GO
55. Description du frein employé à ces expériences. Le frein dont on s’est servi dans ces expériences était composé d’une forte piècé de chêne de 7“ de long sur o”,28 d’équarrissage au gros bout, et o“,25 au petit. L’arbre de couche du pignon intérieur du grand cercle denté, que porte la roue hydraulique, était celui sur lequel on pouvait le placer, mais, comme son diamètre n’était que de o“, 1 6 , on fixa sur cet arbre un manchon en fonte, composé de deux pièces assemblées avec quatre clefs à T, engagées latéralement. On avait d’abord dressé de petites faces planes sur l’arbre pour donner de l’assiette aux coins de fer, qui devaient y fixer le manchon. Lorsqu'à l'aide de ces coins il fut bien assuré dans sa position, 011 monta un support de tour près de l’arbre et l’on tourna avec soin sa surface extérieure, pour rendre le frottement aussi régulier que possible. Un coussinet en fonte encastré en partie dans la face inférieure du levier du frein , et une bande de fer de o",ao de large sur o”*,oo4 d’épaisseur embrassaient le manchon. Deux trous rectangulaires, pratiqués aux extré-
7 a EXPÉRIENCES SUR LES ROÜES A AUGETS.
mités de la bande , qui avaient conservé une épaisseur de o",oo8 recevaient des clefs qui traversaient les têtes fendues de deux boulons quarrés de o m ,o5. Ces boulons passaient dans le coussinet et dans le levier du frein, el recevaient de larges rondelles en fonte et des écrous. Trois hommes avec une clef de i",3o serraient ces écrous, pendant qu'un quatrième versait sans cesse de l’eau sur le manchon pour diminuer réchauffement.
Le levier du frein était retenu en avant par des chantiers, et en arrière par une pièce transversale , de sorte qu'il ne pouvait qu’osciller entre deux positions peu écartées en dessus et en dessous de l'horizontale. Un plateau de balance était suspendu à un crochet fixé à 6“,oi de l'axe de l’arbre de couche. Le poids du levier rapporté à ce crochet, était de i32 kil , y compris le croshet, le plateau de balance et ses cordes. C’est ce que nous avons nommé la charge constante du frein.
86. Formules employées pour calculer l'effet utile total, en tetianl compte des résistances passives. Le grand cercle d’engrenage monté sur l'arbre de couche, engrène avec deux pignons, l’un placé au-dessus qui sert à communiquer le mouvement à l’atelier des mécaniciens , l’autre , qui est à peu près à hauteur de l’arbre de couche, fait marcher la filature. Dans les expériences, la communication de mouvement entre la chambre de la machine et les ateliers avait été interrompue, en débrayant les mâchons; mais ces deux pignons et leurs arbres ne pouvaient pas être désengrenés, et comme ils marchaient très-vite , ils consommaient une quantité de travail qu’il n’était pas permis de négliger. Il fallait donc tenir compte du frottement de leurs tourillons et de celui de l’engrenage. 11 se produisait aussi un frottement sur les coussinets de l’arbre de couche; enfin l’engrenage du pignon intérieur avec le cercle denté porté par la roue, et le frottement de cette roue sur ses tourillons, consommaient une quantité notable de travail. Ce n’est donc qu’après avoir calculé les efforts nécessaires pour vaincre ces divers frottemens, qu’on pouvait parvenir A connaître la quantité de travail réellement transmise par le moteur à la circonférence moyenne des augets. Nous allons indiquer la marche que nous avons suivie pour y parvenir. Soient
p le poids du pignon supérieur et de son arbre,
; le rayon de son tourillon ,
f le rapport du frottement à la pression pour un axe en fer tournant dans une boite do cuivre avec enduit d'huile,
p la force horizontale à appliquer tangentiellement au cercle primitif du pignon, pour vaincre le frottement sur ses coussinets.
Ce pignon sera pressé sur ses coussinets par la résultante de p et de son poids propre p, laquelle a pour expression
et attendu que l'on a p > p , le frottement produit par cette pression peut être exprimé à -’-j près par
A( °<9fy> +
A chaque instant du mouvement parvenu à l'uniformité, la foret; p doit faire équilibre à ce frottement, et en désignant par r son bras de levier, ou le rayon du cercle primitif du pignon, on a
d'où
ft + °>4?) = « r
On trouverait de même l'expression de l'effort p, qui suffit pour vaincre le frottement du pignon de la fdature sur ses coussinets, en observant qu’ici la force p 1 et le poids p' du pignon et de son arbre agissent verticalement et dans le même sens, de sorte que la valeur de p est donnée par la relation
f(p'+p') t '=pY
d'où
, Mi
Pour le pignon supérieur, on a
On trouve, en effectuant les calculs,
p = 8 ll, ,33 ,
et pour le pignon de la filature, on a
p’ = io83 lil , f = o",o 8 , r' — o“,63, f, — 0 , 08 , et par suite
Ces efforts p et p' exercent sur les dents du grand cercle des pressions ,
d’où résulte un frottement, dont la valeur moyenne est, pour chacun d'eux,
f'tT
mnJ
et
m m* mm'
On a, dans ces expressions,
P — °>°8 , v = 3 , 1 4 , m = 46, nombre des dents du pignon , m' = 200, nombre des dents de la grande roue; il s'ensuit que l’effort moyen à exercer à la circonférence du grand cercle pour vaincre le frottement de ces engrenages est
(* + y) x 0,08 x3,4x^ = *9 w, ,93 x 0,0067 = 0 ui ,i33.
Cet effort, joint aux deux autres ? = 8 l “,33 et f ' = n la ,6, donne, pour l’effort moyen à exercer à la circonférence primitive du grand cercle , pour vaincre les résistances passives provenant, du mouvement des deux pignons
Considérons maintenant ce qui se passe autour de l’axe du grand cercle d’engrenage et appelons
p" = 8571 1,1 le poids total de l’arbre, du grand cercle et du pignon intérieur à la roue,
R' = 2 ", 63 le rayon du grand cercle,
F la charge totale du frein,
L = 6“,oi son bras de levier,
r" = o m ,89 le rayon du pignon intérieur à la roue ,
F l’effort qui agit à l’extrémité de ce bras de levier ou à la circonférence primitive du pignon intérieur pour vaincre les résistances passives et tenir en équilibre la charge du frein.
Cet effort , qui est transmis par le cercle denté que porte la joue de la roue hydraulique agit tangentiellement à la circonférence primitive du pignon intérieur , sous une inclinaison de 4 »° avec la verticale. Si nous le décomposons en deux autres , l’un horizontal et égal à P sin 4o°,
l’autre vertical et égal à F cos 4o°, nous pourrons regarder le tourillon comme soumis aux pressions
horizontale F sin 4 ®° — ? ^ 1 + f-r J >
verticale p" + F -f- P 7 cos 4 <> 0 — t'
La résultante de ces deux groupes de forces produit sur les tourillons de l’arbre de couche du grand cercle un frottement
f y/ + + [p.in 4o- - T (. +r» ■
Dans cette expression,
f = 0,08, cos4o° = 0,76, sin4o” = 0,64, et en remplaçant le radical par sa valeur approchée à près, on a, pour le frottement sur les tourillons de l’arbre de couche, tous calculs faits, la valeur
dans laquelle F sera donné pour chaque expérience et où F restera seul â déterminer.
Cela posé, la force P' doit faire équilibre à la charge F du frein dont le moment, par rapport à l’axe, est FL, à l’eiïort de ao k,l ,o 5 nécessaire pour surmonter les résistances des deux pignons , et dont le moment est 20 w ,o5 x R', et enfin au frottement dont nous venons de trouver l’expression et dont le moment est
( 65 9 l ", 42 + 0,077F + 0,079F) f «, en appelant {" = o m ,i 3 le rayon des tourillons de l’arbre de couche.
Si nous désignons par r" = o",89 le rayon du cercle primitif du pignon intérieur à la roue, le moment Fr" de la force F devra être égal à la somme des momens ci-dessus, et l’on aura
Fr" = FL + 2o w ,o5R' + ( 65 g ‘",42 + 0,077F + 0,079F),".
En substituant les données numériques constantes dans cette équation, elle se réduit à
d’où l’on tirera pour chaque expérience la valeur de F, lorsqu’on y mettra celle de F.
De cette résistance F résulte entre les dents du pignon intérieur et celles du grand cercle denté que porte la roue , un frottement dont l’effort moyen a pour valeur
/vrp/^
en désignant par
f" — 0,10 le rapport du frottement à la pression pour des dents en fonte avec enduit de suif et mouillées d’eau , m, — 66 le nombre de dents du pignon , m, = 36 o le nombre de dents du cercle;
Il suit de là que l'effort à exercer par le cercle denté sur le pignon , est égal à
Autour de l’axe de la roue hydraulique, parvenue au mouvement uniforme, il doit y avoir équilibre à chaque instant entre cette force P" considérée comme résistance , l’effort P transmis par le moteur et que l’on peut regarder comme vertical , et le frottement sur les tourillons de la roue.
Ce frottement est dû à la résultante de la pression horizontale F' sin 40"» des pressions verticales produites par le poids M = 2.Ï000'" 1 de la roue , par l’effort P, par le poids Q de l’eau contenue dans les augets , diminuées de celle duc à la composante verticale P"cos 4 o° de la résistance P".
Celte résultante peut se mettre sous la forme exacte à près 0,96 (M -(- P Q — P''cos 4 o”) + o, 4 F' sin 4 o",
et en mettant pour cos 40” et sin 46° leurs valeurs 0,76 et 0,64, le frottement qu’elle produit sur les tourillons aura pour expression
L’équation d’équilibre entre P, F' et ce frottement sera , en désignant par R = 4“>55 le rayon de la circonférence extérieure de la roue,
R, = 4 “> 4 ° 1 ° rayon du cercle primitif de l’engrenage,
= o", 1 1 8 le rayon des tourillons de la roue , f, — 0,08 le rapport du frottement de la pression pour ces tourillons enduits de graisse,
On en tire
P = 0,968F' + 0,002 (M + Q); ou en mettant pour F' sa valeur,
F' = i,oo 3 F = 6,862F + i 5 7 , 7 ,
on trouve, toutes réductions faites,
P = 6,632F -f- 202 u ,65 + o,oo2Q.
Le poids Q de l'eau contenue dans la roue serait difficile à calculer exactement, parce que la force centrifuge combine son action avec celle de la pesanteur, mais on peut observer que le terme qui en dépend sera toujours assez petit pour pouvoir être négligé. En effet les augets peuvent , sans erreur sensible, vu le grand diamètre de la roue, être regardés comme des prismes dont la base est un trapèze de o m ,27 de hauteur, et les côtés parallèles égaux à o”,3o et o”,i3. Leur longueur intérieure étant d’ailleurs de 3“,i5&, on trouve pour leur volume o"‘,i83. Or, en admettant même qu'il y ait 20 augets entièrement pleins, ce qui n’arrivera jamais, le terme o,oo2Q ne monterait qu’à u ul , quantité qui ne serait , pas la millième partie de la valeur de P. On voit donc qu’il est permis d’en faire abstraction et de réduire la «valeur de P à l'expression trèssimple
P = è,632F + 202 kn ,65 ,
d’où l’on tirera immédiatement la valeur de P relative à chacune des expériences.
Cette quantité P est l’effort moyen que le moteur transmet à chaque instant à la circonférence extérieure de la roue, en la multipliant par la vitesse de cette circonférence déduite de l’observation, nous aurons, pour chaque expérience, le travail réellement transmis à la roue par le moteur, ou l'effet utile total de la roue.
57. Comparaison de l'effet utile total, déduit de l’expérience, à l'effet théorique. Nous avons ensuite calculé l’effet théorique de la roue, d’après la formule ordinaire des roues à augets
Pv = 1000Q/1 + — v)v,
dans laquelle
P est l’effort transmis à la circonférence extérieure des augets, v la vitesse à cette circonférence, •
Q le volume d’eau dépensé en une seconde, en mètres cubes, g — 9”, 8088 ,
h la hauteur du point où la roue reçoit l’eau au-dessus de celui où elle
la quitte , et que la théorie suppose égale à la hauteur du point d'affluence au-dessus du point inférieur de la roue.
V la vitesse avec laquelle l’eau arrive à la circonférence extérieure des augcts , et qui , dans le cas actuel , a sensiblement la môme direction que v.
L’observation nous ayant fourni pour chaque expérience les quantités Q, h, V, v, il nous a été facile de calculer l’effet théorique de la roue, et de le comparer aux résultats de l’expérience. Nous avons établi cette comparaison en admettant "que le second terme de l’expression théorique représentait exactement les effets dus à la variation de la force vive de l'eau, depuis son admission sur la roue jusqu’à sa sortie, et en recherchant la correction qu’il faut apporter au premier terme pour faire concorder les résultats de h théorie avec ceux de l’expérience. On observera en effet ,
(jue toutes les fois que l’eau dépensée est admise dans la roue , la théorie „
doit être d’accord avec F expérience , puisqu’elle ne repose sur aucune hypothèse, mais sur l’application de principes rigoureux, tandis que l’on admet dans cette théorie que l’eau reste dans les augets jusqu’au bas de la roue, ce qui s’éloigne d'autant plus de la vérité que les augets sont plus pleins.
8o EXPÉRIENCES SDR LES ROUES A AUGETS.
Expériences faites en août 1829, sur la roue hydraulique à augels de la
filature de MM. N. Schlumberger et C" , à GuebwiUer. (Haut -Rhin.)
58 . Conséquence des résultats consignés dans le tableau précédent. En comparant entr’elles toutes les expériences des trois premières séries où le volume d’eau introduit dans chaque auget n’a pas dépasse la moitié de' leur capacité, qui est, comme nous l’avons dit au n° 37, de o“-%i 83 , on voit que la valeur moyenne à appliquer au coefficient du premier terme
de la formule théorique est, pour
La i" 1 série 0,81
La 2° série 0,7g
La 3 ° série 0,74
Moyenne générale 0,78
En adoptant donc la valeur moyenne 0,78, la formule Pv = 780 Qh + ÇV—v)o
représentera , à moins de rw près tous les résultats de ces expériences.
Les trois dernières expériences de la troisième série, où le volume d’eau introduit dans chaque auget égalait environ les de sa capacité, fournissent des valeurs moindres, ce qui montre que, dans ce cas, la roue fonctionne d’une manière moins favorable (pie dans les premières séries.
Quant à la quatrième série, les résultats en sont encore moindres par deux raisons opposées. Dans les deux premières expériences de cette série, où la vitesse de la roue était de 2 m ,93 et 2°*,5o, le volume d’eau introduit n'excédait pas la moitié de la capacité de l'auget ; mais , d'une part , la grande vitesse de la roue présentait de la difficulté à l’introduction de l’eau , dont une partie notable n’était pas admise , et de l'autre la force centrifuge accélérait le versement ; ces deux causes tendaient donc à diminuer l'effet utile. Dans les expériences suivantes, la vitesse étant moindre, l’eau s’introduisait mieux, mais les augets étant plus qu’à moitié pleins, le déversement de l’eau commençait à une hauteur plus grande que dans les premières séries.
On doit donc conclure de cette comparaison que, pour qu'une roue à augets fonctionne d’une manière avantageuse, il faut que le volume d’eau introduit dans chaque auget ne dépasse pas la moitié de sa capacité. Il semble même que, quand il n’en résulterait pas pour la roue des dimensions exagérées, il conviendrait que ce volume ne fût que le tiers au plus de celui de l'auget.
59. Les variations de la vitesse de la roue ont , entre des limites assez étendues, peu d'influence sur ? effet utile, La hauteur h parcourue par l’eau en descendant sur la roue , étant considérable et indépendante des vitesses v et Y, les variations de ces quantités n’ont pas d'influence sur le terme i oooQA , qui est , dans tous les cas , beaucoup plus grand que le second terme
— --Q (y — d)o, d’où il résulte que, bien que les vitesses V et v s’écartent
sensiblement du rapport qui correspond au maximum d’effet, la quantité de travail utilisée ne s'éloigne pas sensiblement de ce maximum. 11 en résulte donc que l’on peut, sans crainte de diminuer l’effet utile des grandes
roues à augets, faire varier le rapport - de o,a5 à o,8o, et donner à la
circonférence extérieure de la roue une vitesse de a* par seconde, toutes les fois que les augets ne seront pas remplis au-delà de la moitié de leur capacité.
Cette observation met en évidence un avantage important des roues à augets, en montrant que, sans s'écarter du maximum d'effet, elles peuvent à volonté, et selon les besoins du travail, marcher à des vitesses fort différentes, ce qui est très-utile pour beaucoup d’opérations.
