STABILITE DES VOÛTES

de toute portion de voûte ainsi isolée, exprimer qu’il n’y a ni tendance au glissement sur le plan de joint, ni tendance à la rotation autour des arêtes de ce joint. Ces diverses conditions s’expriment par plusieurs inégalités, où entrent la poussée à la clef et l’ordonnée de son point d’application. On les écrira pour tous les cours non interrompus de voussoirs compris entre la clef et chaque plan de joint; et l’équilibre sera possible si l'on peut satisfaire à toutes ces inégalités par une valeur positive de la poussée, et une valeur de l’ordonnée à la clef comprise entre les limites correspondantes à l’épaisseur de la voûte. Si cette détermination est possible, il faudra encore, pour la stabilité, qu’en aucun point la charge de la matière n’excède la limite de résistance qu’on s’impose dans les constructions.

La théorie de Coulomb est complète, mais elle serait dans la pratique d’un usage peu commode, si ou ne lui avait pas fait subir une transformation géométrique, indiquée pour la première fois par M. Méry, ingénieur des ponts et chaussées, dans un article inséré dans les Annales de 18Û0. Celte méthode est fondée sur la considération de la courbe ou du polygone des pressions. Si la poussée à la clef était donnée de grandeur et de position, il suffirait de la composer avec le poids d’une portion de voûte limitée à la clef et à un plan de joint quelconque, la surcharge comprise, pour avoir la réaction des parties situées au delà de ce plan de joint. La construction géométrique de cette réaction montrerait s’il y a tendance au glissement ou à la rotation autour des arêtes; car il n’y aurait tendance au glissement qu’autant que la résultante ferait avec la normale au joint un angle supérieur à l’angle du frottement des voussoirs les uns sur les autres; et il n’y aurait tendance à la rotation qu’autant que la réaction mutuelle passerait en dehors du joint au lieu de le traverser. Si donc la poussée à la clef est donnée, on pourra, en la composant successivement avec les poids des voussoirs et de leurs surcharges, tracer le polygone des réactions mutuelles qui s’exercent dans les divers plans de joints; pour

COURBE l)KS PRESSIONS.

l'équilibre, ce polygone devra couper tous les joints dans l’épaisseur même de la xoûte, et les couper sous un angle sufllsamment voisin de l’angle droit. Le lieu des points de passage des réactions successives sur les plans de joints correspondants devient, à la limite, quand on réduit par la pensée les voussoirs à une largeur infiniment petite, une courbe qui est la courbe des pressions. Au lieu de prendre les plans de joints réels, on partage ordinairement la voûte par des plans verticaux pour faire la composition des poids avec la poussée à la clef; on altère ainsi légèrement le tracé de la courbe, mais on lui donne une propriété géométrique utile, celle d’avoir pour tangentes les réactions mutuelles; lu courbe a alors une analogie complète avec les courbes funiculaires, dans lesquelles la tension a une direction tangeutielle. Cette propriété n’existe pas en général pour la courbe des pressions lorsque les pians de séparation des diverses parties de la voûte sont inclinés sur les directions des forces.

La courbe des pressions n’est définie qu’autant qu’on donne son point de départ à la clef avec la direction et l'intensité de la poussée; elle est définie par une équation différentielle du troisième ordre, dont l’intégrale renferme trois constantes arbitraires. On peut donc assujettir la courbe à passer par trois points arbitrairement choisis, et ordinairement on en prend un à la clef et un dans chacun des plans des naissances. Si la voûte est symétrique par rapport au plan de la clef, on pourra choisir ces deux derniers points symétriquement, et la courbe sera elle-même symétrique : c'est le cas le plus général. La poussée à la clef est alors dirigée horizontalement. Des constructions géométriques très-simples font connaître la grandeur de la poussée d’après la position assignée aux points par lesquels doit passer la courbe. Connaissant la poussée en grandeur et en direction, on en déduira le tracé de la courbe elle-même, en partageant la voûte en éléments suflisainmcnt petits. Le tracé indiquera si l’équilibre de la voûte est possible; il faut pour cela que la courbe soit tout entière dans l'épaisseur de la voûte; cette pre-