LOIS DE LA DURÉE DE LA PROPAGATION RELATIVE

Quand la perte par Tair est négligeable, les lois précédentes, sauf la première, peuvent s'appliquer à la durée de la propagation relative. Dans ce cas, en effet, la dv/rée de la propagation devient indépendante de la tension de la source ; et pour qu'on puisse le comprendre, supposons qu'au bout d'un temps t^ une section déterminée m du conducteur ait atteint une tension e sous Tinfiuence d'une source de tension E. Le con-

diicteur restant le même, portons la tension de la source à nE, Puisqu'il e^t démontré d'après la proposition 1 , qu'au bout d'un temps donné, la tension d'une section déterminée du conducteur, est toujours proportionnelle à la tension de la source^ la section m au bout du temps t aura né-

cessaircment acquis une tension ne sous l'influence de la tension nE; par conséquent, le temps nécessaire pour que la tension d'une section déterminée du conducteur soit une fraction donnée de la tension de la source, est complètement indépendant de la tension de cette source.

Quand la perte par Tair n'est pas négligeable et que le courant est soumis à des dérivations régulières, la durée de la propagation relative suit une marche moins rapide que celle indiquée par les propositions générales qui ont été établies précédemment ; elle suit une loi inverse h celle qui s'applique à la propagation absolue, quand la perte par l'air ou par les dérivations n'est pas négligeable.

Si on chercbe à résumer dans une même formule ces différentes lois, et que l'on considère la durée de Vétat variable comme un cas parti-culier de la durée de la propagation relative^ on arrive à la formule suivante posée par M. Gaugain :

T désignant la durée de la propagation ; k la conductibilité spécifique ; / la longueur du conducteur ;

w l'air de la section ;

c le coefficient de charge ;

q- un coefficient constant, dépendant des unités adoptées et des évaluations c, Z, /c, et w.

La démonstration de ces différentes lois est assez simple , et , comme point de départ, nous examinerons ce que devient la durée T, quand une source électrique de tension constante est mise en rapport avec deux conducteurs / et l\ de mêmes dimensions , mais de conductibilité différente ; et, pour simplifier nos raisonnements, nous supposerons que la conductibilité de V est deux fois plus grande que celle de / : nous conviendrons, en outre, de désigner par «»j, m\^ m'\^ trois tranches successives prises dans le conducteur /, et par w,, «»'„ w"„ trois autres tranches occupant respectivement les mêmes positions dans le conducteur/'. Si nous imaginons qu'au bout d'un certain temps t, la distribution soit la

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même dans les deux conducteurs^ il faudra admettre que la quantité d^ électricité que la tranche m\ recevra de la tranche Wj, dans Vêlement de temps a^ sera double de la quantité d'électricité qui passera de la tranche m^ à la tranche m\ ; de même que la quantité d'électricité cédée par la tranche m\ à la tranche m'\ sera deux fois plus grande que la quantité cédée par la tranche m\ à la tranche m^\ ; donc l'accroissement de tension de la tranche m^^ dans Vêlement de temps A^ sera deux fois plus grand que l'accroissement de tension de la tranche m\. En d'autres termes, la tranche m\ ne possédera qu'au bout de deux instants écoulés la tension que la tranche m\ atteindra en un seul instant.

Comme les raisonnements qui précèdent peuvent s'appliquer à toutes les sections des deux conducteurs et à tous les instants qui se succèdent, il en résulte que la distribution des tensions, établie au bout du temps <-|-29, dans le conducteur /, sera exactement la même que celle qui appartiendra au conducteur V au bout du temps /-|-6< 6 étant un intervalle de temps fini quelconque. On démontrerait de la même manière que la distribution des tensions dans le conducteur l au bout du temps t — ^9 est encore égale à celle qui appartient au conducteur V au bout du temps t — 0 ; donc si la tension est nulle au bout du temps t — 29 pour le conducteur Z, elle est également nulle pour le conducteur V au bout du temps t — 9 ; mais dans ce cas, e et 23 représentent précisément l'intervalle de temps appelé par M. Gaugain, durée de propagation absolue. Donc , en définitive , tes durées de propagation absolue sont en raison inverse des conductibilités.

Il en est évidemment de même des durées de propagation relative ; car les tensions limites des points qui occupent les mêmes positions dans les conducteurs A et B étant égales entre elles, il est clair que si l£S tensions- de ces mêmes points ont à des instants donnés la même valeur absolue, elles ont aussi la même valeui* relative.

La loi relative à la section, peut se démontrer exactement de la même manière ; il n'y a que le mot section à substituer au mot conductibilité dans les raisonnements qui précèdent. Il en est de même de la loi relative au coefficient de charge.

Quant à la loi des longueurs, elle dérive également delà même théorie. Supposons, en eJfet, que les deux conducteurs /et t ne diffèrent entre eux que par leur longueur qui sera pour t double de ce qu'elle est pour l : on comprendra aisément que pour que les tensions des différentes tranches i»^,

m\^ m''|, m^i, m',, m", deviennent égales deux à deux , il faudra des temps différents, car les éléments cylindriques des sections «tj, w ,, m"^^ seront deux fois plus longs que ceux des autres sections. En conséquence, les flux électriques transmis àtravers les premiers, dans l'élément de temps A/, seront deux fois plus petits que ceux qui seront transmis dans le même intervalle de temps de m^ à m\ et de m\^ à m'\. D'autre part, la surface de ces petits éléments cylindriques m,, m',, m"^^ étant deux fois plus grande, il faudra, pour obtenir de part et d'autre un égal accroissement de tension, communiquer aux premiers éléments une quantité absolue d'électricité double de celle que Ton communique aux seconds. L'accroissement de tension qui se produit en m\ dans l'élément de "temps At est donc, en définitive, quatre fois plus petit que celui qui se produit en m\. Donc, il faut que quatre instants s'écoulent, pour que la tranche fn\ parvienne à la tension que la tranche m\ acquiert en un seul instant. Le même raisonnement pouvant s'étendre à tous les instants et à toutes les tranches, on en conclut que la durée de propagation correspondant au conducteur l' est quatre fois plus grande que celle qui correspond au conducteur /, et plus généralement, que la durée de propation est proportionnelle au carré de la longueur, que cette propagation soit considérée comme absolue ou relative.

La loi relative à la tension de la source peut encore être déduite du même ordre de raisonnements. Supposons, en effet, que les tranches m, tnf^ m" aient, au bout d'un temps /, leurs tensions respectives w, u', u'\ proportionnelles à la tension de la source a : le flux échangé dans l'instant àt entre les tranches m et m' sera proportionnel à a puisqu'il est proportionnel à u — u' ; il en sera de même du flux échangé entre les deux tranches u' et u". Donc, l'accroissement au' de la tension de la tranche m' sera proportionnel à a, puisque cet accroissement n'est que la différence des quantités d'électricité reçues et transmises. Donc enfin, la tension définitive u!-\'Au'y que possédera la tranche m' au bout du temps iJ^At restera proportionnelle à la tension de la source a. Le même raisonnement pouvant s'appliquer à toutes les tranches et à tous les instants qui se succèdent, on voit que si les tensions correspondantes aux divers points du conducteur sont, pour un instant donné, proportionnelles à la tension de la source, cette proportionnalité doit subsister pour tous les instants qui suivent. On démontrerait aussi aisément qu'elle doit subsister aussi pour les instants qui précëdeni. Or, on sait que, dans Tétat

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permanent, la tension d'un point déterminé quelconque est proportionnelle à la tension de la source ; il en doit donc être de même dans Tétat Yariable. Mais il est facile de voir que cette proportionnalité revient à admettre que la propagation relative est indépendante de la tension de la source ; car si on désigne par T la tension limite qui appartient à un point déterminé P d'un conducteur, on aura T = ILa; a représentant la tension de la source, K, la quantité qui rend a égale à T et qui est indé* pendante de a; mais d'après la proportionnalité qui a été établie, si on représente par /la tension obtenue au point P au bout d'un temps donné 0, on aura t = K'a, et de ces deux équations, on tire :

or, ~ représente précisément la durée de la période relative, et on voit

que la quantité a disparait du membre de Téquation qui en donne la valeur. La durée de la période relative est donc indépendante de la tension de la source (1).

Il ne nous reste plus à expliquer que les causes qui modifient les lois précédentes, dans le cas où le circuit est soumis à des dérivations régulières, échelonnées sur tout son parcours, comme cela a lieu sur les lignes télégraphiques.

Si Ton réfléchit que la durée de la propagation absolue se rapporte à une tension donnée, qui est, par conséquent, indépendante des variations que peut subir la durée correspondante à rétablissement de l'état permanent, et si l'on considère, d'un autre côté, que toute cause qui aura pour effet d'affaiblir la tension dans le circuit, aura pour résultat de demander au prolongement de la durée de propagation la forde électrique nécessaire pour fournir cette tension donnée, on comprendra facilement que les dérivations qui affaiblissent l'intensité du courant dans un circuit, et cela d'autant plus que le circuit est plus long, devront avoir pour effet d'aUonger la durée de la propagation absolue, ei de rendre plus rapides les lois de proportionnalité qui ont été établies pour cette durée.

Quant à la durée de la propagation relative, les perturbations apportées par les dérivations aux lois qui la concernent doivent modifier celles-cî dans un tout autre sens» En effet, la durée correspondante à l'établis-

(1) Voir le mémoire de M. Gaugain {Annales téUçrapMques, tome lY, p. 13).

sèment de la période permanente dépendant des conditions de résistance du circuit entier, y compris les dérivations, et la résistance totale de ce circuit étant, par le fait des dérivations, moindre que la résistance métallique, il faudra un temps moins long pour que la tension électrique, en nn point donné, atteigne une fraction donnée de la tension limit-e, que dans le cas où le circuit est isolé ; et, comme les dérivations sont d'autant plus nombreuses que le circuit est plus long, les durées de la propagation relative devront suivre, dans leur accroissement, une marche plus lente que celle indiquée par les proportionalités établies précédemment.

Une conséquence fort curieuse et fort importante de ces lois au point de vue pratique, et qui résulte de l'introduction dans la formule du coefficient de charge c, c'est que Von augmente considérablement la rapidité des transmissions^ en augmentant le diamètre des fils conducteursy et cela dans une proportion beaucoup plus grande que ne semble l'indiquer le diamètre de ces fils , considérés seulement eu égard à la loi de la section.

. En mesurant, en effet, les coefficients de charge pour plusieurs échantillons de fils des diamètres les plus usités pour les communications télégraphiques, M. Gaugain est arrivé aux résultats suivants :

Diamètre des fils 1 . 2. 3. i. 5.

Coefficients de charge ... . 100 113 125 133 141;

et Ton peut voir que ces coefficients croissent beaucoup moins vite que les diamètres. Or, en partant des nombres ci-dessus, on trouve que le durées de propagation sont proportionnelles aux nombres suivants :

Diamètre des fils 1 . 2. 3. 4. 5.

Durée de propagation ... . 100 28,2 13,9 8,3 5,6.