JT
développement du logarithme hyperbolique de — , on a :
il A, L.
i + «TT v J( T — l)
1 + <f t ~ A i + St '
et enfin pour le volume de l’air contenu dans la conduite, ramené à la pression p et à la température / :
— {1 -f- St P
r 1 dx
Kl n ÏXSi
— J X SXf(T-l).
On n donc, pour déterminer l’inconnue P, l’équation :
-j SL (1— cos «) -f-SL ( 1 — sinat) f S/X<f (T— <)]=(2L-t-/)S,
d'où :
P = pX
L (1 — cosa) 4 -L (t — sin a)+U(T — î)
ou, en multipliant le numérateur et le dénominateur pari -f«TT,
P=pX
(2L +/) (l-f-<TT
L(l— cos a )(l+«fO + L(I— i sina) (l+JT)+/<f(T— <)(l-r-«TT)‘
On aura de môme, pour déterminer la valeur de P', force élastique de l’air qui occupe le volume v 2 sous les pistons :
— [ SL (1-4- cos a) ~~~ +SL(H-sin «)4-S/«T (T— /)] = (2L4-*)S, d’où
L( l-t-cos et) ( 1 — | — /)-hL(l-t-sin a.) (T— -
Prenons un exemple qui rendra plus facile à saisir les conséquences des formules précédentes. Nous supposerons que chacun des pistons a 2 mètres de course, ce qui revient à poser L = 1“; que le cylindre froid est maintenu à la température de 0 °et le cylindre chaud à 200° : T = 200; t = 0; enfin que le volume des interstices occupés par l’air dans chacune des conduites qui mettent les cylindres en communication par leurs extrémités est
égal à ~ du volume engendré par l’excursion d’un des pistons, ce
qui revient à poser
IS = 3 2LS, on / — £- L et, comme L = 1™, / = 0 m ,25.
Les calculs numériques étant effectués, en prenant par le
coefficient <f la fraction -i-, nous trouvons :
Zi o
r, = ( 2,25 — sin et — cos et ) S,
v 7 — ( 2,25 -h sin et -f- cos <t ) S,
— 3,04992569 — cos et — 1,7326 sin et X Pf
3,04992569 ■+■ cos et + 1,7326 sin et A F '
Voyons d’abord entre quelles limites varie le volume r, et quelles sont ses valeurs maxima et minimu. Il suffit, pour cela, d’égaler à 0 la dérivée de v t par rapport à Or l’équation (1) nous donne :
•^=(sin et — coset)S, etcettedérivée est nulle lorsque sin a — cos et,
c’est-à-dire lorsque l’angle et est égal à 45° ou à 22.5°. Pouret~45°, on at3,zr(2,25 — y/2)S —0,8358S, valeur minimum, Pour et = 225°, on a o, = (2,25 -f- v/5)S = 3, 6642S, valeur maximum.
Cherchons de même les valeurs maximum et minimum de P. Il résulte manifestement de l’équation (2) que ces valeurs correspondent respectivement aux valeurs maximum et minimum de la quantité cos «t -f- 1,7526 sin et qui se trouve, avec le signe — , au dénominateur de l’expression de P. Or, en égalant à 0 la dérivée de coset-|-i,752Gsin a, on a :
1,7326 cos et — sin et rr 0,
d’où tang et zz 1,7326.
Le plus petit angle dont la tangente soit égale à 1,7326 est de 60® 0' 50", dont le sinus = 0,8661 et le cosinus = 0,4999, et ces valeurs portées dans l’équation (2) nous donnent :
P — 3,71 4 8p valeur maximum de P.
Le second angle, dont la tangente est encore égale à 1,7326,
est
dont les sinus et cosinus sont respectivement — 0,8061, — 0,4999, valeurs qui, portées dans l’équation (2), nous donnent :
P = 0,7718 p valeur minimum de P.
Les valeurs maximum de t», et de P correspondent évidemment aux valeurs minimum de et de P', et réciproquement; on voit donc que la différence P — P' atteint ses valeurs maximum et minimum en môme temps que P.
Le travail moteur développé par Pair contenu dans l’appareil, durant une révolution complète de l’arbre des manivelles sur lesquelles agissent les deux pistons, est évidemment exprimé par la
somme des deux intégrales J* Pdt'j -p J* P 'dv 7 .
Or, comme la
somme des volumes v, -f- v 9 est invariable, on a
P dv t 4 - J P 'dr, =
intégrale qui doit être étendue à toutes les valeurs que prend le volume v |t tandis que l’angle «t varie de 0 à 360°.
On peut aussi, en remplaçant du, par sa valeur S (sin« — cos a.) du. qu’on obtient par la différentiation de l’équation (1), exprimer le travail moteur par l’intégrale définie
dv,
— — dv t et
) S ( sin ci — cos a.) du.
Ici la quantité sous le signe de l’intégration n’est autre chose que la somme des moments des forces qui agissent tangentiellement aux circonférences décrites par les deux manivelles dans le sens de 1a rotation. Cette dernière expression fait voir que cette somme de moments est nulle ;
Lorsque sin a = cos <*, c’esl-à-dire quami l’angle « passe par les valeurs 45° et 225°;
2° Lorsque P=P'. Or, pour que P=P', il faut, d’après les équations (2) et (2'), que l'on ail :
cos a -f- 1,7320 sin a. — 0, d’où l’on tire cot a. — — 1,7320.
Or nous avons vu que P et P — P' atteignent leurs valeurs maximum et minimum pour des angles dont la tangente est égale à 1 ,7526, et qui sont eux mêmes égaux à 60* 0' 50" et 240° 0' 30''. Les angles pour lesquels la cotangente est égale et de signe contraire à la tangente des angles précédents sont égaux à ces derniers augmentés d’un droit ou de 00°; ainsi l’on a
P - P' pour a 1 oü° 0' 30", et pour *t = 330° 0' 30".
La machine à air chaud de M. Franchot aura donc quatre points morts pour chaque révolution de i’arhre des manivelles; ces points correspondront aux angles *. de 45°, 1oO° 0' 50", 225‘’ et 550° 0' 30". Nous donnons, dans le tableau suivant, IG valeurs de v, t de P, P', P — P' et (P — P' ) (sin * — cos * ) calculées pour les valeurs de l’angle a auxquelles correspondent les quatre points morts, les tnnxima et minitna du volume v, et de la pression P.
Tableau des valeurs de r ( , P, P', P — P’ el (P — P') (sin a. — cos &).
« =0 siu «4=0 cos «t~ 1,
r,r:i,*2oXï> P — P'=0,939l/>, (P — P')S (sin «t— cos *)r:-0,9391/>S.
«4=29° 59' 30" sin «4=0,4999 cos«=0,86GI,
=0,88408 P — P'=2,l433/>, (P — P')S (sin *— cos *)=— 0,78V9/>S.
«=4o° sin «=0,7071 cos «=0,7071, r,=0,83ü8S P=3,4878/> .
p»__0*782oj) 1— P' =2,7033/>, (P — P') S (sin «—cos «)=0.
*=60° 0' 30" sin «=0,8G61 cos «=0,4999 tang «=1,7326, r =0,8840S P=3, 7148a „
P'=0,7718p ‘ —P — 2 » 9430 » (P— P )S (sin « — cos «)=i,0777pS.
«=90° sin «=1 cos «=ü,
1 * P'— Ô 815^/) ^ — P — 2,1442p, (P — P')S (sin « — cos «)=2,1442pS.
«=119° 59' 30" sin «=0,8661 cos «=—0,4999, c. = l,8838S P=l,93o1/> . ,
P'=o!9o42 p p ~ p — 0,9809p, (P — P') S (sin «—cos «)=l,3399pS.
«=133° sin «=0,7071 cos «=—0,7071,
, F-i 0926^ P~P -°. 44 7tp, (P-P')S (sin «-cos «)=0,G323pS.
«=150° 0' 30" sin «=0,4999 cos «=—0,8661 cot «=—1,7326, r,=2,6162S P= 1,2782
P'— 1 278^ P — — 9 * (P— P )8 (sin «—cos «)=0.
«=180° sin «=0 cos «= — 1,
r,=3,2oS P=W26p p P ’~ 0> 93 91 p ) (1>P' )S (sin «— cos «)=-0,9391pS.
«=209° 59' 30" sin «=—0,4999 cos «=—0,8661,
f t =3,6160 P=0,8^2p p — p--— — 0 , 1 433p, (P — P')S (sin «— cos «)=-0,7849pS.
«=225° sin «=—0,7071 cos «=—0,707 1 ,
p<.j P — P— — 2,7053p, (P — P )8 (sin « — cos «J =0.
et— 240° 0' 30" sin *=— 0,8661 cos *=—0,4999,
ü — 3,6I60S P=0,7718» n n , OA /i» nnu ! • . « c
1 n , P— -P =— 2,9430, (P— P )8 (sin *— cos *)=1,0777;>S.
I — O, l 1 4op
*=270 sin u — — 1 cos et— 0,
c,=3,25S P=0,815lp p — P'= — 2,1442p. (P — P')S (sin a— cos «)=2,t442pS.
*=299° 59' 30" sin *=—0,8661 cos *=0.4999.
r — 2 1,1 (WS P— ft 0549n
1 ’ p, l 9351;j p — p,s =— °» 9809 P» (P— P')S (sin «— cos *)=l,3399pS.
*=315° sin *=—0.7071 cos *=0.7071,
r — 0 9£S P — 1 On*>fin
‘ ’ p'-t 5397 p P — P'— — 0,4471p, (P — P')S (sin *— cos *)=0,6323/>S.
*— 330°0' 30" sin *= — 0,4999 cos *=0,8661, r,= 1,88388 P= 1,2782/) n , n , D D , c . . , A
P'— 1 278°/» 1 ~°’ ^ P— ( s,n * ~ cos *) =0 *
*=360° ou *=0, commencement d’une nouvelle période de mouvement.
On peut, au moyen du tableau qui précède, construire une courbe dont les abscisses soient proportionnelles l'angle * et les ordonnées aux valeurs de (P — P' ) (sin u — cos & ), ou bien encore une courbe ayant pour abscisses les valeurs de v t et pour ordonnées les valeurs correspondantes de P — P'. La première coupera la courbe des abscisses en quatre points correspondanls aux valeurs = 43°, a— 150° 0' 30", <t — 225° et a = 330° 0' 30". Les aires comprises entre l’axe des abscisses et les parties de la courbe situées en dessus de cet axe seront proportionnelles au travail moteur développé; les aires comprises entre le même axe et les parties de la courbe situées en dessous représenteront un travail résistant à soustraire du premier. La seconde courbe construite sur les abscisses r, sera une courbe fermée,
dont l’aire sera proportionnelle au travail moteur développé dans une révolution de l’arbre des manivelles.
Courbe A.
Courbe B.
Les deux figures A et B indiquent les formes de ces deux courbes; la ligure A ne donne que la moitié de la première.
qui a pour ordonnées les valeurs de ( P — P' ) ( sin a. — cos*) f entre les abscisses a. = 0 et * = 180°, l’autre moitié étant égale à la première dont elle serait la répétition. Dans cette figure les cotes des abscisses sont les valeurs de celles-ci en Tractions de la demi-circonférence, ou de l’abscisse qui représente 180°. On a considéré l’angle de 29° 59' 30" et celui de 00° 0' 30" comme étant respectivement égaux exactement, l’un à 1/0 et l’autre à 1/5 de la demi-circonférence.
Quant à la courbe fermée B, dont les ordonnées sont les valeurs «le P — P' et les abscisses les valeurs de r, , la première ordonnée a gauche, tangente à la courbe, est la valeur de P — P' correspondante à l’angle A = 15° et à la valeur minimum de t*,. I.es cotes inscrites sur l’axe des abscisses indiquent les différences des valeurs consécutives de c,. La courbe a deux tangentes horizontales correspondantes aux valeurs maximum et minimum de P — P', lesquelles correspondent aux ongles * de 00° 0' 30" et 240° 0' 50".
Le calcul approximatif de l’aire de la courbe fermée donne pour le travail moteur, dnns chaque révolution de l’arbre des manivelles, 2,844456 pS. Si l’on suppose que la pression primitive;; de l’air enfermé dans l’appareil à la température 0 soit celle de l’atmosphère, 10.000 kilog. par mètre carré, et que la section S de chaque cylindre soit de 1 mètre carré, ce qui exigerait un diamètre de 1°, 2752, le travail correspondant à une révolution de l'arbre serait 2S444 ki, -X ,n ,5G , et en admettant que l'arbre
fasse 20 révolutions par minute, ou ^ de révolution par seconde, la
puissance théorique en chevaux-vapeur de la machine composée
«le 2 cylindres de 1”,2752 de diamètre serait de — — — , soit
120 chevaux. Si le diamètre des cylindres était réduit à 1 2732
— — 0‘°,5185, la puissance théorique de la machine serait
réduite à
-fiT
moins de 8 chevaux-vapeur.
La machine à air chaud «le M . F vénient d’exiger des dimensions très-
ranchot aurait donc l'iiicou- ■grandes, à moins que l’on ne
portât l’air à une pression primitive très-supérieure à celle de l’atmosphère. La courbe des valeurs de (P — P' ) ( sin « — cos a ) fait voir que le travail transmis à l'arbre des manivelles, dans chaque période de mouvement, serait alternativement moteur et résistant , et subirait des variations presque brusques et considérables. M. Fruhchot comptait porter remède à ces variations en composant sa machine de quatre cylindres groupés par paires, agissant sur le mémo arbre et disposés de façon que les manivelles des pistons des cylindres chauds de l’une et de l’autre paire fussent distantes d’un angle droit, dans la rotation de l’arbre.
XXL La discussion précédente nous donne la limite supérieure du travail moteur que peut fournir, par chaque révolution complète de l’arbre des manivelles, la machine de M. Franchot, dans des conditions régulières de marche, les températures T et l des cylindres chaud et froid étant entretenues constantes. Elle ne nous apprend rien sur les quantités de chaleur que l’air doit recevoir dans le cylindre chaud et abandonner dans le cylindre froid, pour que la fixité des températures soit maintenue. La théorie mécanique de la chaleur peut seule nous éclairer à cet égard.
Les conditions dans lesquelles Pair est alternativement dilaté et comprimé sont ici différentes de celles que nous avons considérées dans le § XIX. La température n’est à aucun instant la môme dans toute la niasse d’air qui remplit l’appareil au-dessus et audessous des deux pistons; l’air, au lieu de se dilater seulement dans le cylindre chaud à la température T, se dilate en partie dans le cylindre froid à la température (, et inversement il est en partie comprimé dans le cylindre chaud ; enfin il cède et reprend alternativement de la chaleur aux toiles métalliques, suivant qu’il passe du cylindre chaud au cylindre froid ou de celui-ci dans le premier. Néanmoins, à la fin de chaque période de mouvement, c’est-à-dire de chaque révolution complète de l’arbre des manivelles, toutes les parties de la masse d’air sont revenues chacune à l’état de pression , de volume et de température, par conséquent aussi de chaleur interne où elles étaient au commencement de la période. Toutes les parties des toiles métalliques sont aussi revenues chacune à leur température initiale. Donc la
totalité de la chaleur communiquée à l’air dans le cylindre chaud a disparu en donnant lieu à un travail moteur équivalent, ou est passée au cylindre froid d’où elle a été soustraite par un réfrigérant extérieur. En outre, l’air, dans les déplacements et variations de volume et de pression qu’il a subis, ne s’est jamais trouvé en contact qu’avec des corps (les toiles ou les parois de l’appareil) dont la température ne différait de la sienne en plus ou en moins que d’une quantité infiniment petite, puisque nous a dmet tons que les toiles métalliques ont une masse et une superficie assez grandes pour que les températures aux extrémités des conduits qui en sont garnis ne diffèrent pas respectivement de celles des cylindres auxquels ces conduits aboutissent.
Soient un poids d’air infiniment petite ; v son volume lorsqu’il entre dans le cylindre chaud, dont il possède déjà la température T ; v' son volume lorsqu’il sort du môme cylindre, à la môme température. Quelles que soient les variations par lesquelles le poids d’air t a passé du volume initial v au volume final v ', sa température étant demeurée constamment égale à T, nous savons que la dilatation a donné lieu au développement d’un travail mécanique
extérieur, exprimé par tR (a 4- T) L. — et que par conséquent
il a reçu du cylindre ou de la source de chaleur dans laquelle il est plongé une quantité de chaleur équivalente, égale par conséquent à AtR (a -4- T) L. ~ .
Si donc nous désignons par Q la quantité totale de chaleur puisée par l’air à la source supérieure de chaleur pendant une période de mouvement, et par F le travail moteur développé correspondant, nous aurons :
et
Q = AR(a4-T)2*-L.-^.
Le signe 2 indique une somme de termes qui s’étend à toutes les parties du poids d’air total entré dans le cylindre chaud pen
dant une période de mouvement, chacune de ces parties étant respectivement multipliée par le logarithme Népérien du rapport
— — r de son volume initial à son volume final.
Soient de môme * t un poids d’air infiniment petit; v t son volume au moment où il entre dans le cylindre froid dont il possède déjà la température t; v', son volume lorsqu’il sort du même cylindre à la môme température. La réduction du volume initial o, au volume final t?',, tandis que la température demeurait constamment égale à t, a exigé l’application d’un travail mécanique
externe égal à t,R (« 4 - 0 L. et donné lieu au dégagement
d’une quantité de chaleur équivalente, égale par conséquent à
Ati-jR (a4-t) L. — p. chaleur qui s’est écoulée par les parois du
cylindre froid dans la source inférieure de chaleur à température constante où ce cylindre est plongé. Si donc nous désignons par F' la totalité du travail appliqué à la compression de l’air dans le cylindre froid pendant une période de mouvement de la ma • chine, et par Q' la chaleur que la source inférieure a dû soustraire au cylindre froid pour que sa température ne s’élevât pas, nous aurons :
Q* = AR ( « 4* 1 ) s cr, L . 4 *.
Les sommes St, et zt sont égales entre elles; car chacune désigne le poids d’air total qui, à chaque révolution de l’arbre des manivelles, passe d’un cylindre à l’autre. Je dis qu’il en est de
même des sommes 2?rL. 4- et s-r.L.
Si l’on renversait, en effet, le sens du mouvement de la machine, de telle sorte que la manivelle du piston du cylindre froid précédât, au lieu de suivre, de ÎK)° la manivelle du piston du cylindre chaud, les mêmes variations de volume qui, dans la marche directe, avaient lieu dans le cylindre chaud auraient lieu
maintenant dans le cylindre froid et réciproquement, c’est-àdire que les poids d’air «r, seraient réduits, dans le cylindre chaud, des volumes r, aux volumes respectifs v ' ,, tandis que les poids rr seraient augmentés, dans le cylindre froid, des volumes v aux volumes respectifs v'. Comme les volumes r, seraient changés en v', à la température T, cela exigerait une dépense de travail mécanique égale à
H (a + T) St.L . -7 ,
et donnerait lieu à un écoulement de chaleur dans la source supérieure, à travers les parois du cylindre chaud, égal à
Les volumes v étant changés en v' dans le cylindre froid à la température t, cela produirait un travail moteur égal à
R (a- (-/) — t !.. — 7 - , pour lequel la source inférieure de chaleur au-
rait à fournir, pour maintenir la température, une quantité de chaleur égale «à AH (a-M)s^r L. •
L’excès de la quantité de chaleur versée dans la source supérieure sur la chaleur puisée à la source inférieure >erait donc, dans une période de mouvement rétrograde :
A R + la)
Or nous avons vu que, dans une période de mouvement directe, l’excès de la chaleur puisée à la source supérieure sur la chaleur versée dans Ja source inférieure est :
