MOUVEMENT DES FLUIDES

S 3. HYDRODYNAMIQUE.

Le problème générai de l'hydrostatique consiste, eu dernière analyse, à chercher la répartition des pressions au sein d’une masse liquide qu’on suppose en équilibre. Le théorème de d’Alembert sur le mouvement des systèmes ramène les questions de mouvement à des questions d’équilibre par la considération des forces d’inertie. On ne sera donc point embarrassé pour étendre les équations de l’hydrostatique au mouvement des fluides : il sullit de les compléter, en ajoutant aux forces extérieures, qui y entrent seules, les forces de l’inertie de l'élément de masse qu’on suppose en mouvement. Dans l'hydrostatique, on n’avait qu’une fonction inconnue, la pression , à exprimer au moyen de trois variables indépendantes, les coordonnées des différents points de la masse liquide. Dans l’hydrodynamique, outre ces trois coordonnées, on a encore à considérer le temps, ce qui fait quatre variables indépendantes; et, au lieu d’une fonction unique de ces variables, on en a quatre à déterminer, savoir : la pression et les projections des vitesses des molécules liquides sur les axes coordonnés. La densité peut être aussi , dans l’hydrostatique comme dans l'hydrodynamique, une variable à exprimer en fonction des variables indépendantes. Mais en général on ne fait sur cette quantité que deux hypothèses : dans l’une, on la suppose constante ; dans l’autre , on la regarde comme variable , mais on admet en même temps quelle est proportionnelle à la pression. La première hypothèse convient aux liquides, la seconde correspond aux gaz permanents. Le problème de l’hydrodynamique est donc ramené dans tous les cas à la détermination de quatre fonctions dépendant chacune de quatre variables indépendantes. Les équations de l'équilibre dynamique d’un élément parallélépipédique pris dans la masse sont au nombre de trois; pour trouver la quatrième équation nécessaire, on considère la densité du même élément, et l’on cherche la variation que lui font subir les quantités de liquide qui y pénètrent et qui en sortent, pendant un même intervalle de lemps très-

ÉQUATIONS DE L’HYDRODYNAMIQUE, court, en vertu des vitesses parallèles aux axes qui coexistent en ce point au sein de la masse liquide. On trouve ainsi les quatre équations du problème : ce sont des équations aux dérivées partielles, posées au siècle dernier par d’Alembert, comme une application de son théorème général. On peut remarquer que le point de vue auquel on se place dans l'hydrodynamique est différent de celui de la mécanique proprement dite. Dans cette dernière science, on suit les points mobiles sur la trajectoire le long de laquelle ils se déplacent; ici au contraire, et dans toute l'hydraulique, on observe les vitesses des diverses molécules fluides qui viennent successivement passer en des points géométriques fixes. Si l’on connaissait pour tous les points géométriques de l’espace les valeurs successives des composantes des vitesses de chaque molécule dans la suite des temps, il est clair qu’on pourrait revenir du second point de vue au premier, et trouver la loi du mouvement de chaque molécule individuelle.

Mais on est bien loin de posséder celte solution complète. Les équations de l’hydrodynamique, maniées par les plus grands géomètres, ont mérité l’épithète de rebelles, et ont rebuté tous leurs efforts. On comprend d’ailleurs que la question soit d’une complication extrême tant qu’on lui laisse toute son étendue. Une masse liquide, animée d’un mouvement absolument quelconque, change de forme, abandonne certaines portions de l’espace quelle occupait, pour occuper d’autres portions primitivement vides; certaines parties, semblables à la vague qui déferle, perdent leur continuité et se résolvent en une pluie de molécules indépendantes les unes des autres. Si l’on admet à l’origine du mouvement plusieurs liquides superposés, de densités différentes, le mouvement pourra, dans certains cas, les laisser disposés par couches séparées; dans d'autres cas, les mêler ensemble. Mille accidents semblables devraient être englobés dans la solution générale. Cette solution serait exprimable avec les caractères counus de l’analyse, quelle serait vraisemblablement d’un faible secours. Une autre difficulté se

MKaniqiie. 6