L. ^ - 1,3164082 Log. Ap ( V — r
ll/U
Ap (V — r 0 ) = 40,158.
La diflérence des deux valeurs est seulement de 0,146 infé-
rieure à - de la valeur fournie par l’équation.
Voici le tableau calculé par M. Zeuner des valeurs relatives à la vapeur d’eau à l’état de saturation, qui entrent dans les applications les plus importantes de la théorie mécanique de la chaleur.
TABLEAU des l'étal de saturation (wüc).
PRESSION DE LA Vj
cd atmosphère*
en millimèlrr* de mercure.
Valeur»
«lu rapport.
Volumr du L il.v.
frimmr de vapeur en mètre»
cube*.
Poids du mètre culte de vapeur en kilogramme».
Les températures t de la colonne 4 correspondantes aux pressions p sont connues par les expériences de M. Régnault et empruntées à la table donnée dans son ouvrage, ou déduites de cette table par interpolation.
Les valeurs de Ap (V — v 0 ) ou A pu, en remplaçant V — t’ 0 par u, de la colonne 5, sont calculées par la formule empirique 273 + t
A pu = 50,456 L. — — et diffèrent fort peu de celles que l’on
lüü
tirerait de l’équation Ap (Y — v 0 ) =
rQ
dp
dt
Ce sont les équi-
valents calorifiques des quantités de travail mécanique externe développées par la transformation d’un kilogramme d’eau en vapeur. Pour avoir ces quantités de travail, il suffit donc de multi plier les valeurs de A pu inscrites dans la colonne 5 par le nombre 424, équivalent mécanique de l’unité de chaleur. Le volume e 0 de l’eau liquide, à une température quelconque t, peut être considéré comme égal à 1/1000 de mètre cube, sans erreur appréciable, en raison de la faible dilatation de l’eau.
Chacun des nombres inscrits dans la colonne 6 devrait être obtenu en retranchant le nombre correspondant inscrit dans la colonne précédente de 606,5 -{- 0,505 t, qui exprime, d’après les expériences de M. Régnault, la quantité de chaleur totale nécessaire pour échauffer un kilogramme d’eau de 0° à 1° et le transformer en vapeur saturant l’espace, à la même température t et sous la pression/) correspondante h laquelle l’eau liquide ainsi que sa vapeur ont été soumises pendant toute la durée de réchauffement et de la vaporisation.
Chacun des nombres de la colonne 7 serait ensuite obtenu en retranchant du nombre inscrit dans la colonne 6, sur la même ligne, t + 0,00002/ J + 0,0000005 t 3 , qui exprime, d’après M. Régnault, la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température de l’eau liquide de 0° à /% en la maintenant toujours sous la pressionp. Toutefois, pour opérer en toute rigueur, il faudrait préalablement diminuer la quantité de chaleur nécessaire pour réchauffement de l’eau de la chaleur équivalente au travail externe développé par la dilatation de l'eau, pendant qu’elle
est échauffée de 0 à 1° et qui serait A p (t>' — v 0 ), en appelant t° le volume du kilogramme d’eau à 0° et v' le môme volume à 100°. Mais, en raison de la faible dilatation de l’eau liquide, v' — 1 ? 0 , ainsi que le produit A p ( v' — v 0 ), est une quantité négligeable dans tous les cas. M. Zeuner a remarqué que les excès de la chaleur interne de la vapeur à l’état de saturation au-dessus de l’eau liquide à 0° ou à t°, calculés ainsi qu’il vient d’être dit et qu’il désigne respectivement par J et par f, sont représentés avec une très-grande approximation par les deux formules empiriques trèssimples
Ce sont les valeurs calculées par ces dernières formules qui sont inscrites dans les deux colonnes 6 et 7.
Je prends comme exemple t = 100°, p = 760 Bm de mercure ou 4 atmosphère, la table de Zeuner donne pour Apu la valeur 40,092.
Retranchant ce nombre de 006,5 -f- 0,305 X 400 = 637, on a 596,908 au lieu du nombre 596,76 inscrit dans la colonne 6.
Retranchant du nombre 596,908 le nombre f -{- 0,00002t ! -f 0,0000003t s qui, pour t== 400°, est égal à 400,5, on a 496,408 au lieu de 496,24 inscrit dans la colonne 7.
Les valeurs de u = V — 1' 0 de la colonne 8 s’obtiennent en divisant les valeurs de Xpu, colonne 5, par ^;;,la valeur de pétant prise dans la colonne 3.
Les valeurs -^-de la colonne 9 expriment les rapports de la chaleur interne constitutive d’un kilogramme de vapeur au volume de la môme vapeur que fournit un kilogramme d’eau, en négligeant toutefois v 0 par rapport à V, ce qui est permis. Ce rapport
, qui intervient fréquemment dans les calculs, n’est autre chose
que la chaleur interne constitutive de l’unité de volume de vapeur. En effet, u étant le volume d’un kilogramme de vapeur,
un volume de vapeur égal à l’unité pèsera — kilogramme, et
f X — = — sera par conséquent la chaleur interne constitu-
tive de cette unité de volume.
La colonne 10 donne les volumes occupés par un kilogramme de vapeur en mètres cubes, en supposant que le volume v 0 du kilogramme d’eau liquide reste égal à 0“ cub, .001, quelle que soit la température, c’est-à-dire en négligeant la dilatation de l’eau liquide de 0° à t°.
Le poids spécifique ou poids du mètre cube de vapeur, colonne 11, s’obtient en divisant l’unité par la valeur de V prise dans la colonne précédente.
Cette table est certainement plus exacte que celle des densités de la vapeur d’eau à saturation calculées d’après la composition chimique de la vapeur d’eau, en supposant qu’elle suive les lois de Mariotte et de Gay-Lussac, dont on fait habituellement usage. Elle l’est surtout beaucoup plus que ne le sont les tables dressées en appliquant la loi dite de Southern, qui suppose les densités de la vapeur d’eau à saturation croissantes simplement en raison des densités, sans avoir égard aux températures.
XXVII (*). Considérons un kilogramme d’eau partiellement transformée en vapeur contenue dans un vase, tout l’ensemble étant à la température t. La vapeur étant à l’état de saturation, nous connaîtrons sa force élastique p. Soit m le poids de la vapeur; 1 — m sera le poids de l’eau liquide. Proposons-nous de déterminer l’excès de la chaleur interne de cet ensemble, par rapport à la chaleur interne d’un kilogramme d’eau à0°. c désignant la chaleur spécifique de l’eau liquide qui s’échauffe en se dilatant sous la pres-
sion constante p, / cdt sera l’expression de la chaleur nécessaire
pour élever, dans ces circonstances, la température d’un kilogramme d’eau de 0° à 1°. De cette chaleur, une partie est convertie en travail externe et disparaît; elle est égale à A p ( v ' — 1 0 ), en appelant i' 0 et v' les volumes d’un kilogramme d’eau sous la
(*) L’analyse des § § XXVII et XXVIII est empruntée à M. Zeuner.
lie —
pression p, aux températures respectives de 0° et t*. L’excès de chaleur interne de l’eau à l° sur l’eau à 0° est donc seulement
égal à 'dt — A p (t/ — v 0 ) ; 1 — m étant le poids de l’eau con-
tenue par hypothèse dans le vase, la chaleur interne acquise par celte eau en passant de 0° à t° est donc :
Le poids de vapeur m a d’ahord été, comme le reste de l’eau, échauffe de 0° à t° sous la pression p, puis vaporisé à la température t et sous la même pression p. L’accroissement de chaleur interne acquis par réchauffement de l’eau liquide de 0° à 1° est, d’après ce qui vient d’être dit, égal à
La chaleur r de vaporisation d’un kilogramme d’eau, c’està-dire la chaleur nécessaire pour transformer en vapeur saturant l’espace à la température t et sous la pression correspondante p un kilogramme d’eau qui est déjà à la température t et sous la même pression, est composée de deux parties: l’une, équivalente au travail externe développé par la vapeur pendant qu’elle est engendrée sous la pression constante p, est égale à Ap(V — v') ; l’autre, égale à la différence r — A p (V — v'), représente seule la chaleur interne constitutive de la vapeur. L’accroissement de chaleur interne nécessité par la vaporisation du poids m d’eau est donc :
qui s’ajoute à l'accroissement de chaleur interne dû à réchauffement de l’eau liquide. L’accroissement de chaleur interne du poids
[r — Ap(V — »') ] .
de vapeur m, à partir du môme poids d’eau à 0®, est donc égal à t
m £ J cdt — Ap ( v' — r 0 ) -h r — Ap ( V — v' ) Jj
= m r — Ap( V — 1?°)] . (b)
Ajoutant (a) et [b) il vient pour l’eicès de chaleur interne de l’ensemble de l’eau liquide et de la vapeur, en partant de l’eau à 0* et sous la pression p,
(i — m) [Jcdf — Ap ( t? r — v 0 )] 4- m \f cdt -H r — Ap ( V — v 0 )J
zz fcdt — Ap (v' — f 0 ) -f- tnr — mAp (V — «' ) ;
v' — e 0 est l’accroissement du volume d’un kilogramme d’eau liquide en passant de 0° à f°, accroissement assez petit pour que l’équivalent calorifique Ap(v' — v 0 )du travail auquel il donne lieu
soit négligeable par rapport au terme
et aux autres termes
de l’expression précédente. En le supprimant, supposant par conséquent t>'=:Vo, et désignant par r l’accroissement de chaleur interne de l’eau et de la vapeur à partir de l’eau à 0°, nous pouvons poser :
r= /«tt + «Cr-Ap(V— b )J.
les valeurs der — Ap (Y — v 0 )ou r — Apw sont données dans la colonne 7 de la table de M. Zeuner et désignées par f, ce qui permet d’écrire l’équation précédente sous la forme
cdt -f- mr — mApu ,
ou encore
et de calculer la chaleur interne r de l’ensemble d’eau et de la vapeur, en partant de la valeur de c connue par les expériences de M. Régnault et des nombres calculés d’avance dans la table.
La quantité totale de chaleur Q nécessaire pour transformer un kilogramme d’eau à 0° en vapeur saturant l’espace qu’elle occupe à la température t et en eau échauffée à la môme température, les poids de vapeur et d’eau restant liquide étant entre eux respectivement m et 1 — m, sera d’ailleurs
Q = r -4- mAp (V — t' 0 ) = r + wiApu ,
sous la réserve expresse que réchauffement et la vaporisation auront eu lieu sous la pression constante p.
XXVIII. Concevons maintenant que la quantité pondérale de vapeur et de liquide restant toujours égale à 1 kilogramme, le poids de vapeur m augmente de dm, tandis que la température subira une variation infiniment petite dt; la pression p deviendra
p+-jjdt, la vapeur étant toujours à l’état de saturation,
puisqu’elle est en contact avec le liquide; la chaleur interne variera de d r et la différentiation de l’équation (m) donne :
dr z=. cdt 4- d ' ( Wf ) = cdt -f- d ( mr ) — d ( mA pu). ( M )
Or d{m\pu) = A pd (mu)+ Amudp ; p étant une fonction de t seul, nous remplacerons dp par ~ dt et mAudp par mAu ~ dt. L’équation différentielle devient donc :
d r = cdt H- d ( mr ) — tu Au ^ dt — A pd ( mu ).
Or il a été établi, § XXV, que l’on a, entre la chaleur de vaporisation r et le travail externe A pu ou A p[\ — 1 ’ 0 ), la relation
r = A(a-M)^(V — ® 0 )=A(a + Ojf ««(*)»
d’où l’on tire :
U dt a t
Substituant dans la valeur précédente de dr t celle-ci devient :
dr~cdt -t- d (mr) — - dt — A pd (mu ) ,
et en faisant passer le dernier terme du second membre dans le premier :
d r -t- A pd (mu) = cdt d (mr) dt ;
Mais pd (mu) n’est autre chose que le travail externe développé par l’action de la vapeur, dans le changement d’état infiniment petit qui a augmenté de dm le poids de la vapeur existante, en diminuant de la môme quantité le poids du liquide.
En effet, d (mu) est l’accroissement du volume occupé par la vapeur dans l’ensemble, et cet accroissement ne diffère pas sensiblement de celui du volume total, puisque nous pouvons négliger la dilatation du liquide et le volume du liquide vaporisé par rapport au volume de la vapeur formée. Il suit de là que dr + A pd(mu) est la quantité de chaleur qu’a dû recevoir l’ensemble de l’eau et de la vapeur, pour rendre possible le changement d’état infiniment petit que nous considérons. Q désignant cette quantité totale de chaleur reçue, on aura donc :
dQ = cdt + d( mr ) dt . (N)
Les équations (M) et (N) ont une grande importance dans la théorie des vapeurs, la première fait connaître la variation de la
(*) C’est l’équation (I) du § XXV, où la lettre Q est remplacée par r qui a la même signification, et V *— 1? 0 par u.
chaleur interne, la seconde la variation de la chaleur fournie du dehors. Elle a été donnée pour la première fois, sous cette forme, par Clausius.
L’expression de la chaleur convertie en travail est, comme nous l’avons yu, dQ — dr-Apd(mu).
XXIX. L’équation (N) conduit à un résultat très-remarquable, que M. Hirn a vérifié par l’expérience.
Si l’on suppose que le volume occupé par la vapeur et le liquide subisse une variation infiniment petite, sans qu’il y ait afflux ni émission de chaleur, de telle sorte que l’on ait c/Q = 0, l'équation (N) donne :
cdt 4- d ( mr) —
mrdt a -h t
et en divisant ses deux membres par a -j- t.
cdt d (mr) mrdt u -H t d •+• t ( d -f- t )*
Sous cette forme, l’intégration se fait immédiatement; car les deux derniers termes du premier membre — — r [ — sont
la différentielle exacte de .
fl + t
L’intégration entre les limites de température t { et t 7 donne donc, en désignant par in t et m 2 les quantités pondérales de vapeur et par r t , r 2 les chaleurs de vaporisation respectivement correspondantes à ces températures ;
a -f- fj a -H t 2
Admettons que la totalité du liquide fut transformée en vapeur saturant l’espace à la température initiale / t , on aura alors = \ , et l’équation précédente donne *
y r 2 = h__ r ci H- t 2 cl -t- /, J
cdt
Retranchant des deux membres de celle-ci — - — ,etobservant
CL “T" (n
que
r cdt r cdt r 1 cdt .. .
/ — — / — — ; — / — — : , il vient :
J (l — f“ t J Cl -f- t J CL ~f- t
i j r 7 r t Ç cdt __ / r.
Il -+• -f- (j «/ CL + t \CL -+• /g
étant toujours un nombre positif, on voit quecetle équation donnera pour m 2 — 1 une valeur positive ou négative, suivant que son second membre sera lui-méme positif ou négatif. Or une valeur positive de w 2 — 1 ou m 2 >1 indique évidemment qu’il tend à se former de nouvelle vapeur pour s’ajouter à celle qui existe, et qu’il s’en formerait en effet, s’il restait encore du liquide en présence de la vapeur. Comme nous admettons que la totalité du liquide est vaporisée à la température t p il s’ensuit qu’à la température t 2 la vapeur existante ne sature plus l’espace, qu’elle est par conséquent surchauffée. Une valeur de »?, — 1 négative ou m 2 < 1 indique, au contraire, qu’une partie de la vapeur se précipite. Une valeur nulle de m 2 — 1 indiquerait que la vapeur qui était à l’état de saturation à la température t, est encore à l’ctat de saturation à la température t 2 .
Il est évident qu’un accroissement du volume primitif de la vapeur sera toujours accompagné d’un abaissement de température, et qu’une diminution de volume sera, au contraire, accompagnée d’une élévation de température, puisqu’il n’y a ni afflux
de chaleur du dehors ni émission à l’extérieur, et que !a vapeur exerce toujours sur la paroi du vase qui la renferme, soit que sa capacité aille en augmentant ou en diminuant, une pression égale à sa propre force élastique. Donc, si l’espace occupé par la vapeur est allé en augmentant, t 2 est < ; le contraire a lieu, et f 2 est> f 4 , s’il y a eu diminution de l’espace occupé par la vapeur.
y r cd t
En conséquence, si la fonction -J- J — — • croît en môme
temps que la température /, le second membre de l’équation [a) sera positif quand le volume augmentera, négatif quand il diminuera. tn 2 sera>l et la vapeur sera par conséquent suréchauffée dans le premier cas, c’est-à-dire par l’expansion de son volume; ?/?., sera < 1 et il y aura précipitation de vapeur dans le second cas, c’est-à-dire par la réduction de son volume. Les effets précisément contraires se produiront, c’est-à-dire que l’expansion sera accompagnée d’une précipitation de vapeur et la réduction de volume du
r r 1 cdt
suréchauffement de la vapeur, lorsque la fonction
croîtra pour une diminution et diminuera pour un accroissement de la température.
Posons z
-ïtï + A
c ^ • : la dérivée ~ est positive ou
négative, suivant que les variations de la fonction z sont dans le môme sens que celles de la variable tou en sens inverse.
L’expansion d’une vapeur à l’état de saturation, sans addition ni soustraction de chaleur, sera donc accompagnée d’une liquéfaction partielle et la vapeur sera suréchauffée parla compression,
si — est négatif. Au contraire, la compression de la vapeur dondt
nera lieu à une liquéfaction partielle et l’expansion au suréchauffement, si — est positif.
ut
Voyons ce qui doit arriver aux substances diverses dont les ex-
périences de M. Régnault nous ont fait connaître la chaleur de vaporisation r et la chaleur spécifique c à l’état liquide. Tour toutes ces substances, M. Régnault a déterminé et exprimé par une formule empirique ce qu’il appelle la chaleur totale d’évaporation, c’est-à-dire la quantité de chaleur nécessaire pour transformer l’unité de poids de la substance liquide à 0° en vapeur saturant l’espace à la température t et sous la pression correspondante p, qui s’exerce sur le liquide pendant toute la durée de réchauffement et de la transformation en vapeur. Cette chaleur totale qu’il désigne par x est une fonction de t. D’un autre côté, il a déterminé et exprimé aussi par une formule empirique la quantité de chaleur nécessaire pour élever la température du liquide de 0° à t°, tandis que ce liquide est soumis à la pression p . Cette quantité de chaleur n’est autre chose que l’intégrale
. La désignant par q, l’on a q
La
chaleur de vaporisation r s’obtient en retranchant q de \. r=A — q. Substituant cette valeur de r dans l’expression de la fonction z, on a :
