BY =LN
sin . ç
AL =.D -X-b — -r— ;
- 1 sin . <p
ac= (p+b--^) .ung-r;
CX> r= /T. tang. p d’où l’on lire
(.) E= (D + b-H-^). ung-r-
Cette équation donnera l’étendue £ du remou , lorsqu on connaîtra b et //.
Pour la valeur de q on a
q — a .iR.(^AN-\- OF ) ou bien
• [°+ i + ff +ïïr;][ 0 + 4—//— ^]- tan s?-
Lorsque D = o, c’est-a-dire lorsqu’il n’y a pas de digue , cette équation donne q = o 5 c’ar dans ce cas on a visiblement
H— o, et b — LN— BY— - 4 — .
sin . ç
Faisons pour abréger ,
sin .
l'équation
h — ( jl y. sip> ^
\ p-\-q ) zg
deviendra
-//). tang.ç
.__V t,a sîni - *
'hv-^-b — //).tang.<p/ zg
En connaissant la valeur de Æ, cette équation donnera celle de II. Si 1 eau au-devant de la digue n’avait pas de vitesse dans le sens horizontal, on aurait, pour déterminer b y l’équation
~ m b [/zgb=:hv-j
où m .est le coefficient de la contraction de la veine , que l’on suppose connu dans chaque cas particulier. Mais nous avons attribué ( n.° i 8 ) au volume q de l’eau refoulée par la digue,
la vitesse dans j e sells horizontal, nous aurons ainsi
cette autre équation
mb h t^.sin. <p . a
^ J /u'-f * [/t-f-fc + jy] + & —J7] . tang. ? "T" ? mb = hv.
Les équations (2) et ( 3 ) serviront à déterminer b et II et l’équation (1) donnera l’étendue du remou.
Ces équations appartiennent au cas, où la hauteur D de la digue est égale à la hauteur verticale .de l’eau dans le canal a 1 aval de la digue, ou plus grande que ceLte hauteur, de sorte que l’eau qui passe sur la digue, tombe librement, et ne souffre aucun retard par celle qui la précédé.
Si la hauteur de la digue est moindre que la hauteur verticale du courant à l’aval de la digue , nommons r cette
hauteur du courant ,Db — r sera la hauteur de la partie libre de la section du courant au-dessus de la digue, et r — D la hauteur de l’aulre partie de la même section : partant au lieu de l’équation ( 3 ), on aura la suivante
m bhv*. sin . ç
' J (2*-(-r— 0 )l/lgi»+t-r) = hv ;
hv+HR+l+/I)(S+l—n). tang.»
à laquelle il faul joindre celle-ci ( 5 ) r^sin.p— hv.
v 1 étant la vitesse moyenne du courant à bavai de la digue. Lorsque D = o, les équations (4) et ( 5 ) sont satisfaites par
les valeurs q =0, m = \v’=ç> r = b ■=.— -, conformé-
sin. <p 5
ment à ce qui doit avoir lieu, par la nature de la question.
Ainsi dans le cas de D < r, on doit employer les équations (1), (2) et (4), en supposant que l’on connaisse la hauteur r, ou la vitesse v du courant à l’aval de la digue.
22. Si le canal est horizontal, il est visible qu’en supposant que le remou se soit établi sur une étendue Z£, et en conservant les dénominations précédentes , on aura
q = aE (k + H)=zaE(D -fè,);.
et l’équation (~^ j ~
deviendra
Hz
/ E(h+H) y ' \hi+E(h+H)J ‘
et au l'eu des équations ( 3 ), (4) et ( 5 ) on aura les suivantes
mbhv » , 2, —
/“+*(/,+77) + = Av ;
mhhv* \ m / i \ ^
( A + tf ) I T ^ I* r ~~ l/ 2g(D + b — r)=zhv,
7V — hv .
Les équations (1)', ( 2 )' et ( 3 )' serviront pour le cas où Ton a D= r, ou D^r- les équations (i)', ( 2 )', (4)' et ( 5 )' ser¬
viront pour le cas où Z></’.
11 est inutile, pour notre objet de considérer le cas d’un canal dont le fond serait vertical; car ce cas se réduit ou à celui d’un jet vertical qui tombe sur la surface de l’eau contenue dans un vase qui en verse toujours autant qu’il en reçoit; ou a celui du choc d’un jet vertical contre un plan horizontal, le long duquel le jet a la liberté de s’échapper : dans le premier cas il 11’y a point de remou dans le courant, à 1 amont de son intersection avec la surface de l’eau contenue dans le vase. Dans l’autre cas le jet, à la rencontre du plan, se regonfle sur une petite hauteur, et prend la figure connue d’une veine qui frappe perpendiculairement une plaque.
Enfin si l’on veut considérer le cas où le courant passe patune ouveiturc entre le fond du canal, et le bord inférieur de la digue, la largeur de l’ouverture étant égale à celle du canal; nommons D la hauteur de la charge d’eau contre la digue, et L la hauteur de l’ouverture, de sorte que 6 + Z>soit la hauteur verticale depuis le niveau de l’eau contre la digue, jusqu’au fond du canal; les équations (i)et(2) resteront les memes, et l’équation ( 3 ) deviendra pour ce cas
mbhv 9 . sin . ®
) ( S-\-b—II ) . ta n g. <p
où les inconnues sont D , E et IL
Si la hauteur verticale r du courant à l’aval de la digue est plus grande que la hauteur b de l’ouverture , on aura , au lieu de l’équation précédente, ces deux autres équations;
mbv* .sin . Ç
+ i [/< + & + //] \S-\- b — //]. tang. ?
mbi/zg(£+b—r) —hv ;
( 5 )" rv' s\n.<p~ hv .
Il est facile de former les équations relatives au cas de r<^b , que nous nous dispenserons d’écrire.
2,3. L’application des équations des deux n. os précédens à des cas particuliers suppose que l’on connaisse d’avance et d’une manière suffisamment exacte le coefficient m : ce sera pour l’ordinaire assez difficile, car ce coefficient peut avoir des valeurs très-différentes entr’elles, selon la forme du sommet ou bord supérieur de la digue , et. des parois latérales du canal, contiguës à la digue. En nous servant de l’équation ( 3 ) mise sous eette forme
mab t+7 • FFP+ rV*»] =/»■>'
pour déterminer la valeur qu’avait m dans chacune de nos expériences, nous avons formé la table suivante
On voit par cette table , que les expériences des trois premiers tableaux , faites dans le canal n.° i , donnent pour m des valeurs qui ne s’éloignent pas beaucoup entr'elles , et dont la moyenne o,6i3 est égale à celle qui a lieu pour les orifices percés en minces parois. Les expériences du IY tableau , faites dans le canal n.° 2, donnent pour la valeur moyenne du même coefficient, m = 0,700; ce qui fait voir que dans ce canal avait lieu une moindre contraction.
Au reste outre que les valeurs précédentes de m sont subordonnées aux hypothèses, sur lesquelles sont fondées les équations (2) et (3) , on doit encore noter les circonstances suivantes des canaux, clans lesquels ces expériences ont été faites. Les digues étaient établies dans des rainures pratiquées dans le fond et dans les parois de ces canaux. Ces rainures , larges et profondes un pouce, s’élevaient à toute la hauteur des parois , de sorte que les deux parois entre lesquelles se trouvait la section du courant au-dessus du bord supérieur de la digue , n’étaient pas des plans unis et continus , mais chacune de ces parois était coupée par les rainures dont 011 vient de parler. Pour le canal n.° 1 , ces rainures sont faites dans une pierre de taille, et pour le canal n.° 2 elles sont faites dans les briques mêmes dont on a construit le fond et les parois du canal. Les arêtes de ces rainures sont plus ou moins bien terminées à diverses hauteurs. Ces circonstances peuvent expliquer les variations qu’on remarque dans les valeurs de ni rapportées ci-dessus.
Application des équations précédentes à Vexplication des principales circonstances que L'on observe dans le remou .
H- N faudrait maintenant résoudre les divers sistêmes d'équations des n. os 21 et 22, pour être à même de connaître et de suivre toutes les circonstances du remou, d’après celles du canal et de la digue, supposées connues. Mais la résolution de ces équations n’étant pas pratiquable, il faut se borner à des réflexions générales, déduites de ces équations et de la nature du phénomène dont il s’agit.
Considérons en premier lieu le cas d’une digue de telle hauteur qu’on puisse regarder q comme très-grand par rapport à p ; les équations (1), (2) et ( 3 ) relatives à un canal qui n’est ni horizontal ni vertical, et au cas où la section du courant au-dessus de la digue est parfaitement libre, donneront a très-peu-près
1 / 9 ” JL.
y 4m* ■ ig ’
ce sera la valeur de E dans notre hypothèse, et elle sera positive, car lorsque la hauteur D n’est pas nulle, on a tou¬
jours D -j- b > H -J- h , ainsi qu’il est facile de prouver par la nature de la question.
Maintenant les choses étant dans cet état, diminuons par degrés la hauteur D de la digue, toutes les autres circonstances du canal restant les mêmes, il est clair que la valeur de E diminuera aussi ; et comme l'hypothèse de q très-grand par rapport à p finira par ne plus avoir lieu, il faudra, pour obtenir les valeurs successives de E , tirer des équations (2) et ( 3 ) , ou (2) et (4), les valeurs de II et de b , et les substituer dans l’équation (1). Continuons à diminuer la hauteur D de la digue, et supposons-la très-petite par rapport a la hauteur —- de la section verticale du courant: alors la quan-
sin . <p
lité b , sera par l’équation (4), à très-peu-près égale à cette hauteur ; la hauteur II du regonllement sera une très-petite quantité, et l’équation (1) donnera pour E une très-petite
valeur. Si enfin D — o , on aura //=;= o , b = -J -— et l’équa*
sin . <p - 1
tion (1) donnera E=o.
Ainsi d’après ces résultats et la nature de la question , les valeurs successives de E , depuis celle qui a lieu pour une digue très-haute, où q est très-grand par rapporta p jusqu’à celle qui a lieu pour une digue dont la hauleur est nulle , ou très-petite par rapport à la hauteur de la section verticale du courant, diminuent continuellement jusqu’à devenir E = o.
Dans ce qui précède nous avons conservé au canal la même dépense, et ayant diminué par degrés la hauteur de la digue, nous avons vu que 1 étendue correspondante E du remou , diminue sans cesse. Considérons maintenant le cas, où la
hauteur de la digue demeurant constante, on augmente successivement la dépense du canal. Mais ici il est essentiel de remarquer, que dans les canaux que nous considérons, il existe entre la dépense, la hauteur de la section, et la vitesse moyenne de l’eau , des rapports tels que l’une de ces quantités venant a augmenter , les autres augmentent aussi. Ges rapports dont on n’avait entrevu que ceux qui ont lieu dans les cas d’une vitesse très-grande et d’une vitesse très-petite , ainsi que M. Venturoli l’a fait voir dans ses élémens d’Hy* draulique, ces rapports, dis-je , sont maintenant assez bien connus par la théorie du mouvement linéaire des fluides , combinée avec la loi de la résistance qu’ils éprouvent de la part du fond et des parois des canaux dans lesquels ils sc meuvent.
Cela posé considérons le cas où la hauteur de la digue étant constante, on augmente successivement la dépense du canal , de sorte que la vilesse moyenne et la hauteur de la section du courant viennent aussi à augmenter à la fois. Il est clair que si l’on suppose que la dépense du canal est d’abord telle par rapport à la hauteur de la digue , qu’on puisse regarder q comme très-grand par rapport à p , cette circonstance, en augmentant continuellement la dépense, finira par ne plus avoir lieu ; et l'étendue E, qui avait d’abord la valeur qui convenait au cas de q très-grand par rapport à p , diminuera continuellement à mesure qu’on augmentera la dépense/?, la hauteur de la digue restant toujours la même. On arrivera donc enfin à une dépense telle , que la hauteur
de la digue pourra être regardée comme très-petite par rapport à la hauteur de la section veiticale du courant; et alors rétendue E et la hauteur II du regonllement seront, d’après ce qui précédé, très-petites ou nulles. Ce dernier casque nous venons de considérer , peut avoir lieu pour des digues établies sur le fond et à travers le lit des fleuves; et l’on voit pourquoi à l’occasion des crues et lorsque la hauteur de la section verticale du courant surpasse un certain n-ombre de fois celle de la digue, la hauteur et l'étendue du regonflement occasioné par la digue sont si peu sensibles, que l’on n’aperçoit, à la surface du courant, presque plus de traces qui indiquent l’existence de la digue sur le fond du fleuve.
25. Considérons à présent le cas d’un canal horizontal , et dans lequel l’eau qui passe sur la digue, soit tout-à-fait libre. Supposons que la hauteur de la digue soit telle, que le remou s’étende indéfluiment sur toute la longueur du canal, et cherchons la hauteur de la digue propre pour occasionner celte étendue infinie du remou. Les équations (i)', ( 2 )' et (3)' donneront dans cette hypothèse,
Partant dans un canal horizontal lorsque la hauteur de la digue sera égale à cette valeur de Z), et, à plus forte raison, lorsqu’elle la surpassera, le remou s’étendra indéfiniment sur toute la longueur du canal.
Si la section du courant au-dessus de la digue n’est pas toute libre, il faudra résoudre les équations (i)', ( 2 )' et (/,)' pour avoir la hauteur D de la digue qui donne l’étendue E du remou , infinie. Il est facile de s’assurer que cette hauteur D sera moindre que celle trouvée pour le cas où la section du courant au-dessus de la digue est tout-à-fait libre.
Pour les digues d’une moindre hauteur que celle qu’on vient de déterminer , l’étendue du remou sera finie, et diminuera continuellement par les abbaissemcns successifs de la digue, jusqu’à devenir nulle lorsqu’il n’y aura plus de digue.
26. Les réflexions que nous venons de faire sur les variations de l’étendue E du remou d’après celles de la hauteur de la digue, dépendent visiblement des valeurs que prend le
facteur (j^) , dans les cas extrêmes de q très-grand ou
tres-pclit par rapport à p . On peut par la considération immédiate de ce facteur , abréger les raisonnemens précédens \
car puisqu’on a 11 = ( 7 ^)‘ • on voit qu’en sup-
posant la vitesse et la dépense du canal constantes , on a
H— —^7— l° rsc I ue q est très-grand par rapport à p ; et l’on
a II — 0 lorsque cj est tics-petit par rapport à p\ or ces deux conditions dépendent uniquement de la hauteur de la digue, puisque la dépense et la vitesse sont supposées constantes.
Mais il convient d’examiner plus particulièrement la valeur de II par l’ensemble des facteurs qui la composent. Cette
valeur étant U =( , on voit qu’indépcndam-
ment du facteur sin a . <p , que nous supposerons constant, elle
est nulle lorsqu’on a jT+~q = o, et lorsqu’on a v — o. Le pre-
mier cas répond à celui d’une digue dont la hauteur est nulle ou très-petite par rapport à la hauteur de la section verti-
ticale du courant, de sorte que ^ est zéro ou une très-petite
fraction. L’autre cas répond à une vitesse nulle ou très-petite du courant. Mais les valeurs de E qui correspondent a ces deux cas, où II est également zéro, sont très-différentes en-
tr’elles : car dans le premier cas , où l’on a = o, sans f
qu’on ait e=o, l’étendue E est nulle ou très-petite: dans
le deuxième cas, où l’on à v — o sans qu’on ait = o,
l’étendue E a la plus grande valeur possible, et est égale à l’horizontale AC ( fig. 5 . e ).
Nous avons déjà remarqué que dans les courans que nous considérons ici, il existe entre la dépense^ la vitesse moyenne et la hauteur de la section, des rapports tels que l’on ne peut augmenter ou diminuer, l’une de ces quantités , sans augmenter ou diminuer en meme temps 1 ns autres. D’après cela considérons les variations simultanées des deux facteurs
(— q —'j et — dans l’équation//= (—— ) . ,sin - * * . Si l’on \p+q/ H \j»+y/
suppose que la hauteur de la digue soit d’abord telle que
Cf soit très-grand par rapport à /?, et qu’en même temps la yitesse p soit très-petite, II aura la valeur très-petite
— . Maintenant, la hauteur de la digue restant la même,
augmentons la dépense p du canal; il est clair que la hauteur de la section et la vitesse moyenne ^augmenteront en même temps. Continuons à augmenter la dépense p jusqu’à ce qu’elle soit très-grande par rapport à q : à cette limite la hauteur de la section verticale du courant sera devenue très-grande pai rapport a là hauteur de la digue, Retendue du remou
sera très-petite , et la valeur de II = ( q V . sera
vH-y/ 2"
pareillement très-petite à cause du facteur très-petit
Ainsi la hauteur H pour une même digue, est très-petite dans les deux cas extrêmes, savoir dans celui d’une vitesse très-petite et dans celui d’une vitesse très-grande du courant.
H y aura donc , pour une même digue , une dépense ou une vitesse telle qui donnera pour II un maximum. Partant une digue établie à travers un canal ou un fleuve occasionne la plus grande étendue possible du remou , lorsque la vitesse du courant ou sa dépense est la moindre possible. Lorsque la dépense du fleuve augmente , l’étendue du remou diminue , et augmente la hauteur du regonflement au-dessus de la surface naturelle du courant, en prenant cette surface à 1 origine du remou. Cette hauteur augmente toujours jusqu’à ce qu’on arrive à une dépense telle, où cette hauteur est la
plus grande possible. Après celà , la dépense continuant à augmenter, l’étendue du remou et la hauteur du regonflement diminuent sans cesse jusqu'à devenir à peu-près insensibles.
Enfin nous remarquerons qu'il y a encore un cas , où la hauteur H du regonflement au-dessus de la surface naturelle du courant, augmente toujours à mesure que la dépense ou la vitesse du courant augmente. C’est lorsque la quantité q étant toujours très-grande ou infinie par rapport à p , la va-
leur de H devient H =■ ^ —. Ce cas peut avoir lieu a
l’embouchure des fleuves qui se jettent dans la mer. Il est visible que les eaux de la mer peuvent être regardées comme refoulées par une digue établie à une distance infinie de l’embouchure, et telle que le volume q de ces eaux est toujours infini par rapport à la dépense p du fleuve. Partant la hauteur II du regonflement sera constamment égale
à la quantité v% * sin .M J et augmentera toujours avec la vitesse du courant. Dans ce même cas l’étendue du remou ne pourra plus être calculée par l’équation (i) relative à une digue donnée de position: mais on devra partir d’un point fixe pris, par exemple, sur l’un des bords du fleuve près de son embouchure, et l’étendue E du remou , facile à déduire d’après le profil du fleuve, et la position connue du niveau de la mer, pourra être positive ou négative par rapport à ce point, selon les divers états du fleuve et de la surface de la mer.
27 * Nous terminerons ici ces réflexions générales sur l’étendue et la hauteur du remou. L’influence qu’y a la pente du courant, est assez évidente par elle-même pour qu’il soit nécessaire de s’y arrêter. Nous observerons seulement, que dans un canal qui ne soit ni horizontal ni vertical , et dont la vitesse du courant ne soit pas nulle, l’étendue E du remou occasioné par une digue, sera toujours moindre que l’horizontale AC ( flg. 5. ). C’est ce qui résulte^ de l’équation (i) du n. ai et de la valeur de cette horizontale donnée dans le meme numéro. Il est vrai que dans les cas les plus ordinaires, ou la vitesse e est peu considérable, l’étendue du remou sera à-peu-près égale à l’horizontale dont on vient de parler.
En effet en faisant = a on a — = j r ouc Ce serait
la valeur de // dans un canal d’une très-petite pente. Cette hauteur du regonflement, peu sensible en elle-même, le sera encore moins par la circonstance que près des bords du canal le remou s’étend davantage et la hauteur//y est tout-àfait insensible. Mais lorsque la vitesse ^ sera considérable l’étendue E du remou sera sensiblement moindre que l’horizontale AC , et la hauteur 11 pourra arriver à plusieurs pieds ainsi qu’on l’observe à l’embouchure des fleuves dans des lacs ou dans la mer.
Nous observerons en dernier lieu, que des obstacles quelconques opposés à un courant, tels que l’eau stagnante d’un lac ou de la mer, le passage brusque d’une pente forte à une pente plus douce, ou à une contrepentc, passage qui produit
dans les rivières, à l’époque des crues, ces regonflemens connus sous le nom de ventres des crues ; des corps ou ouvra*ges existans dans le lit ; tous ces obstacles, dis-je, occasioneront des remous dont la hauteur et l’étendue suivront tine marche analogue à celle que nous venons de développer. Ainsi selon les dimensions et la position de ces divers obstacles, il y aura, dans le cours d’un fleuve, des regonflemens , qui, dans les eaux ordinaires, auront une étendue presque totale , et une hauteur insensible au-dessus de la surface naturelle du courant, à l’origine du regonflement; tandis que dans les crues, ces mêmes regonflemens auront une moindre étendue, et une plus grande hauteur au-dessus de la surface du courant, à l’origine du remou. D’autres regonflemens seront tels que leur hauteur sera très-marquée dans les eaux ordinaires, et disparaîtra dans les crues. Enfin il y en aura de ceux dont la hauteur au-dessus de la surface du courant augmentera toujours, à mesure que les crues deviens dront plus considérables.
s. vr.
Propagation du remou.
