THÉORÈME HE DANIEL BERNOULLI

périence montre que la dépense effective n’est qu’une certaine fraction du produit. De là la nécessité d’affecter ce produit d'un coefficient, qui représente le rapport de la section fluide où l'écoulement s’opère par GleU* parallèles, à la section de l’orifice où les filets ont encore des vitesses convergentes. Le phénomène de la contraction de la veine a été pour la première fois reconnu par Newton, et étudié ensuite par presque tous les hydrauliciens, Borda, Michelotli, Bossut, Eytelvvein, Venturi, Brunacci, Savart (1 833 ). En 1829, Bidone a constaté dans la veine liquide des phénomènes d’inversion qui sont extrêmement curieux, et que MM. Poncelet et Lesbros ont soumis depuis à de nombreuses expériences 1 .

Le théorème de Torricelli n’est qu’un cas particulier d’un théorème posé en 1738 par Daniel Bernoulli, et que nous avons déjà indiqué comme le principe fondamental de l’hydraulique. Ce théorème consiste en ce que, si l’on considère un filet liquide animé d’un mouvement permanent et soumis à la seule action de la pesanteur, et qu’on élève verticalement en chaque point de ce filet une ordonnée égale à la somme de la hauteur représentative de la pression en ce point et de la hauteur due à la vitesse, on obtient partout un même niveau, qui définit ce qu’on appelle le plan de charge. Dans une masse liquide pesante en équilibre, le pian de charge, abstraction faite de la pression de l’atmosphère, est la surface même du liquide; dans un filet liquide en mouvement, sous les conditions qui rendent le théorème de Bernoulli applicable, les variations de la hauteur due à la vitesse compensent rigoureusement en chaque point les variations de la hauteur qui mesure la pression; en d’autres termes, une partie de la pression se transforme en vitesse ou en force vive. Le théorème de Bernoulli n’est en effet que l’application de l'équation des forces vives au cas particulier d’un système soumis à la pesanteur et aux pressions.

Si donc on connaît la loi de la répartition des pressions dans

1 Mémoire présente il l'Académie des sciences le 16 novembre t8ag. (Mémoires rfrs savant* étrangers, t. III.)

8f. CONTIiACTlON DE LA VEINE,

une niasse liquide animée d'un mouvement permanent, et qu'on suppose les frottements négligeables, on pourra, au moyen du théorème de Bernoulli, déterminer en chaque point les vitesses des filets liquides; une intégration fera ensuite connaître la dépense. Malheureusement il s’en faut qu'on sache au juste comment les pressions se distribuent dans une masse liquide qui s'écoule; de sorte que, dans la plupart des cas, le théorème de Bernoulli ne peut s’appliquer que par exception, entre certaines sections particulières; dans d’autres cas, il n’est applicable que par approximation, après qu’on a reconnu dans le mouvement de la masse certaines circonstances analogues à celles que l’on admet pour rendre la démonstration du théorème tout à fait rigoureuse. Le théorème de Bernoulli suppose encore qu’entre les deux sections que l’on considère, le liquide ne subit aucun travail moléculaire intérieur; il faut pour cela que l’écoulement se fasse par des filets assez voisins du parallélisme, et par suite que les sections, si elles changent, se modifient par degrés insensibles. A un changement brusque de section correspondent en effet un changement brusque de vitesse, c’est-à-dire un travail moléculaire analogue à celui que produit un choc, et enfin une perte de force vive, qui introduit un nouveau terme dans la formule. On peut étudier ce cas particulier des changements brusques, s’il s’en produit, au moyen du théorème des quantités de mouvement, qui a l'avantage d’éliminer les actions intérieures. L’usage de ces théorèmes généraux permet de traiter par le raisonnement les problèmes de l'hydraulique, et conduit à distinguer dans les formules ce qui est empirique de ce qui résulte d’une loi rationnelle. Le théorème de la quantité de mouvement s’applique en particulier à la recherche du coefficient de contraction de la veine. S’il s’agit de l'ajula/je rentrant, dont Borda a le premier remarqué les propriétés, la méthode réussit entièrement, parce que la répartition des pressions à l’intérieur de la masse liquide est alors suffisamment connue, et l’on trouve y pour le coefficient cherché. Dans les

AJUTAGES. — EXPÉRIENCE DE \ E.NTUM.

autres cas, tout ce qu'on peut dire, c’est que le coeflicient est compris entre | et l’unité ; les pressions inconnues ne s’éliminent plus dans la formule, et l’équation, débarrassée des ternies dont on ignoré la valeur, se change en une inégalité. L’expérience seule peut alors déterminer le coefficient de contraction. Pour la veine s'échappant en mince paroi, on l’a trouvé égal à 0.62.

La théorie des ajutages se traite à l’aide des théorèmes généraux, après l’étude attentive des circonstances physiques dans lesquelles s'accomplit le phénomène de l’écoulement. L’ajutage cylindrique ramène la veine à sortir à gueule bée par un orifice égal à l’orifice même percé dans la paroi du vase; mais si la section d’écoulement se trouve ainsi plus grande que la section contractée, la vitesse d’écoulement est plus petite, et n’est plus que les 0.82 de ce que donne la formule de Torricelli. L’ajutage cylindrique augmente en définitive la dépense dans le rapport de 6a à 82, mais diminue la vitesse d’écoulement du liquide. O11 rend un compte satisfaisant de ce phénomène complexe en admettant que la veine se contracte dans l’intérieur de l’ajutage comme elle le ferait dans l'air, et qu'elle éprouve plus loin un gonflement subit qui la ramène aux dimensions de l'orifice; ce gonflement équivaut à une perte de force vive. Le théorème de Bernoulli, complété par l’addition du terme relatif à la force vive perdue, s’applique alors rigoureusement, et le calcul fait retrouver pour coefficient de la dépense un nombre voisin du coefficient 0.82 donné par l’expérience directe. E11 même temps on constate que dans la section contractée la pression s’abaisse au-dessous de la pression atmosphérique. Une expérience faite par Venluri confirme ce résultat du calcul : le mouvement de l’eau dans l’ajutage produit une véritable aspiration, qui se manifeste par l'ascension d’un liquide dans un tube adapté à l’ajutage, à l’endroit de la section contractée. Cette expérience n’a été longtemps qu’une expérience de physique intéressante. Elle a revêtu de nos jours un caractère pratique bien accentué. L’injecteur Giflard, appliqué maintenant partout où il y

88 ÉCOULEMENT i)E L'EAU

a des machines à vapeur et des chaudières à alimenter, est à certains égards une admirable généralisation de l’expérience de Vcnturi. A d’autres égards, l’appareil de M. Giffard procède des expériences de Savart faites sur le choc de deux veines liquides. Savai t avait constaté en i833, et publié dans les Annales de physique et de chimie que dans certaines conditions de charges et de vitesses, l’une des veines repousse l’autre dans l’intérieur du vase d’où elle tend à sortir, et qu’il y a ainsi alimentation d’un vase par l’autre. M. Giffard ignorait probablement ce résultat publié par Savart, et sur lequel l’attention ne s’était pas encore fixée. 11 n’en est pas moins curieux et instructif de voir un appareil pratique et universellement apprécié aujourd’hui se résumer pour ainsi dire en deux petites expériences qui, il y a peu d’années encore, ne semblaient avoir d’intérêt que. pour les physiciens’.

L’écoulement de l’eau dans les tuyaux et dans les canaux constitue l’un des problèmes les plus importants de l’art de l’ingénieur. Au point de vue de la science pure, le phénomène du mouvement permanent des liquides coulant dans un lit de forme donnée est la démonstration physique la plus simple et la plus concluante de l’existence des forces dues à la viscosité des liquides, dont nous avions pu faire abstraction jusqu’ici.

La théorie de l’écoulement dans les tuyaux repose sur des notions relatives aux lois du frottement des liquides en mouvement; ces notions, révélées par l’expérience, ont été formulées pour la première fois avec précision par Dubual vers l’année 1783. O 11 constate aisément que les eaux courantes doivent subir de la part du lit dans lequel elles s’écoulent, une résistance qui croît avec la vitesse; cette loi est en effet nécessaire pour que, quelle que soit l’inclinaison du lit, le régime permanent puisse s’établir, comme cela a lieu en réalité. Les expériences de Dubuat, celles que Couplet et Bossut avaient faites antérieurement , ont amené à recon-

1 l 833 , t. LV, p. 357. Gifford. ( Compte s rendus de l’ Academie des

1 M. Couibcs, Rapport sur Vinjectcur sciences , 3 o janvier 1 8Go , [). 198.)