DÉRIVATIONS SUR LES CIRCUITS TÉLÉGRAPHIQUES

Les dérivations jouent un grand rôle dans les longs circuits et en particulier sur les circuits télégraphiques qui, étant exposés aux intempéries de Vair, à la pluie, aux brouillards et aux transports par le vent d'une foule de poussières plus ou moins conductrices, ne peuvent jamais avoir d'isolateurs convenables pour supprimer complètement toute perte ou dérivation à la terre. On a cru aussi pendant longtemps que Faction de l'air humide contribuait beaucoup à détruire l'isolement des lignes ; Ohm et Coulomb avaient même établi des formules pour ce cas de dérivation; mais les expériences que j'avais faites des l'année 1865, et celles beaucoup plus concluantes que M. Gaugain a entreprises sur une grande échelle, en 1868, ont montré que cette influence qui est très-manifeste, il est vrai, sur les charges statiques de haute tension^ est à peu près nulle sur les circuits télégraphiques, du moins pour les courants ordinairement employés en télégraphie (1). Il faut donc attribuer les causes des pertes énormes que l'on observe, aux mauvaises conditions des isolateurs qui, quelque parfaits qu'ils puissent être, condensent toujours sur leurs parois des vapeurs humides ou se recouvrent de dépôts conducteurs résultant soit des fumées de charbon de terre des locomotives ou autres générateurs de fumée, soit des poussières transportées par le vent, soit même des produits d'origine animale, au nombre desquels nous citerons en première ligne les toiles d'araignée qui existent toujours dans les isolateurs, quelque soin qu'on prenne de les nettoyer. Si enjoint à ces causes de dériva-

(1) Voir mon Exposé des applications de VéUctridté^ 9* édition, tome V, p ISS, et le mémoire de M. Gaugain, dans les Mondes^ tome XIX, p. 714.

24 EXPOSÉ DES APPUCATIONS

tion les fissures que peuvent présenter les isolateurs eux-mêmes, la mauvaise qualité (sous le rapport de Tisolation) des matières qui les constituent, enfin les contacts accidentels avec des corps conducteurs en rapport plus ou moins direct avec le sol, tels que feuilles d'arbres , chiffons, papiers, plumes, etc., qui s'y accrochent souvent, on trouvera, dans toutes ces causes , l'explication des pertes dont nous avons parlé , sans qu'il soit besoin de faire intervenir l'humidité de Tair,

Ramenée dans ces conditions, la question des dérivations sur les circuits télégraphiques se simplifie et permet de poser des formules qui peuvent conduire à des déductions importantes, formules qui peuvent d'ailleurs s'appliquer aux dérivations artificielles qa'on pourrait établir. Or, nous voyons déjà qu'en appliquant les formules que nous avons déduites précédemment, aux lignes télégraphiques, on arrive à reconnaître que les effets des dérivations sont plus ou moins nuisibles suivant les points de la ligne où elles sont appliqijées, et que celui de ces points où elles sont le plus préjudiciables Correspond au milieu de la ligne,

Fig. 7.

lÛ-b^^^ll^H^r] :v Kt^^QP: x:.o -^,:î^

En effet, appelons x et x' (fig. 7) les deux parties de la ligne, à partir d'une dérivation de résist>ance a; appelons / la longueur réduite de la ligne, ou sa résistance, et admettons (ce que, du reste, nous démontrerons bientôt), que le sol complète le circuit sans présenter de résistance effective : la résistance totale T sera , d'après les formules précédentes :

a -H ar ' ' (j,^xi)-\' a

Si la résistance de la source électrique est comprise dans la partie ar* du circuit / et que E représente la force électro-motrice totale cette source, l'intensité du courant dans la partie ar' du circuit / sera représentée par:

Ea Ea Ea

ou -zm — ■.. . ,x , /, ,.^ o ou

x' (a? -f a) -f ajr ' J?'(/--a?'-|-a)+(/-jcOa' ^' i} — a?') -f la ' Or, dans cette expression, le produit xf {l — x') ou Ixf — a:'* permet de reconnaître les conditions de maxima et de minima de la valeur de L

DE l'électricité, 25

En effet, pour que cette valeur soit la plus grande possible, il faut que ce produit devienne zéro, c* est-à-dire que x' = / ou soit lui-même égal à zéro : dans ce cas, la dérivation est supposée se produire trës-prës de Tun ou de Tautre des pôles de la pile. Maintenant, pour que l'intensité I devienne au contraire la plus petite possible, il faut que la quantité x soit assez grande pour augmenter le plus possible le produit Ix et pouvoir cependant en être retranchée après avoir été multipliée par ellemême. Désignons par n le maximun inconnu de la valeur /x' — x', on pourra poser :

Or, pour que cette valeur de x* soit positive ou réelle, il faut que la quan«

tité n, qui doit être la plus grande possible, puisse se retrancher de - -

et elle ne peut fournir ce résultat ((li'en lui étant tout au plus égale. Dès ^ lors la valeur de x', dans ces conditions, devient •^. Ainsi, c'est au milieu du circuit que les dérivations exercent la plus fâcheuse influence (1) ; et comme dans les lignes télégraphiques la résistance de la terre est considérée comme nulle, ce devrait être au milieu de la ligne que les plus mauvais effets de ces dérivations devraient se manifester. Toutefois, comme dans les appareils télégraphiques, il existe un électro-aimant qui a une résistance à peu près égale à celle de la ligne, c'est par le fait dans le voisinage du point le plus éloigné du générateur électrique que les dérivations sont les plus nuisibles.

Nous allons maintenant chercher à déterminer, pour le genre de dérivations qui se produit par les poteaux télégraphiques, une formule simple qui soit facilement discutable.

Plusieurs savants, entre autres MM. Blavier, Lagarde, Ducolombier, etc. (2), ont étudié cette question en procédant par le calcul différentiel et intégral, et sont arrivés à des formules plus ou moins compli-

(1) Pour démontrer cette proposition par le calcul différentiel , on prend la dérivée de afl — 01^2 qui est / ~ 2 x', et pour que cette expression soit zéro, il faut que / » Srou

que x' =s -p. (Voir la note A à la fin du volume).

(2) Voir les mémoires de ces savants dans les Annala télégraphiées , 1. 1, p. 220 ; — 1. 111, p. 26 ; — t. IV, p. 609 ; -^ t. VII et VIU,

quees, qui, si elles tiennent compte de toutes les quantités qui doivent entrer dans ces calculs^ ont Tinconvénient de ne pas se prêter à une discussion facile. Elles ne peuvent d'ailleurs conduire pratiquement à des résultats parfaitement exacts, à cause de la variabilité des quantités qui figurent dans ces formules et qui sont différentes pour chaque dérivation. Une grande précision dans les calculs n'a pas, du reste, sa raison d'être dans le cas qui nous occupe en ce moment ; car en raison de la résistance énorme des dérivations, qui atteint comme valeur minima 1 500 000 000 de mètres de fil télégraphique de 4 millimètres de diamètre, toutes les petites différences qui peuvent résulter des parties de la ligne adjointes à cette résistance se trouvent à peu près effacées.

^ Pour ne pas compliquer une question qui ne gagne rien à une surcharge de quantités connexes, j'ai cherché à la réduire à sa plus simple expression en faisant le raisonnement suivant :

Si a représente la résistance moyef ne des dérivations, d leur nombre, on pourra considérer, en raison de l'énorme valeur de a, toutes ces dérivations comme égales entre elles et équivalentes à leur résistance propre augmentée de la moitié de celle de la ligne /. Cette résistance moyenne est donnée par Texpérience, et c'est elle que nous représentons par a. Par suite, leur résistance totale sera, d'après les formules

précédentes :

ad

da

(d^\) OU — ,

Or, si on combine cette résistance totale avec celle de la ligne que nous considérons comme une deuxième dérivation de résistance /, la nouvelle résistance totale a laquelle elle donnera lieu, sera exprimée par :

T = -!lil = — ^ (6)

a a -\-dl

Par suite l'intensité du courant devient.

1** Dans le cas le plus favorable, c'est-à-dire en supposant toutes les dérivations appliquées près de la source électrique :

Y ^ — tl — vr

DE l'électricité. 3T

3" Dans le cas le pins défayorable, c'est4-dire en supposant toutes les dérivations appliquées au milieu de la ligne (1) :

E ÎT

et ici V devient égal à :

Nous verrons plus tard, quand nous en serons au chapitre des piles voltaïques, comment ces formules peuvent être appliquées dans la pratique, et les déductions qu'on peut en tirer ; en ce moment, nous n'examinerons que les conséquences auxquelles elles conduisent, relativement à la résis* tance des circuits, et les moyens qu'on a dû employer pour fixer approximativement la valeur moyenne a des dérivations.

Puisque -— représente la résistance totale des dérivations des circuits,

et que ces dérivations se trouvent généralement espacées à une distance p qui peut être estimée en moyenne à 75 mètres, il devient facile, en constatant la perte d'électricité sur une ligne isolée à une de ses extrémités, de reconnaître la valeur de a. En effet, si l'intensité du courant fourni par cette perte est représentée par I, avec un générateur électrique dont la force électro-motrice est E, on pourra poser :

(1) La formule donnée par M. Biavior est la suivante :

(• + m)(p + m)e -^-Is^ m) {m^p) e

I représentant l'intensité du courant, a la longueur de la ligne, ^ x la distance d*un point quelconque du conducteur à la pile, — F la force électro-motrice de la pile, « sa résistance, p la résistance du fil du circuit supplémentaire placé à l'extrémité de la ligne et non sujet à des dérivations, — m> la résistance du conduteur qui, placé à chaque unité de longueur, pourrait remplacer les dérivations, — e la base des logarithmes Népériens ; les résistances s. p et m^ étant exprimées en fil de môme nature que celui de la ligne. Cette formule représente l'intensité du courant aux divers points de la ligne. Elle peut être simplifiée dans différents cas, et permet une discussion qu'on pourra suivre 4ant le TraUé de Télégraphie de M. Blavier (i* édition, tome II, p. U7),

Mais, si avec les mêmes instruments mesoreurs de Tintensité du courant, et avec le même générateur électrique, on constate par un temps parfaitement sec rintenslté du courant produit sur la même ligne mise directement en rapport avec le sol au bout primitivement isolé, on aura une autre valeur V qui sera représentée par :

et en combinant ensemble ces deux équations, on arrive à la relation suivante, de laquelle on peut tirer la valeur de a :

\ dEl dl r ■" aE "^ a'

doù: a= —r— .

Or, les expériences faites sur les lignes télégraphiques conduisent à des valeurs très-différentes, non-seulement suivant l'étatplus ou moins humide de Tair, mais encore suivant la nature et la construction des isolateurs, suivant Tancienneté plus ou moins grande de la ligne, suivant son état d'entretien, suivant même les conditions de son parcours ; car Ton conçoit facilement que si une ligne passe à travers des villes manufacturières où il se dégage une grande quantité de fumée, Tisolation ne peut pas être aussi parfaite que dans des pays de plaines où Tair n'est pas imprégné de matières conductrices. Il suffît, du reste, de voir la couleur des isolateurs aux entrées des gares de chemins de fer pour juger de leur qualité sous le rapport de Tisolation.

Il est encore un autre élément qui peut changer considérablement la valeur de a déterminée d'après nos formules, c'est l'espacement des poteaux souteneurs des fils que nous avons supposé être de 75 mètres, mais qui, par le fait, varie suivant les conditions de construction de la ligne. Ce chiffre 75 ne peut donc être pris que comme une moyenne ; on pourrait toutefois éviter ce cas d'erreur, si on avait un grand intérêt à le faire, car le nombre des poteaux de chaque ligne est enregistré aux administrations des lignes télégraphiques ; mais comme pour arriver à un calcul quelque peu exacte il faudrait examiner les conditions de tous les poteaux et tenir compte des influences du iemps sur tout le parcours des lignes, et tout cela pour n'arriver qu'à des conclusions susceptibles tout au plus de s'appliquer à la ligne expérimentée, il est plus simple

DE L^ÉLEcnucrrÉ. 29

àe ne considérer que les conditions générales, et de prendre des moyennes. Or, ces moyennes pour la valeur de a sont comprises entre 1 million et demi et 5 millions de kilomètres de fil télégraphique de 4 millimètres de diamètre, et cela en supposant le temps humide. Le premier chiffre se rapporte aux lignes en service depuis longtemps, dans un mauvais état d'entretien, et dans de mauvaises conditions de parcours. C^est en un mot un minimum qu'on devra toujours choisir de préférence dans les calculs, pour ne pas s'exposer à des erreurs en moins, et c'est ce minimum qui a été adopté par M. Varley pour les lignes dont il avait la direction en Angleterre (1). Le dernier chiffre 5 millions de kilomètres s'applique aux lignes nouvellement construites ; et avec les isolateurs du nouveau système il peut être encore plus considérable, comme l'a constaté M. Gaugain ; toutefois^ comme cet état est instable, on s'exposerait à des erreurs en l'employant. Quand le temps est très-sec, on ne constate presque aucune dérivation sur les circuits, du moins quand ceux-ci sont courts et nouvellement établis ; quand ils sont très-longs et de construction déjà ancienne, il n'en est plus de même et la valeur de a peut atteindre un chiffre très-appréciable. On pourra en avoir une idée d'après les expériences que M. Guillemin a entreprises sur une ligne de 570 kilomètres qu'il avait à sa disposition et dont il voulait reconnaître le degré d'isolation par un beau temps. Voici quelles étaient ces expériences :

La ligne de 570 kilomètres étant isolée dans toute son étendue, M. Guillemin l'a maintenue, par une extrémité seulement, en contact avec une source électrique jusqu'à ce que la charge statique dufilfutcomplète.

Dans une première expérience, le circuit fut rompu et l'une des extré* mités du fil fut mise en communication avec le soi par un fil ; en ^ millièmes de seconde la charge électrique du fil tomba de. 74^ à 10^.

Dans une seconde expérience, on coupa la communication avec la source mais on maintint le circuit isolé ; la charge ne pouvait disparaître que

(1) Ea admettant pour valeur, de la résistance de chaque dérivation 1 milliard et

demi de mètres de 01 télégraphique de 4 millimètres de diamètre, on trouve, à l'aide de

la formule I m X — > que pour une ligne de iOO kltoroètres, les pertes à

la terre, par les mauvais temps et avec une pile de ÎO éléments Danîell, doivent fournir une déviation de 5<>56' (à la boussole des sinus de 12 tours). C'est un chiffre bien voisin de celui fourni par l'expérience, car M. Blavier assure que, dans ces conditions, les perles constatées peuvent atteindre 5 ou 6 degrés, mais ne les dépassent pas. Avec une pile de 50 éléments cette déviatioU serait 14^17'. .

par suite des dérivations ou de raction de Pair; mais comme celle-ci peut être négligée, ainsi qu'on Fa vu précédemment, cette déchaîne ne devait être attribuée qu'aux dérivations par les poteaux. Or, cette charge tomba dans le même espace de temps, c'est-à-dire en 25 millièmes de seconde^ de 56« à 22^

Il résulte de ces différentes expériences , que les dérivations qui ont écoulé la charge de la ligne dans le second cas et le fil métallique qui l'avait écoulée dans le premier, ont joué exactement le même rôle. Seulement, comme les premières n'ont pu écouler dans un même espace

de temps que la moitié de cette charge, alors que le fil métallique en avait

fi écoulé les -=-, il faut admettre que les dérivations dans leur ensemble

représentaient une résistance plus grande que celle du fil de ligne dans

1 fi le rapport de -x- à ^ ; or, cette résistance étant représentée, ainsi qu*on

Ta vu, par --, on se trouve conduit à la proportion :

d'où : a=ldx -=-,

Comme rf == =^ on a en définitive pour valeur de a le chiffre

— 7,364,400,000, c'est-à-dire un peu plus de 7 millions de kilomètres.

Nous reviendrons du reste sur cette question quand nous en serons au chapitre des lignes aériennes.

Il nous reste maintenant à examiner les conséquences qui peuvent résulter de l'intervention des dérivations sur un circuit, et, pour cela, nous aUons discuter la formule qui en représente la résistance totale dans le cas le plus simple qui est, comme on Ta vu :

On voit déjà, au premier aspect, qu'elle est susceptible d'un maximum, car pour une autre longueur de ligne /', le rapport des résistances totales

-^ deviendra égal à :

• J^ (o + d/Q i ^ (a -f dO *

DE l'électricité. " 31

on, en représentant par p la distance entre les points de dérivation, à :

Or, nous voyons que tandis que le rapport des résistances métalliques

croit comme leslongueurs delaligne, celui des résistances totales croit comme

ce rapport multiplié par une quantité qui tend à l'amoindrir et à le rap-

prêcher de Tunité, et cela d'autiint plus que les valeurs de l et de /', sont

plus grandes : il devra donc arriver un moment où ces résistances totales

ne croîtront plus du tout, et même deviendront dé plus en plus petites si

on continue d'augmenter la longueur de la* ligne ; et cette limite sera

atteinte quand le rapport précédent sera devenu égal à Tunité, c'est-à-dire

quand :

/ {pa + /") = l'{pa + /»),

OU quand IP = pa ;

pa étant une quantité constante qui, dans Thypothëse d'un écartement de 75 mètres entre les dérivations et avec le minimum de la valeur de a que nous avons assigné, représente cent douze millions et demi de kilomètres de fil télégraphique, il devient facile d'apprécier la valeur du produit //' ; mais comme l'équation précédente peut être satisfaite par différentes valeurs de H' qiii devront être entre elles dans un rapport constant et inverse, il sera possible de n'avoir à considérer qu'ime longueur / du circuit pour obtenir la valeur maxima, et pour cela il suffira de faire /' = L Dès lors l'équation précédente deviendra :

Z* = po, d'où / = ^pa»

On arrive donc à conclure que, dans le cas le moins nuisible des dérivations, la résistance totale cfune ligne télégraphique est susceptible d^un maximum qui est atteint quand sa résistance métallique est égale à la racine carrée de pa^ c'est-à-dire à 335,410 mètres (1). Dans cette

(1) Cette proposition peut se^émontrer d'une manière très-simple par le calcul différentiel. En effet, si dans la formule .^ /-- qui représente la résistance totale sans Tin*

terveiilion de d, on fait disparaître le facteur l du numérateur, H suffira de chercher le minimum du dénominateur pour avoir le maximum de l'expression ; or, la dérivée de

i + - ; étant 1 — ... , on en conclut que pour que cette dérivée soit :téro ou pour le mini

mwùy il faut que i* = ap ou que / =: j/"^

âî

condition, cette résistance totale devient égale à la moitié de la résistance de la ligne, car la formule qui la représente est alors exprimée par :

lap l

op -|- op 2