PRINCIPES GÉNÉRAUX

I. Sadi-Carnot, dans un ouvrage publié en 1824, sous le titre de Réflexions sur la puissance motrice du feu, a remarqué que le développement de travail moteur par l’action de la chaleur est toujours accompagné d’un rétablissement d’équilibre dans le calorique, c’est-à-dire de son passage d’un corps à un autre dont la température est plus basse, par l’intermédiaire d’un troisième corps qui est mis successivement en communication avec le premier et avec le second. Il a fait voir qu’il est possible, inversement, moyennant un travail mécanique extérieur convenablement exercé sur le corps intermédiaire, de faire remonter la chaleur du corps le plus froid à celui qui est le plus chaud. Il a établi qu’entre deux corps A et B, à des températures déterminées t et V, le passage d’une même quantité de chaleur, par l’intermédiaire d’un troisième corps, correspond nécessairement à une même quantité de travail mécanique développé par la dilatation ou employé a la compression du corps intermédiaire, quelle que soit la nature de celui-ci, pourvu que, dans tout le cours de l'opération, il n’y ait de communication établie qu’entre des corps à températures égales ou plus exactement ne différant point

entre elles de quantités finies, condition qui correspond au maximum de travail mécanique développé par le passage de la chaleur du corps le plus chaud au corps le plus froid. Ainsi, dans les idées de Carnot, le travail mécanique correspondrait à une chute de chaleur, et le rapport du travail obtenu à la quantité de chaleur dépendrait uniquement des températures fixes t et l 1 des corps A et B entre lesquelles elle est échangée. De ces considérations fort ingénieuses et justes , bien qu’incomplètes , Carnot et son commentateur, M. Clapeyron , ont su déduire, l’un à l’aide d’un raisonnement qu’il n’est pas toujours facile de suivre, l’autre avec le secours de l’analyse mathématique , des conséquences importantes relatives aux propriétés calorifiques des corps.

II. Des expériences très-précises sur les chaleurs spécifiques des corps, sur le développement de chaleur dans le frottement ou le choc, sur les variations de température qui accompagnent les changements de volume des fluides élastiques et les circonstances dans lesquelles ces variations se produisent, ont amené les physiciens et les géomètres qui se sont occupés de ce sujet à reconnaître une relation directe de cause à effet entre la chaleur et le travail mécanique , et à introduire une modification profonde dans les principes de Carnot. Suivant la théorie nouvelle, tout travail mécanique produit par la dilatation d'un corps quelconque est accompagné d’une disparition de chaleur proportionnelle, et inversement tout travail mécanique exercé sur un corps donne lieu au développement d’une quantité de chaleur proportionnelle à ce travail.

Ainsi, qu’un gaz ou un autre corps augmente de volume en exerçant sur le milieu ambiant une pression qui soit constamment en équilibre avec sa force élastique et en éprouvant, par conséquent, de la part de ce milieu une réaction précisément égale, cette dilatation aura donné lieu à une quantité de travail et en môme temps à une disparition de chaleur dont le rapport avec le travail obtenu sera toujours le même, quelle que soit la nature du corps, quelles que soient sa densité, sa force élastique et sa température au commencement et à la fin de l’opération.

Qu’un gaz ou tout autre corps soit, au contraire, réduit, par le travail dû à des forces extérieures, à diminuer de volume, il y aura en môme temps production d’une quantité de chaleur qui sera dans le môme rapport constant avec le travail mécanique dépensé. Si l’accroissement ou la diminution du volume du corps a lieu sans aucun développement de travail moteur ou sans application de travail mécanique externe, la quantité de chaleur restera invariable. Si l’on opère t sur un gaz tel que l’air atmosphérique sec, par exemple, dont la chaleur spécifique, d’après les dernières expériences de M. Régnault, reste invariable, quelles que soient sa température et sa densité , l’accroissement de volume de ce gaz, s’il ne donne lieu à aucun travail mécanique externe, ne sera accompagné d’aucun abaissement de la température. Les mesures les plus précises du travail mécanique dépensé dans le frottement de corps solides ou liquides, et de la chaleur développée par suite de ce frottement, ont donné pour le rapport de la chaleur au travail des valeurs très-rapprochées les unes des autres, et de celles que l’on a pu déduire des phénomènes de dilatation ou de compression des gaz. Les choses se passent donc comme si la chaleur se transformait en travail mécanique et réciproquement, une môme quantité de chaleur correspondant toujours à une môme quantité de travail, ce qui justifie les expressions, aujourd’hui devenues usuelles, d'équivalent mécanique de la chaleur et d’équivalent calorifique du travail mécanique.

D’après l’ensemble des expériences qui ont été faites jusqu’à ce jour, on est autorisé à prendre pour équivalent mécanique d’une calorie ( quantité de chaleur nécessaire pour élever de 1 degré la température d’un kilogr. d’eau ) un travail de 424 kilogr. élevés à I mètre de hauteur. L’équivalent calorifique de 1 kilogr. élevé

à \ mètre de hauteur serait , par suite, t4t de calorie. C’est ce

que nous exprimerons brièvement en disant que l'équivalent mécanique de la chaleur est 424, et que l’équivalent calorifique du

travail est ~.

Le principe nouveau n’exclut pas d’ailleurs les idées de Carnot.

Dans les machines à feu, en effet, le travail mécanique résulte de l'action d’un corps, qui est alternativement dilaté et condensé entre deux sources de chaleur à des températures différentes et généralement à peu près fixes, le foyer et le condenseur, et il y a transmission de chaleur de la source supérieure à la source inférieure par un corps intermédiaire. En renversant le mode d’action de ces machines, on conçoit la possibilité de leur imprimer un mouvement inverse par un travail mécanique externe et de réaliser ainsi le passage de la chaleur de la source inférieure à la source supérieure. Seulement, d’après la nouvelle théorie, la chaleur versée dans la source inférieure est toujours moindre que la chaleur empruntée à la source supérieure dans le mouvement v direct, et la chaleur versée dans la source supérieure est plus grande que la chaleur empruntée à la source inférieure, dans le mouvemenliaverse^ Le travail mécanique obtenu dans le premier cas et dépensé dans le second est toujours l’équivalent de la différence entre les quantités de chaleur puisée et versée, c’est-à-dire de la chaleur qui a disparu ou qui s’est ajoutée pendant l’opération. Nous verrons de plus qu’entre deux sources à des températures données le rapport du travail mécanique à la quantité de chaleur transmise d’une source à l’autre demeure, comme le rapport du travail à la chaleur perdue ou gagnée, constant et indépendant de ta nature du corps intermédiaire employé , pourvu que celui-ci revienne, après l’opération terminée, identiquement à son état primitif, ainsi que l’avait dit Carnot. La nouvelle théorie confirme donc à cet égard ses vues en les complétant.

L’usage du langage algébrique et les développements qui suivent feront bien comprendre en quoi les deux théories se rapprochent et s’écartent l’une de l’autre.

III. Désignons par a le volume d’un corps sous l’unité de poids ( i kilogramme ), par p sa force élastique, en vertu de laquelle il presse le milieu ambiant ou les corps environnants et est pressé par eux ( p sera exprimé en kilogrammes par mètre carré de surface), par l sa température en degrés du thermomètre centigrade. De ces trois quantités deux suffisent pour déterminer la troisième. Ainsi, pour chaque corps, la température t est une

certaine fonction P du volume et de la force élastique, de sorte que Ton a :

La quantité de chaleur totale contenue dans un corps est la même, toutes les fois que son volume, sa force élastique et sa température sont les mêmes. Comme d’ailleurs la température est déterminée, quand le volume et la force élastique le sont, la quantité totale de chaleur interne dépend, pour chaque corps, uniquement de son volume et de sa force élastique. Si donc U désigne cette chaleur totale, on aura entre U, p , v une relation de la forme :

f étant une fonction différente de F.

Que le corps passe de la force élastique ou pression p et du volume v à une autre pression p, et à un volume la température et la chaleur contenue changeront en même temps , et l’on aura, en désignant parf,,U, les nouvelles valeurs de l et de U,

donc :

U,— ü = /’(Pi»t> l ) — f{p, v). (2)

Ainsi l’élévation de la température et l’accroissement de la chaleur interne du corps, en passant de la pression p et du volume v à la pression p, et au volume ne dépendent que de l’état initial et final. Carnot admettait, avec tous les physiciens et les géomètres de son temps, que la chaleur définitivement reçue de l’extérieur, ou émise au dehors par le corps passant du premier état au second, ne différait pas de l’accroissement ou de la diminution de la chaleur interne, de sorte qu’en désignant par Q celte quantité de chaleur on avait constamment Q=: U, — U. Dans la théorie nouvelle, Q diffère de U, — U, toutes les fois que le passage du corps du premier état au second est accompagné d’un travail mécanique, exercé par lui sur les corps ambiants ou par les corps

ambiants sur lui ; ainsi la chaleur reçue par le corps ou émanée de lui et que nous appellerons la chaleur dépensée, en l’affectant du signe négatif lorsqu’elle sera au contraire recueillie ou produite, ne dépend pas seulement de l’état initial et final du corps, mais des états intermédiaires par lesquels il a passé pour arriver du premier au second. Si le corps, dans les changements graduels de volume qu’il éprouve, exerce constamment sur les corps ambiants et éprouve réciproquement de leur part une pression égale à sa propre force élastique, et si ses molécules parties de l’état de repos reviennent à la fin à l’état de repos, ou plus exactement si la somme des forces vives dont elles sont animées est la môme avant et après le changement d'état, le travail mécanique développé par la dilatation du corps sera , comme on le fait voir dans les traités

élémentaires de mécanique, exprimé par l’i * pdv, qui

peut être positive ou négative. A désignant l’équivalent calori-

ou aura été produite pendant le changement d’état du corps et ne contribuera en rien à l’accroissement positif ou négatif de sa chaleur interne. On aura, dans tous les cas, l’équation :

Si l’on suppose que la force élastique et le volume varient non plus de quantités finies, mais de quantités infiniment petites dp et dv , f, — l, U, — U deviendront les différentielles dl et dû. Q sera aussi une quantité infiniment petite que nous désignerons par dQ, et les équations (1), (2) et (3) seront remplacées par leurs différentielles, qui sont :

fique du travail, la quantité de chaleur A j* V ' pdv aura disparu

dQ - dU 4- Apdv = dp -f \(^) 4- ApJ dv.

dp’ ©’ Giîr) dési 8 nenl ,c * dériv,:,cs p» r,ielles

dp.

/dlK

par rapport à chacune des variables p et v des fonctions respectives F ( p, v ) = t et f{ p, v ) = U. Ces dérivées sont elles-mêmes des fonctions de p et de t\ Je désignerai, pour rendre les raisonnements qui suivent plus faciles à suivre, la dérivée de F{p, v) par rapport à la variable p, par la notation F ' P {p, v), et par des notations analogues les autres dérivées partielles des fonc-

tions F et f : moyennant celle notation, (-p-) sera remplacé par

p', (p. » ) •• dp p° r F'- (p- » ) i d)r) par Cp (p- »); (p)

JV \

düx

par f\ (p, v). Les équations précédentes prennent ainsi la forme :

dt = F' p (p, v) dp ■+■ F'„ (p, ü ) dv, (a)

d\J ~f' p (p, v) dp -t- f\ [p,v) dr, (6)

dQ = f P ( p, v ) dp 4- [/'„ (p, r ) 4- Ap ] dp. (c)

Les seconds membres des équations (a) et (6) sont les différentielles exactes et complètes de F(p, v ) et /'(p, t) ). Les principes élémentaires du calcul différentiel nous enseignent que la dérivée de F'p (p, v) par rapport à v, que nous désignerons, conformément à la notation convenue, par F",,* (p, v), est égale à la dérivée de F'„ (p, v) par rapport à p,

de même

FV (P> ®) = F "'-p (P» v ), f"rAp,v) — f"*. P ( P • »)•

Dans le second membre de l equation (c), la dérivée par rapport à v du coefficient de dp sera f" p . v (p, v); la dérivée par rapport à v du coefficient de dv est f" v . p (p, t>)-f-A. Pour que le second membre de l’équation (c) fût la différentielle exacte d’une certaine fonction de p et de v, il faudrait que l’on eût f" p . v (p, u) —("y.p (p, t>) A» ce Q u * est impossible, tant que A n’est pas nul, puisque (" P . v {p> « ) = f"*. P ( p, v). Il suit de la que Q ne peut être exprimé d’une manière générale eu fonction des valeurs initiales et finales dep et de v.

IV. Les principes fondamentaux de la théorie nouvelle sont pleinement confirmés par les expériences récentes de MM. Joule, Clausius, Régnault, Hirn, etc. ; ils peuvent aussi être établis à priori par des considérations très-simples.

Représentons par l’abscisse OA et l’ordonnée AB le volume v et la force élastique ou pression p d’un corps quelconque sous l'unité de poids. Soit un pointC' infiniment voisin du point B sur la figure , et dont nous supposerons, pour fixer les idées, que les deux coordonnées OA' et A'C' surpassent respectivement les coordonnées OA et AB. Il sera toujours possible, au moyen d’une addition de chaleur, d’amener le corps du volume v, représenté par AB, au volume v -f- dv représenté par OA' et de la pression p représentée par AB à la pression p -J- dp représentée par A'C', et cela, en procédant d’une infinité de manières différentes.

1° Menons par le point C' une parallèle à l’axe des abscisses, qui coupera en un pointC le prolongement de l’ordonnée AB, et par le point B une autre parallèle au même axe qui coupera en B' l’ordonnée A'C'. Pour amener le corps de l’état primitif représenté, quant à la pression et au volume, par la situation du point B à l’état infiniment voisin représenté par la situation du point C', on peut concevoir qu’on le chauffe d’abord, en maintenant son volume absolument invariable, jusqu’à ce que sa force élastique, qui croîtra nécessairement, ainsi que la température, par l’addition de chaleur, soit devenue égale à p -f- dp représenté par l’ordonnée AC égale à A'C'; soit s la chaleur qu’il aura fallu lui communiquer, pour obtenir ce résultat. — Que le corps dont le volume est toujours v et dont la pression est devenue p -J -dp soit maintenant chauffé de nouveau et soit libre de se dilater en exerçant sur le milieu ambiant et supportant de sa part la pression invariable p dp , jusqu’à ce que son volume ait augmenté de dv représenté par CC'; soit e' la chaleur qu’il aura fallu dépenser pour obtenir ce deuxième résultat. Voici donc le corps amené du

premier état au second par le chemin BCC' et moyennant une dépense totale de chaleur égale à $+«'. En se dilatant, il aura exercé sur le milieu ambiant une pression constamment égale à p-j-dp, et donné lieu, par conséquent, à un travail mécanique externe représenté par l’aire du rectangle ACC'A' et exprimé algébriquement par le produit (p-\-dp) dv de sa hauteur AC =p-f-dp par sa base infiniment petite AA' = CC ' = dv. Il est clair, en outre, qu’il est possible de ramener le corps de l’état final représenté par la situation du point C' à l’état primitif représenté par le point B, en le faisant rétrograder par le même chemin C'CB suivi au rebours, c’est-à-dire en lui enlevant d’abord la quantité de chaleur e', tandis qu’il se contractera sous la pression constante p -f dp, ce qui aura évidemment pour résultat de ramener son volume det> + dt) à «,• puis en lui enlevant la quantité de chaleur s t en l’empêchant de se contracter et le maintenant par l’application de forces convenables, ou besoin, sous le volume déjà acquis v. Le résultat final de cette deuxième soustraction de chaleur sera évidemment de le ramener de la pression p -f- dp à la pression p. Ainsi il sera revenu à son état primitif par la soustraction d’une quantité de chaleur égale à celle qu’il avait fallu dépenser pour le faire passer du premier état au second. Dans le retour à l’état primitif, la contraction du corps aura donné lieu à un travail mécanique exercé sur le corps par le milieu ambiant , et représenté par le rectangle AA'C'C et exprimé par le produit (p + dp) dv. Ainsi, finalement, la chaleur dépensée aura été intégralement et exactement restituée. Le travail mécanique exercé d’abord par le corps sur le milieu ambiant aura été compensé par un travail mécanique exactement égal, exercé par le milieu ambiant sur lui.

2° On peut aussi concevoir que le corps à la pression p et sous le volume v soit d’abord chauffé, avec liberté de se dilater sous la pression p maintenue constante, jusqu’à ce que son volume ait augmenté de dv représenté par BB' = AA'; soit *' t la quantité de chaleur qu’il aura fallu dépenser pour obtenir ce résultat : puis, qu’arrivé au volume u-f -du il soit encore chauffé, le volume étant maintenu constant, jusqu’à ce que la pression ait augmenté de dp = B'C' et soit devenue p -f dp; soit la quan-

tité de chaleur qu’il aura fallu dépenser pour obtenir ce second résultat. En se dilatant du volume v au volume v dv, sous la pression constante p , le corps aura exercé sur le milieu ambiant un travail mécanique représenté par l’aire du rectangle ABB'A' et exprimé algébriquement par le produit p X dv de sa hauteur AB = p par sa base infiniment petite AA ' — dv. Il est clair aussi que, par la soustraction de chaleur e, + c/ qu’il a fallu dépenser, on pourrait ramener le corps à son état initial, en rétrogradant par le chemin C'B'B suivi au rebours et que, dans cette marche rétrograde, le milieu ambiant aurait exercé sur le corps un travail mécanique représenté par le rectangle A'B'BA et exprimé par le produit pdv. On voit, en résumé, que les quantités de travail mécanique exercées ou subies par le corps, s’il est permis de s’exprimer ainsi, durant le passage de l’état représenté par le point B à l’état représenté par le point C', sont inégales, selon que le corps arrive d’un état à l’autre en suivant le chemin BCC' ou le chemin BB'C'. La différence entre ces quantités de travail est représentée dans la figure par le rectangle à côtés infiniment petits BCC'B' et exprimée algébriquement par le produit dpdv, égal à la différence [p + dp) dv — pdv.

Concevons maintenant que le corps soit amené de l’état B à l’état C' (qu’on nous permette d’employer, pour abréger, cette locution dont le sens ne peut rien avoir d’équivoque) par le chemin BCC', avec une dépense de chaleur c + e' et la production de travail mécanique (p + dp) de; puis qu’il soit ramené de l’état C' à l’état primitif B, par le chemin C'B'B; il aura restitué la chaleur -f- s , et subi de la part du milieu ambiant un travail

mécanique pdv.

Voici donc le corps ramené à l’état primitif B, après une évolution complète, durant laquelle il a été produit, en définitive, un travail mécanique égal à (p + dp) dv — pdv— dpdv. Il est impossible d’admettre que la quantité de chaleur e + e'que le corps a reçue d’abord en allant de B à C' par C soit égale ou inférieure à la quantité de chaleur e t f + qu’il a abandonnée ou restituée, en revenant de C' à B en passant par B' ; car une telle supposition impliquerait la conséquence absurde d’un développement spontané, gratuit de travail mécanique, sans aucune dé-

pense de chaleur, ou la conséquence plus absurde encore d’une production gratuite et spontanée de travail mécanique et de chaleur tout à la fois. On a donc nécessairement e -f- -f- t i .

Donc nous pouvons affirmer que la quantité de chaleur nécessaire pour modifier simultanément la pression et le volume d’un corps quelconque de quantités infiniment petites ne dépend pas uniquement des modifications finales, mais qu’elle dépend encore de la marche suivie pour les réaliser.

Y. On peut aller plus loin et démontrer que le rapport de la quantité de chaleur définitivement dépensée, dans une évolution complète d’un corps quelconque qui revient exactement à son état primitif, après avoir passé par plusieurs étals intermédiaires, au travail mécanique définitivement réalisé est un nombre invariable pour tous les corps et dans toutes les circonstances. En effet, supposons qu’il soit possible d’obtenir, au moyen d’un corps X, une quantité de travail r avec une dépense définitive de chaleur w,

telle que le rapport = A et, avec un autre corps Y, une quantité

de travail t', avec une dépense définitive de chaleur «' telle que

le rapport soit égal à A' différent de A. Par un nombre m

d’évolutions complètes et semblables du corps X, nous obtiendrons une quantité de travail mécanique mr avec une dépense totale de chaleur égale à mn et, nous aurons, conformément à

l’hypothèse, mr =

Pour un nombre n d’évolutions complètes du corps Y, inverses de celles par lesquelles le corps X aura passé, nous dépenserons un travail mécanique externe égal à nr'; nous en obtiendrons une quantité de chaleur libre n n r et, conformément encore à l’hypothèse posée, nous aurons nr' = ~ •

En réunissant les m évolutions directes de X aux n évolutions inverses de Y, nous aurons, en définitive, dépensé une quantité de chaleur mn — m r et obtenu une quantité de travail mécanique

tnr — nr ' = ~ — Si nous choisissons les nombres m et n A A

dont nous sommes maîtres de disposer, tels qu’ils soient en raison inverse de u et de nous aurons m» = »»»', c’est-à-dire que la chaleur dépensée sera nulle. Il faut donc aussi que le travail mécanique definitivement obtenu tnr — m' soit nul également ; car la supposition contraire impliquerait la production gratuite ou la destruction spontanée de travail mécanique, ce qui est absurde. Donc on doit avoir mr — nr' = O , en môme temps que ma — n»' = 0, ce qui ne peut avoir lieu qu’autant que A' ne

diffère pas de A. Donc le rapport - de la quantité de chaleur dépensée ou produite au travail mécanique obtenu ou dépensé est un nombre absolu, invariable pour tous les corps et dans toutes les circonstances. Ce rapport invariable, que nous désignerons

par À, est l’équivalent calorifique du travail; inversement ~ sera

l’équivalent mécanique de la chaleur.

Désignons par c, la chaleur spécifique d’un corps à volume constant et par c sa chaleur spécifique à pression constante, c et c, seront généralement variables avec la température, la pression et le volume spécifique, et, comme la température est elle-môme déterminée quand ces deux derniers éléments le sont, nous pouvons considérer c et e t comme des fonctions de p et de v. Leurs différentielles complètes seront donc composées de deux termes, comme les différentielles de la température ( et de la chaleur interne U (§ ni, page 15), et nous pourrons écrire :

* = (ç ) ip + (s) <•>

La chaleur dépensée pour obtenir un accroissement BC = dp de la pression p du corps, son volume OA demeurant constant, sera, en vertu delà définition môme, exprimée par c t désignant la chaleur spécifique à volume constant correspondante à la pression p et au volume v, et <Tt l’accroissement de la température t qui détermine l’accroissement de la pression. La valeur <Tf nous

est donnée par l’équation (a) du § III , en y faisant dv = o, puisque le yolume ne varie pas, et nous avons en conséquence :

ft = dt = F, (p, c) dp, et c t U — c t F' p (p, v) dp.

La quantité de chaleur nécessaire pour produire maintenant l’accroissement CC '=dv du volume du corps, tandis que sa pression reste invariable et égale à AC —p ■+• dp, sera exprimée par c'S ' t, c r désignant la chaleur spécifique à volume constant correspondante à la pression p-f-dp et au volume v, et <f'f l’accroissement de température qui accompagne l’accroissement du volume. Or c ', en vertu de l’équation (*), surpasse c la chaleur spécifique corres-

La valeur de «f '/ est fournie par l’équation (a) du § III, en y faisant dp— o, puisque la pression reste constante, et y remplaçant p par p -h dp. En conséquence,

La quantité totale de chaleur d Q nécessaire pour amener lo corps du volume v et de la pression p au volume u + do et à la pression p + ^Pi de l’état initial représenté par les coordonnées du point B à l’état infiniment voisin représenté par les coordonnées du point C', par le chemin BCC', est donc exprimée

Nous trouverons de môme, pour l’expression de la quantité de chaleur nécessaire pour amener le corps de l’état initial B à l’état final C' par le chemin BB'C', ou de la quantité de chaleur resti-

= (« + (gp dp) F'" (P + dp, ») iv.

ainsi :

(1) dQz=e t F'p (p, t») dp •+• eF’, (p +dp,v)dv

tuée quand le corps est ramené de l'état C' à l’état B, en rétrogradant par le même chemin :

(2) dQ = c¥' v (p,v) do + ^F'pfPfV + dv) dp

Les valeurs (1) et (2) de dQ ne diffèrent entre elles que de quantités infiniment petites du second ordre, ainsi que cela doit être pour que l’excès de la première sur la seconde soit égal à l'équivalent calorifique du travail représenté par l’aire du rectangle infinitésimal BCC'B r , lequel équivalent est exprimé par A dpdv.

En effaçant dans les seconds membres les infiniment petits du second ordre qui s’évanouissent devant les quantités infiniment petites du premier ordre, les derniers termes disparaissent, puisqu’ils renferment les deux facteurs dp et dv. On doit aussi substituer respectivement à F'„ [p dp, v) et F', (p, v -f dv) qui sont multipliés par dv et dp, les fonctions F'„ (p, t>), F' p (p,«) qui se rapportent à l’état initial B du corps et ne diffèrent des premières que de quantités infiniment petites, pourvu que F' p et F', soient des fonctions continues de p et de v. Moyennant ces suppressions et substitutions, les valeurs (1) et (2) de dQ se réduisent l’une et l’autre à :

qui, en reprenant les notations usuelles du calcul différentiel, s’écrira ainsi :

Cette valeur de dQ doit être identique avec celle du § III, p. 17 :

dQ = c t F'p (p, v) dp -+- cF'„ [p,v) dv,

= ** (5) ^ + * dD*- (AI

et cette identité exige les deux équations :

/ dt \ / <fü \

\ dp) \ dp )

Enfin de l’équation dt = ^—^ dp -f- (^) dv, on tire :

d) rf p = * - d) *. e* (tt) * = *- (-J) d P-

En remplaçant dans (À), (~ ) </p ou dv par leurs va-

leurs respectives ci-dessus, on obtient ces deux expressions nouvelles de d Q :

iQ = c,it + (e — c,) d)àv; (A')

dQ = cdt - (e - e,) (■£■) dp, (A")

dont on pourra souvent faire usage.

En conservant dans les valeurs (4) et (2) les infiniment petits du second ordre, l’excès de la première valeur sur la seconde est égal à l’équivalent calorifique A dpdv du travail dpdv , ce qui nous donne, en réunissant les termes où dp, dv et dpdv entrent comme facteurs, l’équation :

e [F'„ (p -+■ dp, v) — F’, (p, v) J dt — c t ^F' p (p, v 4- dv) - F', (P, »)] dp + [ {^) F'- (P + dp,v)

— Æ) F', ( p , v + du)] dpdv = A dpdv.

Or, F', (p -|- dp, v ) — F'„ (p, v) n’est antre chose que la dérivée seconde

F".., X dp ;

— aide même F' p (p, v -f dv) — F',, (p, t?) n’est autre chose que la dérivée seconde

F V (P»t>) X dv.

et, comme on a : F",., (p, v)= F% (p, n)=^-, les deux premiers termes du premier membre de l’équation précédente se réduisent à :

(c — c t ) F"p.„ (p, «) dpdv ou (c — c t )

(Pt

dpdv

dpdv.

On doit aussi remplacer dans le dernier terme du premier membre F'„ (p -f dp» v) et F ' P (p, v dv) respectivement par les fonc-

tions F'„ (p, t>), F' p (p, v) qui se rapportent à l’état initial du corps et ne diffèrent des premières que de quantités infiniment petites, lesquelles, multipliées par dpdv , donneraient des infiniment petits du troisième ordre qui s’évanouissent devant des infiniment petits du second ordre. Moyennant ces réductions et substitutions, en

écrivant à la place de F', ( p , v), F' p (p,t>) respectivement

et et supprimant enfin le facteur dpdv commun aux deux

membres, l’équation devient :

formule générale applicable à tous les corps.

S’il en existe pour lesquels la chaleur spécifique c à pression constante soit indépendante de la pression et la chaleur spécifique c, à volume constant indépendante du volume, on aura pour

duit alors à :

) = o; la formule générale se ré-

ces

“•■p 8 Gp

(Pt

dpdv

— 24 bis —

Si, pour ces mômes corps, la relation entre la température, le « d*t

volume et la pression est (elle que — ^ soit invariable, la différence c — c, des deux chaleurs spécifiques sera aussi constante.

Les corps qui suivraient, dans les variations simultanées de température, de pression et de volume, les lois de Mariotte et de Gay-

Lussac satisferaient à la condition d’invariabilité de -7—7-. C’est ce

dpav

qui a lieu, sinon rigoureusement, du moins à très-peu près, entre les limites fort écartées de pression et de température auxquelles M. Régnault a étendu ses expériences pour les gaz appelés permanents, parce qu’on n’est pas parvenu à les liquéfier, tels que l’hydrogène, l’oxygène, l’azote. M. Régnault a constaté, en outre, que leur chaleur spécifique à pression constante n’éprouve aucun changement appréciable avec la pression, de sorte que l’on a pour

ces corps = °> H n’a fait aucune observation directe sur

leur chaleur spécifique à volume constant. Mais tous les faits connus, parmi lesquels les plus saillants sont l’invariabilité môme de la chaleur spécifique à pression constante et les très-remarquables expériences par lesquelles M. Joule et M. Régnault ont établi, chacun de son côté, que l’augmentation de volume de ces gaz, lorsqu’elle a lieu sans production de travail mécanique extérieur, n’occasionne aucune variation de température, s’accordent pour montrer que ni l’écartement ou le rapprochement de leurs molécules, ni leur changement de position les unes par rapport aux autres ne donnent lieu à un travail mécanique intra-moléculaire appréciable. Si donc le volume d’un gaz est maintenu constant tandis qu’il est chauffé, aucune partie de la chaleur qu'il reçoit n’est convertie en travail mécanique extérieur ou intérieur. La totalité en est employée à élever sa température, dont l’élévation doit ôtre, par conséquent, proportionnelle à cette chaleur, quel que soit le volume du gaz ; en d’autres termes, la chaleur spécifique c, est indépendante du volume, comme la chaleur spéci-

fique c l’est de la pression, et l’on a aussi

L’équation simple (I a ) peut donc ôtre appliquée aux gaz per-

— 2 h ter —

manents. On verra dans le chapitre suivant les conséquences de ce principe.

VI. Considérons maintenant un corps quelconque dont le poids soit égal à l’unité, dont le volume V soit représenté par l’abscisse OA et la pression p par l’ordonnée A a. Soit t 0 la température de ce corps.

Imaginons, suivant le mode de raisonnement employé par Carnot et M. Clapeyron, que le corps soit comprimé par des forces extérieures, sans addition ni soustraction de chaleur. Son volume diminuera et deviendra, par exemple, OB, moindre que OA ; la pression et la température augmenteront. Soient B6 la pression correspondante au volume diminué OB, et f, la température acquise à la fin de celte compression. Enfin, soit ab la courbe déterminée par les extrémités des ordonnées qui mesurent les pressions variables entre le volume OA et le volume OB. Laissons maintenant le corps se dilater et supposons que, pendant l’augmentation de volume, sa température l, soit maintenue constante par la chaleur qu’il reçoit d’une source indéfinie de chaleur à la température Soient bc la courbe des pressions variables entre le volume OB et le volume agrandi OC; Ce l’ordonnée qui mesure la pression correspondante à ce dernier volume. Isolons actuellement le corps de la source de chaleur à la température et laissons celui-ci se dilater encore, sans aucune addition ni soustraction de chaleur, jusqu’à ce que sa température, qui ira nécessairement en décroissant, soit redevenue égale à t 0 . Soient OD et D d le volume et la pression correspondante. Mettons alors le corps en communication avec une source indéfinie de chaleur à la température f # , qui le maintiendra à cette température, tandis qu’il sera comprimé par l’application de forces extérieures jusqu’à ce qu’il soit

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revenu à son volume primitif OA et par conséquent aussi à sa pression primitive A a, puisque la température t 0 est la môme qu’à l’origine ; ad est la courbe des pressions variables et croissantes pendant la compression du corps. Le résultat définitif de cette évolution complète du corps sera manifestement une quantité de travail mécanique extérieur, mesuré par l’aire du quadrilatère curviligne abcd. Désignant par Q la chaleur puisée à la source supérieure et moyennant laquelle sa température t { a été maintenue, pendant la dilatation du volume OB au volume OC, par Q' la quantité de chaleur versée dans la source inférieure, tandis que le corps était maintenu à la température t 0 , en môme temps qu’il était ramené, par des forces extérieures, du volume OD au volume primitif OA, la différence Q — Q' de ces deux quantités de chaleur aura disparu durant l’évolution complète du corps, puisqu’il est revenu exactement à l’état dans lequel il se trouvait à l’origine, et, conformément à la nouvelle théorie, nous aurons, en appelant T le travail mécanique obtenu, mesuré par la surface du quadrilatère curviligne abcd, par A l’équivalent calorifique du travail mécanique :