U = A [(. + »)£-/] (V-*), (II
expression de l’excès de la chaleur interne d’un kilogramme de vapeur à l’état de saturation, à la température t et sous la pression p y sur la chaleur interne d’un kilogramme de la substance liquide à la môme température t et sous la môme pression y. Cette expression est identique avec celle que nous avions déjà tirée directement du principe fondamental de la disparition d’une quantité de chaleur équivalente au travail externe développé.
Du tracé ou de l'équation de la courbe déterminée par une série d’expériences, qui donne les valeurs des forces élastiques p d’une vapeur en fonction des températures t, on déduit par un tracé graphique ou par le calcul la valeur de la fonction dérivée
Connaissant d’ailleurs la valeur de l’équivalent calorifique
du travail A = ^ et le nombre a qu’il faut ajouter à t pour
obtenir la température absolue et qui est égal à 275°, tout est connu dans les seconds membres des équations (ï) et (II), excepté le facteurV — t^qui exprime la différence des volumes d’un kilogramme de vapeur à l’état de saturation à la température t et sous la pression p et d’un kilogramme de la substance liquide h cette température et sous la môme pression. La chaleur de vaporisation 0, qui forme le premier membre de l’équation (I), est d’ailleurs connue en fonction de la température, pour les diverses substances que M. Régnault a soumises à l’expérience. L’équation (I), en y introduisant les valeurs numériques expérimentales, fournira donc les valeurs correspondantes aux diverses températures du facteur V — 1 ’ 0 . Si la loi de dilatation du liquide est connue, depuis les températures habituelles sous lesquelles les densités sont habituellement déterminées jusques à la température t, on connaîtra le volume v 0 du liquide, qui, ajouté à la valeur calculée de V — 1 > 0 , donnera le volume V du kilogramme de vapeur à l’état de saturation et à la température t. La valeur de V est précisément l’inverse du poids spécifique ou poids du mètre cube, si l’on prend le mètre cube pour unité, de la vapeur à l’état de saturation. Les valeurs de V — v 0 étant ensuite portées dans l’équation (II), avec les valeurs correspondantes de /, de p et
de ~ , celle-ci fournira les valeurs de U. Dans presque tous les
cas, r 0 est une fraction tellement petite de V qu’elle peut être négligée.
Je donne comme exemple le calcul de la chaleur d’évaporation, de la chaleur interne U et du poids du mètre cube de la vapeur d’eau saturant l’espace qu’elle occupe à la température de 100°. Nous posons immédiatement dans l’équation ( I) :
p = 760 millim. de mercure, ce qui équivaut à 10,533 kilog. sur un mètre carré.
La chaleur de vaporisation Q, d’après les expériences de M. Régnault (§XXIV)=556, 5.
//fl
Quant à la valeur de — , nous pouvons la tirer approximati-
vement soit du tableau des valeurs numériques des pressions p, soit de l’équation empirique :
Log. F ou Log. p. — a — ba. 1 .
La différentiation de cette équation nous donne, en représentant par m le module des logarithmes ordinaires, c’est-à-dire le nombre constant par lequel il faut multiplier les logarithmes hyperboliques pour obtenir les logarithmes ordinaires :
m — = — b L.et X P
L.a désignant le logarithme hyperbolique de a, qui est par conséquent égal au logarithme ordinaire de a divisé par le module m, de sorte que l’équation précédente est ramenée à celle-ci :
d’où
dp . Log. a ,
m — — — b — - — A l dt, p m
dt~ PX m'
Effectuant le calcul par logarithmes, nous remarquons que a étant une fraction, Log. a est négatif, ce qui rend le second membre de l’équation positif, comme cela doit être. L’équation étant écrite sous la forme :
dp b
^ = P X X — Log. * X * ,
nous avons :
Log. p = Log. 760 = 2,8808136
Log. b ( tableau du § XXIII) = 0, 6821517
Log. *.‘ = IX Log. a zz 1 00 X 1.9972311. . = 1.7231100
Log. ( — Log. et) zz: Log. (1 — 0,9972311)
= Log. 0,0027689 = 3.1123073
Somme 0,7283856
Log. m*=2 Log.m = 2 X Log. 0,1312911819 =2x 1.6377813 = Ï.2755686
Différence = Log. ^ — 1,1528170
Sans chercher le nombre auquel correspond ce dernier logarithme, nous avons tous les éléments nécessaires pour calculer le logarithme de la voleur de V — 1 ’ 0 donnée par l’équation (1), et qui est
Mais il faut faire attention que, le kilogramme étant pris pour unité de poids et le mètre cube pour unité de volume, la pression p doit être exprimée en kilogrammes par mètre carré de surface. Or, dans l’équation Log. p=a — bu. 1 dont nous nous
sommes servi pour calculer la dérivée — , la pression p est exprimée en millimètres de mercure. Si elle eût été exprimée en kilogrammes par mètre carré, les abscisses restant les mêmes, les ordonnées de la courbe auraient été augmentées dans le rapport de 760 à 10,533, ce qui aurait augmenté dans le même rapport les tangentes des inclinaisons des éléments de la courbe sur
l’axe des abscisses et par conséquent les dérivées ~ , d’où il suit que nous devons, pour tirer de l’équation
dp
dt
la valeur de V — v Q en mètres cubes, employer une valeur de ~ qui
soit à celle que le calcul vient de nous fournir dans le rapport de 10,355 è 760, ou bien remplacer dans le calcul qui nous reste à
» dp
faire la valeur trouvée de Log. •— par cette môme valeur augmentée de la différence Log. 10333 — Log. 760.
Log. 10333 = MU2264
Log. 760 = 2,8808136
Différence = 1,133 VI 28
Ajoutant celte différence 1.133V128
à la valeur calculée de Log. ~ 1,4-528170
il vient pour la valeur de Log. à introduire
dans les calculs qui restent à faire 2,5862298
Cela posé, nous avons :
Log. A — Log. = 3.3726341
Log. (a + t)= Log. 373 = 2,5717088
Log. p étant exprimé en kilogr. par mètre
carré 2,5862298
Somme 2,5305727
Log. Q = Log. 536,5 = 2,7295697
donc,
Log. ( V — r 0 ) = 2,7295697 — 2,5305727 = . 0,1989970 d’où, V — v 0 = l m - cub ",581.
Le volume t’„ d’un kilogramme d’eau à 100° dépasse peu 1/1000 de mètre cube. Il est donc négligeable par rapport au volume V, et nous pouvons prendre pour le volume V du kilogramme de vapeur d’eau à l’état de saturation, à la température de 100” |a,.coby 5 gj Le poids spécifique de la vapeur d’eau à
100° serait donc — = 0\G3.
Le poids spécifique de la vapeur d’eau, calculé d’après sa com-
position chimique, serait à celui de l'air atmosphérique dans le rapport de 0,6225 à 1 .
En prenant, pour le poids spécifique de l’air sec à 0° et sous la pression de 7G0 millimètres de mercure, le nombre 1\299 qui résulte des expériences de MM. Biotet Arago, confirmées par celles de M. Régnault, et supposant les lois de Mariotte et de Gay- Lussac applicables à la vapeur d’eau, on trouve, pour son poids spécifique à 100 et sous la pression de 760 millimètres de mercure, 0,59, nombre inférieur à celui que nous avons déduit des principes de la théorie mécanique de la chaleur et des formules empiriques données par M. Régnault comme représentant ses expériences avec une exactitude suffisante.
