E ET ET

Or, dans le cas d'une pile composée de plusieurs éléments, puisque E

(1) Voir le mémoire de M. Trotin dans lei Annales télégraphiques y tome Vil, p. 875.

devient nE et que L se compose de R 4- L) les formules doivent se trouver transformées de la manière suivante pour deux dérivations :

nE(a + fe) ^j.

~(nR + L)(a + 6)+a6' ^ '

(nR + L)(a + fr) + a6 ^ ^

Or, ces formules sont susceptibles d'être discutées au point de vue de la force de la pile par rapport aux conditions du circuit, et Ton peut reconnaître facilement : 1^ que, quand les dérivations sont égales dans deux circuits dérivés, les intensités du courant sont égales dans chacun d'eux ; 2^ que si l'une des dérivations est excessivement petite par rapport à l'autre, le courant passe presque entièrement par cette petite dérivation sans fournir de courant appréciable dans l'autre ; 3® que si on considère la résistance de la pile comme nuUe, on peut dériver un nombre quelconque de circuits égaux sans que l'intensité électrique soit diminuée dans chacun d'eux en particulier. Cette dernière déduction, qui est le résultat de ce que, dans les formules (21), (22), (23), les quantités (nR -f- L) (a -f- b) se trouvent alors détruites, a été souvent mal interprétée, et a fait croire k bon nombre d'inventeurs qu'on pouvait dériver indéfiniment le courant d'une pile, pourvu que les dérivations fussent prises à partir de ses pôles ; mais il faudrait pour cela que la valeur de R fut nulle, I ce qui est matériellement impossible : il résulte toutefois de cette déduc-

i tion que les dérivations, à partir de la source, peuvent être faites d'une

' manière d'autant plus avantageuse que cette valeur R est plus petite.

Quant aux deux premières déductions, elles résultent de la symétrie des formules (22) et (23) :

Si nous considérons maintenant deux dérivations égales faites à partir des pôles mêmes d'une pile, et que nous cherchions l'expression de la valeur de l'intensité du courant dans chacune des dérivations, on trouvera que les formules (22) et (23) se réduisent en supposant L compris dans R, à :

fiEd . 9tE

ou a

nR(a+a) + a« "^ 2nR+a'

avec trois dérivations elles deyiennent :

fiE

avec quatre dériyations :

fiE

4nR+a."*

Or, on peut dédaire de ces formules, qui ne différent de la formule ordinaire que par la quantité R qui se trouve multipliée par 2, 3, 4, etc., que les dérivations affectent surtout la résistance de la pile. Par conséquent^ plus cette résistance sera considérable, plus Faction des dérivations sera nuisible.

Enfin, si, d* après les formules 21,22, 23, nous considérons que l'intensité du courant dans les parties circuit qui précèdent la dérivation, est

représentée par (^rH.- +>) (a + 6) + fl6' *'*'" q»» l'intensité dans

la dérivation a est représentée par T->r-î ; — ix / — . ,x- , — r^ on

'^ '^ (nR + r + /) (a -f 6) + ab

comprendra aisément que, dans un circuit mal isolé, comme celui des lignes télégraphiques, deux appareils placés aux deux extrémités de la ligne fonctionneront avec des intensités bien différentes, quoique étant interposés en apparence dans un même circuit.

Si nous calculons maintenant les valeurs des intensités des courants dérivés par rapport à la formule simple que nous avons donnée page 26 pour représenter les dérivations sur les circuits télégraphiques, nous trouvons qu'elles peuvent être exprimées :

i^ Dans le cas le plus favorable par :

nE-^ a

ou I:

nEap.

nR (i* + ap) + lap, (^)

2** Dans le cas le plus défavorable par :

nE^a

inEap

''- - . - ^ .V - ^^ ^' -(2nR+0(2a|>+^+2ap/ (^^

Dès lors, rintensité que Ton cherche à calculer approximativement est fournie par la moyenne des deux valeurs I et F.

Des équations (24) et 25) Ton déduit :

lia ^^ , (4a +/(/)«

aE — RI (a + Id) ' 4Ea — 2IR(2a + Id)'

ce qui montre que Ton n'est pas toujours maître d'obtenir une intensité donnée sur un circuit télégraphique, quand bien même on augmenterait indéfiniment la force de la pile. En effet, les limites extrêmes des valeurs de n (dans le cas où toutes les valeurs /J,a,c/,..., sont connues) sont atteintes quand : 1« aE = RI (a + Id), 2« 4aE = 2IR (2a + Zrf) ; c'est-à-dire, en supposant les poteaux télégraphiques éloignés de 75 mètres les uns des autres, quand :

d'où Ton conclut que la longueur d'une ligne télégraphique sur laquelle on peut obtenir une intensité électrique donnée est très-limitée, et peut être plus ou moins grande suivant les valeurs relatives de a, de I et de (/. Plus les valeurs de l ei de d sont considérables, plus cette longueur est petite ; au contraire, plus la valeur de a est grande, plus cette longueur est considérable.

Du reste, il est facile de voir que la valeur minima de la quantité a pour correspondre à une intensité donnée avec un nombre infini d'éléments de la pile est donnée par Téquation :

3RI Id ^ - 4 (E — RI) •

Si on prend pour valeur de a, 1500000 kilomètres de fil télégraphique, ainsi que nous l'avons vu page 29, valeur qui est le coefficient adopté par M. Varley (i),ilen résulterait que la force électro-magnétique d'un

(1) Dans la formule que nous avons donnée page 28, pour la détermination de cette valeur, nous avons supposé que l'expérience était faite avec une source électrique dont la résistance était comprise dans la résistance /, mais maintenant que nous connaissons le rôle important de la résistance des piles dans les formules des courants dérivés, il importe d'avoir une expression qui tienne compte de cette valeur et cette expression peut être mise sous cette forme :

dfT Rd(r>-I)

électro-aimant de 200 kilomètres de résistance, interposé sur une ligne de 400 kilomètres, pourrait être diminuée, par le fait des dérivations, dans le rapport de 70 à 40, c'est-à-dire de près de moitié. Dans ces conditions, la pins grande longueur du circuit à laquelle on pourrait fournir l'intensité 0,3%, nécessaire pour faire fonctionner les appareils, serait de 1664 kilomètres ou 413 lieues, avec un fil de 4 millimètres de diamètre, et encore faudrait-il que la pile fut composée d'un nombre infini d'éléments.

Comme le milieu de la résistance d'un circuit télégraphique peut varier suivant les résistances non sujettes aux dérivations qui existent aux deux extrémités de la ligne, il vaut mieux désigner par x et at', ces deux résistances, sans préciser leur valeur dans rétablissement de la formule, quitte à leur restituer leur véritable chiffre lors de la discussion de cette formule. D'après ce principe Texpression (^) que nous avons donnée de la valeur de 1 devrait être :

„ nEg

"" (nR -J- x) (a + (/ — a? + x')d)+ a (/ — j? -f- x')*

De cette manière, on peut donner à x et x' différentes valeurs qui permettent de discuter la formule suivant les différents cas.

Ainsi, par exemple, si x' représente la résist«nce d'un électro-aimant et si on suppose x variable, les plus mauvaises conditions de la valeur de F seront fournies par le maximum du dénominateur de la formule, lequel maximum correspondra à :

f+a^^^nR l , x' — nSi '^~ 2 ■""2"'' 2 '

c'est-à-dire à la moitié de la résistance de la ligne augmentée de la moitié de la différence des résistances de T électro-aimant et de la pile.

Ainsi, sur un circuit de 400 kilomètres, traversé par le courant d'une pile de 70 éléments Daniell et terminé par un électro-aimant d'une résistance égale à 1 15154 mètres, le point du circuit où les dérivations accumulées produiraient le plus mauvais effet, correspondrait à une longueur de la ligne égale à 222577 mètres à partir de la pile, c'est-à-dire à la

moitié de la ligne plus -tq- environ de la longueur de cette dernière, lo