MOUVEMENT AUTOUR D'UN AXE FIXE

Ou traite sans difficulté, et d’une manière tout à fait élémentaire, la question du roulement d’une sphère ou d’un cylindre sur une surface plane, en tenant compte du frottement qui peut s’exercer entre les deux surfaces en contact. Mais, dans le cas général, le problème du mouvement d’un corps solide sur une surface fixe conduit à des équations très-compliquées.

Les trois autres hypothèses à faire sur la manière d’être d’un corps dans l’espace se réduisent en réalité à deux; car on démontre que, si le corps est entièrement libre, on peut regarder comme fixe son centre de gravité, autour duquel il tourne comme si la translation n’existait pas.

Le mouvement d’un corps solide autour d'un axe fixe est à la fois le cas le plus simple cl le plus utile à étudier pour l’application aux machines. Un théorème général, celui des forces vives, ou celui des moments des quantités de mouvement pris par rapport à l’axe de rotation, fait connaître immédiatement l’accélération angulaire. Elle est égale à la somme des moments des forces par rapport à l’axe de rotation, divisée par le moment d'inertie du solide autour du même axe. Le moment d'inert e est la somme des produits obtenus en multipliant chacune des masses élémentaires du solide par le carré de sa distance à une droite donnée, qui est ici l'axe de rotation. Si on le multiplie par la vitesse angulaire, le produit représentera la somme des moments des quantités de mouvement; si on le multiplie par le carré de la vitesse angulaire, le produit représentera la force vive totale dans le mouvement de rotation. Les moments d’inertie ont des propriétés géométriques qui font l'objet d’un chapitre à part dans la géométrie des masses. On démontrera, par exemple, comment le moment d'inertie d’un corps autour d’un axe peut se déduire du moment d’inertie du même corps autour d’un second axe mené parallèlement au premier par le centre de gravité. La formule dont on se sert pour exprimer cette opération peut se déduire des principes cinématiques de la décomposition des rotations et du théorème sur la décomposition

ELLIPSOÏDE CENTRAL. Au

de la force vive en deux parties. On étudiera ensuite la loi suivant laquelle les moments d’inertie varient autour des droites issues d’un même point, ce qui conduit à la construction d'une surface ellipsoïdale, que l’on obtient en portant sur chaque direction une longueur proportionnelle à l'inverse de la racine carrée du moment d’inertie correspondant.

La surface ainsi construite a reçu de Poinsot le nom d'ellipsoïde central. La considération de cette surface est fort utile dans le problème du mouvement d’un corps solide. Elle permet d’exprimer très-simplement le moment d’inertie du corps autour d’une direction quelconque, connaissant ses moments d’inertie autour de ses axes principaux et les angles formés par la direction avec ces axes. On peut aussi substituer à cette représentation dans l’espace une représentation plane dans un système particulier de coordonnées, en observant que les trois moments d’inertie principaux d'un même corps ont entre eux une telle relation de grandeur qu’on peut toujours construire un triangle dont les côtés leur soient respectivement proportionnels 1 .

Après avoir déterminé le mouvement d’un corps solide autour d’un axe fixe, on doit chercher les pressions exercées sur l'axe pendant le mouvement. L’application des six équations d'équilibre du corps solide, en y comprenant les forces d’inertie, résout cette nouvelle question. On en déduit les diverses conditions nécessaires pour que la rotation persiste autour d’un axe qui n’aurait qu’un point fixe, ou même d'un axe qui n’aurait aucun point fixe. Dans le premier cas, l’axe est un axe principal ou un axe permanent de rotation ; dans le second , l’axe est un axe naturel, et passe par le centre de gravité du corps. Dans certains cas, les forces d’inertie d'un corps doué d’un mouvement de rotation ont une résultante unique, égale à la force d’inertie de la masse entière concentrée en son centre de gravité, et appliquée, non pas au centre de gravité, mais au centre de percussion conjugué de l’axe. Il faut pour cela

1 Voir le Joumat de l’Imlitul (Société philomathique de Paris, séance du ai mais 1866).

PËMïULK COMPOSE.

que l'axe de rotation soi! principal. La rotation autour d’un axe non principal peut se maintenir indéfiniment, bien que Taxe n’ait qu'un point fixe, moyennant l’action d'un couple convenablement déterminé. Enfin, si l’on projette un couple sur les trois axes principaux d’inertie , et qu’on détermine séparément les accélérations angulaires autour de ces axes, correspondantes à chacun des couples composants, on reconnaît qu'un corps solide ayant un point fixe, et soumis à une impulsion instantanée, commence à tourner autour du diamètre conjugué dans l’ellipsoïde centrai du plan mené par le point fixe et la force.

Toutes ces propriétés se déduisent sans difliculté de l’emploi pur et simple du théorème de d’Alembert. La considération des pressions sur l'axe est d’une utilité indispensable dans les applications de la mécanique aux machines, et conduit au choix de la meilleure distribution des masses pour les corps tournants.

La théorie du pendule composé n’est qu’un cas particulier de cette théorie générale. Etant donné un pendule composé, on détermine la longueur du pendule simple synchrone. Cette longueur définit un axe d’oscillation réciproque de l’axe de suspension, ce qui fournit pour la mesure de celte longueur un moyen de vérification pratique. Il résulte de cette théorie qu’un corps pesant, suspendu par un axe convenablement choisi, peut donner des oscillations aussi longues qu’on veut, mais que ces oscillations ont un minimum de durée au-dessous duquel on ne peut les faire descendre. L’étude du pendule composé, pour être complète, comprend encore la recherche des perturbations produites par l’action du milieu dans lequel les oscillations s’opèrent. Poisson a démontré que la résistance de l’air, supposée proportionnelle au carré de la vitesse, réduit l’amplitude des oscillations sans en altérer la durée.

La théorie de la percussion trouve ici sa place naturelle, ün suppose qu’un corps solide, libre, en repos, reçoive une impulsion de très-courte durée; on sait que l’eflet de cette impulsion consistera à communiquer une certaine vitesse au centre de gravité du