre au point B , origine du regonflement.

Le point /?, où les eaux se gonflent subitement, était, dans les expériences précédentes , ainsi qu’on l’a dit plus haut, très-marqué et très-visible , et la moindre valeur de la hauteur BD , a été d’environ trois pouces v et la plus grande a été de près de six pouces.

Maintenant les choses étant dans cet état, il est clair que le courant CB soutient à l’endroit Z?, le regonflement de l’eau

occasioné par la digue, et il se met continuellement en équilibre avec l’effort, que les eaux de ce regonflement font pour se répandre dans l’espace RBCR.

On voit d’après cela que si l’on connaissait la hauteur BD du regonflement, on aurait tout ce qui est relatif au problème dont il s’agit. Car d’après la pente et la dépense du canal, et d après la position et la hauteur de la digue au-dessus du fond, on trouverait facilement la distance du point B ou D à la digue , c’est-à-dire l’étendue AD du remou.

14. Il est facile de voir que les élémens que l’on doit principalement considérer dans cette recherche , sont la vitesse et la direction du courant: mais pour connaître de quelle manière on doit les combiner , il est essentiel de faire quelques observations, pour concevoir comment l’eau BRP est soutenue par la force du courant, qui l'emprêche de se répandre dans l’espace RBCR.

Il est clair que cet équilibre est impossible, et que la surface BR ne peut conserver cette position, sans que sur chaque point de cette surface il ne s’exerce continuellement une pression qui puisse contrebalancer l’effort de la gravité, en vertu de laquelle le liquide se répandrait dans l’espace RBCR.

Or la pression dont il s’agit, ne peut être produite et maintenue que par le courant lui-même. Il faut donc pour cela qu’à l’endroit B et à la rencontre de l’eau refoulée par la digue, les molécules de l’eau affluenle abandonnent leurs directions primitives et en prennent d’autres telles que BR, br , et qu’il s’établisse ainsi un nouveau courant le long de la

surface même BR. On voit par-là comment le liquide peut prendre et conserver la figure BR.

L’existence des courans BR, br , est prouvée d’ailleurs par le fait. Car la surface BR se présente avec des tournoiemens plus ou moins considérables, produits par l’irrégularité du mouvement des particules d’eau , et par l’air qui s’insinue dans les vides que ces particules laissent eutr’elles. L’eau ainsi éparpillée se détache de la surface BR et retombe; mais dès qu’elle touche les filets du courant BR,br, elle est de nouveau entrainée en haut le long de BR, et ce phénomène se renouvelle sans cesse par l’irrégularité du mouvement qui a lieu sur la surface BR. Ces tournoiemens finissent par s’établir d une manière permanente sur cette surface, sur laquelle ils se forment et se reproduisent, et le long de laquelle ils sont continuellement entraînés.

i 5 . D’après cela il résulte que le courant lorsqu’il arrive en B F , produit des phénomènes semblables à ceux qui ont lieu, lorsqu’il rencontre des obstacles quelconques qui s’opposent à sa direction. Si l’obstacle était fixe et donné de position et de figure, on aurait le'cas du choc de l’eau contre une surface immobile. Mais dans le cas actuel, l’obstacle dont il s’agit, est l’eau refoulée elle-même , qui est par conséquent susceptible de mouvement, et toujours plus ou moins agitée et ondoyante ; et la surface qui reçoit le choc, est tout-à-fait inconnue quant à sa forme et à sa position. Ainsi on ne voit pas comment on puisse parvenir à déterminer la hauteur BD de manière qu’elle soit déduite des principes rigoureux du

mouvement des fluides, et qu’en meme temps elle satisfasse aux résultats des expériences.

En nous bournant donc à une simple approximation, supposons que dans la section BF du courant on ait établi un plan fixe, égal à cette section. Nommons v la vitesse moyenne du courant, dont nous supposerons que tous les filets sont également animés; et soit KG = k , GF == l, BD =? Il et

g = 3 o , 1958. Supposons encore que le plan hypothétique BF ne produise d’autre effet que celui de changer la direction de chaque filet au point et à l’instant que celui-ci le fiappe, sans en altérer la vitesse, et sans gêner , au-delà de ce point et après cet instant, le mouvement que le filet prendra.

Cela posé il est clair, que la hauteur verticale à laquelle un filet quelconque , en vertu de ce changement de direction, s’élèvera au-dessus de l’horizontale tirée par le point où le filet a frappé le plan , sera la même pour tous les filets. Cette

hauteur est —~: et ce sera la hauteur à laquelle le

filet supérieur CZ?, ou la surface du courant s’élèvera au-dessus de l’horizontale BE.

Si cette hauteur verticale était égale à celle qui a effectivement lieu dans le cas du remou que nous considérons, on

aurait BD = H =

Telle serait donc l’expression de //, si les choses se pas¬

saient dans le cas du remou, comme dans le cas du plan fixe, que nous avons supposé.

16. Pour voir jusqu’à quel point l’hypothèse précédente s’éloigne de ce qui a effectivement lieu dans le cas du remou, j’ai formé la table suivante relative aux expériences qui précédent. Les quantités qu’elle comprend , sont données immédiatement par l’expérience , et les lettres qu’on y emploie ont la même signification que celle qu’on leur a attribuée dans les n. os précédens et dans la figure 5 . P .

Ainsi h est la hauteur de la section BF du canal prise à l’endroit /?, où le fil de l’eau du courant frappe l’eau refoulée par la digue. Cette hauteur h est déduite, pour chaque expérience, des hauteurs des sections, qu’on a prises en divers endroits à l’amont de la digue, en supposant que la pente superficielle du courant de l’une de ces sections à la suivante, soit uniforme. Ainsi , par exemple, dans la i. ère expérience du i. cr tableau ( n.° 8 ) l’étendue du remou au fil de Peau est de ï S'Pieds^pouc .. p ar tant la hauteur de la section en cet endroit était comprise entre i.P° uc: 8. h * n -& et iJ J 0 Uc g. li s nt - qui sont les hauteurs des sections à 12, pieds et à 18 pieds à l’amont de la digue ( I. Tableau ). De là, par une simple réglé de proportion, on trouve que la hauteur de la section dont il s’agit, était de if ouc -&. li s n 'l .

v est la vitesse moyenne de la section BF , déduite de la dépense du canal et de la grandeur connue de la section BF.

Lc ra PP ort i/ï+r

est déduit de la pente superficielle

du courant dans la partie du canal où se trouve la section BF. Le profil du fond du canal et les hauteurs connues des sections

du courant donnent, pour chaque partie du canal, la valeur

de • Cette valeur est relative à la surface du courant,

mais elle est, dans les expériences dont il s’agit, sensiblement la même que si elle était relative au fond du canal.

// représente la ligne BD , c’est-à-dire la hauteur verticale à laquelle s’établit le point le plus élevé de la surface du regonflement, par rapport au point B de la section BF , où commence le même regonflement. On obtient la valeur de //, pour chaque expérience, en ajoutant à la hauteur de la digue, la hauteur verticale du point le plus élevé de la surface du regonflement par rapport au sommet de la digue, et en soustrayant de cette somme la hauteur du point B au-dessus de l’horizontale qui passe par le fond à l’endroit où l’on établissait les digues. C’est-à-dire on a

BD == Il = MN + PQ — BY —. YX.

Ainsi dans la i. irc expérience du I. Tableau on a

pouc. lign.