AUTOUR D*UN POINT FIXE

menant par des décompositions les vitesses angulaires autour des axes principaux, qui sont mobiles, à des vitesses angulaires telles que la précession et la nutatiouy qui définissent directement le mouvement réel du solide. Poinsot a fait Tétude spéciale du cas où le corps solide est abandonné à lui-même; alors les équations du mouvement se simplifient, et Temploi des théorèmes généraux permet d achever la solution sans aucun calcul. Le corps solide se meut de telle sorte que Tellipsoïde central soit constamment tangent à un plan fixe dans Tespace ; le corps , à un instant quelconque , tourne autour du rayon de Tellipsoïde mené du centre au point de contact avec le plan fixe, et a autour de ce rayon une vitesse angulaire proportionnelle à sa longueur. Le lieu des pôles de rotation instantanée dessine sur Tellipsoïde une courbe fermée , la pohdiey dont les arcs viennent successivement s'appliquer sur une autre courbe tracée sur le plan fixe.

La discussion de la solution donne une mesure de la stabilité de la rotation autour des différents axes principaux , et fait reconnaître que Taxe moyen de l'ellipsoïde central ne possède aucune stabilité. Si la rotation a commencé autour de cet axe moyen, et qu'un couple extérieur vienne la déranger, en portant le pôle instantané sur la surface ellipsoïdale , dans une direction et dans un sens convenablement définis, le pôle instantané continue à s'éloigner de sa position primitive et s'approche indéfiniment du sommet opposé de l'ellipsoïde sans pouvoir jamais l'atteindre.

Lorsque l'ellipsoïde central est de révolution, les résultats se simplifient. Au lieu de conserver cette image du mouvement, on peut y substituer le roulement d'un cône circulaire mobile avec le corps sur un cône circulaire fixe dans l'espace. Ce cas particulier est du reste le plus important à traiter, parce qu'il comprend le problème de la rotation des corps célestes, l'un des grands problèmes de l'astronomie analytique. Poinsot, dans un mémoire inséré en i853 dans le Journal de Mathématiques, en a développé géométriquement la théorie. Il a cherché l'effet d'un couple exté-

5'i MOUVKMENT D'UN SOLIDE

rieur, et a donné la solution géométrique {jénéraie du problème du mouvement d'un solide de révolution aulour d'un point fixe pris sur son axe de figure. La solution présente uu cas particulier remarquable, celui où, malgré l'intervention d'un couple extérieur, le mouvement du corps se réduit, comrao si le corps était abandonné à lui-m^me, à une précession uniforme, ou au roulement d'un cône circulaire sur un cône circulaire fixe. Il faut pour cela que le couple extérieur ail une certaine intensité constante, et qu'il ait pour axe la ligne des nœuds, ou l'intersection du plan de l'^tMteur de l'ellipsoïde et du plan mené par son centre perpendiculairement à l'axe du cône fixe.

Lorsque le couple extérieur ne satisfait pas à res conditions, ic problème du mouvement d'un solide de révolution csl plus compliqué, et exige le secours de l'analyse. La question , déjà traitée par les analystes, en particulier par Lagrange, a été reprise en iSSg par M. Résal, qui, par un choix habile d'axes coordonnés, a simplifié les équations autant qu'elles peuvent l'être. La solution a été développée pour le cas où les forces extérieures se réduisent à la pesanteur. Le couple extérieur a alors pour axe la ligne des nœuds, première condition du mouvement de précession uniforme; mais, s'il n'a pas l'intensité convenable, le mouvement comprend, outre la précession, une nutation qui fait varier l'angle de l'axe de figure du corps avec la verticale. Plusieurs phénomènes donnent à toutes ces reclierches analytiques un intérêt réel. D'abord on a, dans les mouvements de la terre et des planètes, un exemple du mouvement de rotation d'un solide de révolution autour d'un point de sun aie de figure. Le centre de gravité du corps tournaTit peut être considéré comme fixe. Faisant donc ahslraction de la translation, on sait que le mouvement de la terre ou de tout autre corps céleste comprend d'abord une rotation autour de son axe de figure, puis une préression en vertu de laqueilo l'axe de figure décrit un cône droit circulaire autour d'une ligne fixe dans l'espace, enfin une nutation qui fait varier entre certaines limites i'nngle de ces deux directions.

DE RÉVOLUTION, iti' la terre eti [lailîculier, la précession, découverte, il y a deux Ile ans, par Hipparque. entraîne le pôle du monde el lui fait faire, eu vingt-six mille années, un tour entier autour du pôle de fécliptique; la nutation, découverte par Bradley, est un balancement périodique de quelques secondes de l'axe de la terre autour de sa position moyenne. Si la terre était rigoureusement sphérique, la résultante des actions du soleil et de la lune passerait constam- I meut par son centre et n'influerait pas sur son mouvement de ro- ^KBtion. Mais il n'en est pas ainsi, et le renflement équatorial donne H^rise aux actions perturbatrices de ces corps attirants, lorsqu'ils "sont en dehors du plan de l'équateur.

Si l'on néglige la nutation el la partie périodique de la précession, pour n'attribuer au globe terrestre qu'un mouvement uniforme de précession, d'environ 5o secondes par année, on est ramené au roulement d'un cône circulaire mobile sur un cône circulaire fixe; l'axe instantané de rotation du solide, qui est à chaque instant la génératrice de contact de ces deux cônes, change à la fois dans le corps et dans l'espace, de sorte qu'en s'en tenant i cette première approximation du mouvement de rotation de la terre, on reconnaît qu'il n'existe pas un axe unique autour duquel s'opère réellement la rotation diurne, mais que l'axe de rotation change constamment de direction à la fois dans le globe terrestre et dans l'espace. Le pôle instantané du globe décrit en un jour, autour du pôle géométrique de la surface terrestre, un petit cercle de quelques décimètres de rayon. Il faut en effet qu'au bout d'un an le pôle instantané ait parcouru un arc de 5o secondes sur le cercle décrit autour du pôle de l'écliptique comme centre, avec un rayon sphérique égal àl'obliquité de l'écliptique sur l'équateur. Eu rapportant ces déplacements à la surface de la terre , dont le rayon polaire est connu, on trouve que chaque jour le pôle effectif de la rotation déciit autour du pûlr géométrique de la surface terrestre 1 cercle d'environ 26 ccntimèlres de rayon. Un déplacement si pible n'a évidemment aucune influence dans l'ordre géographique.