DE M. DUHAMEL

sujet de la stabilité des corps flottants est-il désormais épuisé ? Loin de là. Nous avons fait ressortir cette circonstance, que M. Duhamel, suivant en cela les hypothèses de la théorie du métacentre , n'admettait dans son équation que les pressions statiques du liquide. Ce point de vue n est pas assez général ; car il est contradictoire d'imprimer à un corps flottant certaines vitesses , et de traiter les réactions mutuelles du corps et du liquide comme si le repos relatif de ces deux systèmes n'avait pas été troublé. L'imperfection de la théorie est sensible lorsqu'on veut déterminer les lois exactes des oscillations des corps flottants, mais la recherche des conditions de stabilité ne paraît pas beaucoup en souffrir. Il semble évident que le mouvement d'un corps au sein d'une masse fluide ne peut que développer des résistances et des frottements, dont le travail tend à réduire la force vive du corps en mouvement; si la stabilité est assurée sans tenir compte de ces diverses résistances , elle l'est à fortiori quand on les introduit dans le calcul. L'expérience confirme cette appréciation, car elle montre que la stabilité ne fait jamais défaut aux bâtiments construits d'après la règle consacrée.

La (juestion est donc entièrement résolue au point de vue des applications, sans l'être au point de vue scientifique. Parmi les efl*orts récents faits pour compléter la théorie, nous citerons les travaux de M. Reech , destinés à donner à l'ancienne théorie du métacentre un caractère plus rigoureux; ceux de M. Jordan^ et ceux de M. Clebsch , qui a cherché à compléter la théorie de M. Duhamel par l'introduction des résistances dynamiques du liquide. Envisagé de cette manière générale, le problème présente des difficultés qui n'ont pas été surmontées jusqu'ici , et rentre en réalité dans le domaine encore bien obscur de l'hydrodynamique.

' }IL.^'d6ÙL^ Mémoire sur les corps fiol- des sciences, i865, t. I, p. a&G.) -^ ttmts, (Voir Comptes rendus de l' Académie M. Jordan. ( Même recueil.)

80 xMOUVEMENT DES FLUIDES.

S 3. HYDRODYNAMIQUE.

Le problème général de Thydrostatique consiste, en dernière analyse , à chercher la répartition des pressions au sein d'une masse liquide qu on suppose en équilibre. Le théorème de d'Âiembert sur le mouvement des systèmes ramène les questions de mouvement à des questions d'équilibre par la considération des forces d'inertie. On ne sera donc point embarrassé pour étendre les équations de l'hydrostatique au mouvement des fluides : il suffit de les compléter, en ajoutant aux forces extérieures, qui y entrent seules, les forces de l'inertie de l'élément de masse qu'on suppose en mouvement. Dans l'hydrostatique, on n'avait qu'une fonction inconnue, la pression, à exprimer au moyen de trois variables indépendantes, les coordonnées des différents points de la masse liquide. Dans l'hydrodynamique, outre ces trois coordonnées, on a encore à considérer le temps, ce qui fait quatre variables indépendantes; et , au lieu d'une fonction unique de ces variables , on en a quatre à déterminer, savoir : la pression et les projections des vitesses des molécules liquides sur les axes coordonnés. La densité peut être aussi, dans l'hydrostatique comme dans l'hydrodynamique, une variable à exprimer en fonction des variables indépendantes. Mais en générai on ne fait sur cette quantité que deux hypothèses : dans l'une, on la suppose constante ; dans l'autre , on la regarde comme variable , mais on admet en même temps qu'elle est proportionnelle à la pression. La première hypothèse convient aux liquides, la seconde correspond aux gaz permanents. Le problème de l'hydrodynamique est donc ramené dans tous les cas à la détermination de quatre fonctions dëpendanl chacune de quatre variables indépendantes. Les équations de l'équilibre dynamique d'un élément parallélépipédique pris dans la masse sont au nombre de trois; pour trouver la quatrième équation nécessaire, on considère la densité du même élément, et l'on cherche la variation que lui font subir les quantités de liquide qui y pénètrent et qui en sortent, pendant un même intervalle de temps très-

ÉQUATIONS DE L'HYDRODYNAMIQUE. 81

court, en vertu des vitesses parallèles aux axes qui coexistent en ce point au sein de la masse liquide. On trouve ainsi les quatre équations du problème : ce sont des équations aux dérivées partielles, posées au siècle dernier par d'Alembert, comme une application de son théorème général. On peut remarquer que le point de vue auquel on se place dans l'hydrodynamique est différent de celui de la mécanique proprement dite. Dans cette dernière science , on suit les points mobiles sur la trajectoire le long de laquelle ils se déplacent; ici au contraire, et dans toute l'hydraulique, on observe les vitesses des diverses molécules fluides qui viennent successive^ ment passer en des points géométriques fixes. Si Ton connaissait pour tous les points géométriques de l'espace les valeurs successives des composantes des vitesses de chaque molécule dans la suite des temps, il est clair qu'on pourrait revenir du second point de vue au premier, et trouver la loi du mouvement de chaque molécule individuelle.

Mais on est bien loin de posséder cette solution complète. Les équations de l'hydrodynamique, maniées par les plus grands géomètres, ont mérité l'épithète de rebelles, et ont rebuté tous leurs efforts. On comprend d'ailleurs que la question soit d'une complicalion extrême tant qu*on lui laisse toute son étendue. Une masse liquide, animée d'un mouvement absolument quelconque, change de forme, abandonne certaines portions de l'espace qu'elle occupait, pour occuper d'autres portions primitivement vides; certaines parties, semblables à la vague qui déferle, perdent leur continuité et se résolvent en une pluie de molécules indépendantes les unes des autres. Si l'on admet à l'origine du mouvement plusieurs liquides superposés, de densités différentes, le mouvement pourra, dans certains cas, les laisser disposés par couches séparées; dans d'autres cas, les mêler ensemble. Mille accidents semblables devraient être englobés dans la solution générale. Cette solution serait exprimable avec les caractères connus de l'analyse, qu'elle serait vraisemblablement d'un faible secours. Une autre difficulté se

Mécanique. 6

8â RÉGIME PERMANENT.

manifeste encore dans ce problème général. Les forces extérieures dont on tient compte dans Thydrostatique ont des expressions analytiques simples, qui se prêtent aux besoins du calcul, et le plus souvent on peut sans erreur y négliger les forces capillaires, pour s'en tenir à la pesanteur, à la force centrifuge, etc. c'est-àdire à des forces dont les lois sont bien connues. Au contraire, la viscosité joue, dans les liquides en mouvement, un rôle qui n'est plus négligeable; et, bien qu'en principe l'équilibre dynamique ne diffère pas de l'équilibre statique, les équations de l'hydrodynamique doivent admettre certaines forces dont les expressions sont ou très-compliquées, ou complètement inconnues, et dont les équations de l'hydrostatique se trouvaient naturellement affranchies.

En résumé, on n'a pas tiré grand parti jusqu'à présent des équations aux dérivées partielles de l'hydrodynamique. On s'est borné à l'étude de quelques cas particuliers. On a réduit la généralité des équations par des restrictions plus ou moins arbitraires. Le plus remarquable et le plus utile des cas particuliers qu'on étudie est celui où l'on suppose le régime permanent. Le mouvement est alors entretenu de telle sorte qu'à chaque instant, en un même point donné, passe une molécule de masse donnée, animée d'une vitesse dont la grandeur et la direction sont constantes. Le régime permanent est une sorte d'intermédiaire entre le mouvement pris en général et le repos ou l'équilibre. Dans cette hypothèse, les équations générales se simplifient; si l'on réduit les forces extérieures à la pesanteur, on trouve le théorème de Daniel BernouUi, qui est la base de l'hydraulique. Le résultat peut être généralisé et étendu au cas où les forces sont des fonctions quelconques des coordonnées. Le théorème fondamental de l'hydraulique se déduit ainsi des équations générales , mais on le démontre d'une manière beaucoup plus rapide, plus élégante et surtout plus élémentaire, au moyen de l'équation des forces vives; à cet égard, les équations si complexes de l'hydrodynamique n'ont pas une bien évidente ulihté.