SU. DYNAMIQUE SPÉCIALE DES CORPS SOLIDES

Nous consacrerons un paragraphe particulier à la dynamique des corps solides. On appelle corps solide ^ dans la mécanique rationnelle, un système formé d'un assemblage invariable de points matériels dont les masses et les positions relatives sont supposées connues. Un tel système diffère des solides naturels , d'abord parce qu'un solide naturel se déforme sous l'action des forces qu'on lui applique, ensuite parce qu'un solide naturel est, d'après l'hypothèse de la physique moderne, formé de molécules séparées les unes des autres par des intervalles comparables à leurs propres dimensions, ce qui exclut la continuité admise géoéralement dans la distribution des masses à l'intérieur des solides géométriques. Cette continuité n'est du reste pas une hypothèse nécessaire au point de vue de la mécanique ; mais elle simplifie les calculs en permettant de substituer des intégrales de fonctions continues à des sommations que l'on pourrait sans doute indiquer, mais qui seraient impossibles à effectuer dans la pratique. L'observation vient démontrer ensuite qu'il n'y a pas d'erreur sensible à craindre de l'adoption de ce procédé expéditif.

On peut attribuer à un corps solide, au point de vue mécanique, trois situations principales : il peut être entièrement libre dans l'espace; il peut être assujetti à tourner autour d'un point fixe; enfin il peut être assujetti à tourner autour d'un axe fixe. Outre ces trois situations principales, on peut encore considérer celle d'un corps solide assujetti à se mouvoir en touchant constamment une surface fixe sur laquelle il peut rouler ou glisser. Ce dernier problème a été traité par Poisson dans le cas général où la surface directrice est un plan; il en a fait l'application à un ellipsoïde homogène pesant et à la toupie. *

'i8 MOUVEMENT AUTOUR DTN AXE FIXE.

On traite sans difficulté, et (Tune manière tout à fait élémentaire, la question du roulement d'une sphère ou d'un cylindre sur une surface plane, en tenant compte du frottement qui peut s'exercer entre les deux surfaces en contact. Mais, dans le cas général, le problème du mouvement d'un corps solide sur une surface fixe conduit à des équations très-compliquées.

Les trois autres hypothèses à faire sur la manière d'être d'un corps dans l'espace se réduisent en réalité à deux; car on démontre que, si le corps est entièrement libre, on peut regarder comme fixe son centre de gravité , autour duquel il tourne comme si la translation n'existait pas.

Le mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe est à la fois le cas le plus simple et le plus utile à étudier pour l'application aux machines. Un théorème général, celui des forces vives, ou celui des moments des quantités de mouvement pris par rapport à l'axe de rotation, fait connaître immédiatement l'accélération angulaire. Elle est égale à la somme des moments des forces par rapport à l'axe de rotation, divisée par le moment f inertie du solide autour du même axe. Le moment d'inertie est la somme des produits obtenus en multipliant chacune des masses élémentaires du solide par le carré de sa distance à une droite donnée , qui est ici l'axe de rotation. Si on le multiplie par la vitesse angulaire, le produit représentera la somme des moments des quantités de mouvement; si on le multiplie par le carré de la vitesse angulaire, le produit représentera la force vive totale dans le mouvement de rotation. Les moments d'inertie ont des propriétés géométriques qui font l'objet d'un chapitre à part dans la géométrie des masses. On démontrera, par exemple, comment le moment d'inertie d'un corps autour d'un axe peut se déduire du moment d'inertie du même corps autour d'un second axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité. La formule dont on se sert pour exprimer cette opération peut se déduire des principes cinématiques de la décomposition des rotations et du théorème sur la décomposition

ellipsoïde central. 49

de la force vive en deux parties. On étudiera ensuite la loi suivant laquelle les moments d'inertie varient autour des droites issues d'un même point, ce qui conduit à la construction d'une, surface ellipsoïdale, que l'on obtient en portant sur chaque direction une longueur proportionnelle à l'inverse de la racine carrée du moment d'inertie correspondant.

La surface ainsi construite a reçu de Poinsot le nom d'elUpsoide central. La considération de cette surface est fort utile dans le problème du mouvement d'un corps solide. Elle permet d'exprimer très-simplement le moment d'inertie du corps autour d'une direction quelconque, connaissant ses moments d'inertie autour de ses axes principaux et les angles formés par la direction avec ces axes. On peut aussi substituer à cette représentation dans l'espace une représentation plane dans un système particulier de coordonnées, en observant que les trois moments d'inertie principaux d'un même corps ont entre eux une telle relation de grandeur qu'on peut toujours construire un triangle dont les côtés leur soient respectivement proportionnels'.

Après avoir déterminé le mouvement d'un corps solide autour d'un axe fixe, on doit chercher les pressions exercées sur l'axe pendant le mouvement. L'application des six équations d'équilibre du corps solide, en y comprenant les forces d'inertie, résout cette nouvelle question. On en déduit les diverses conditions nécessaires pour que la rotation persiste autour d'un axe qui n'aurait qu'un point fixe, ou même d'un axe qui n'aurait aucun point fixe. Dans le premier cas , l'axe est un axe principal ou un axe permanent de rotation; dans le second, l'axe est un axe nhturel, et passe par le centre de gravité du corps. Dans certains cas, les forces d'inertie d'un corps doué d'un mouvement de rotation ont une résultante unique, égale à la force d'inertie de la masse entière concentrée en son centre de gravité , et appliquée, non pas au centre de gravité , mais au centre de percussion conjugué de l'axe. Il faut pour cela

^ Voir le Journal de V Institut (Sociëtë philomathique de Paris, séance du ââ mara 1866).

Mécanique. /i