UUU

Nous ferons les calculs comme si la vapeur venant des cylindres et l’eau d’injection affluaient d’une manière continue et régulière dans le condenseur, d’où la pompe à air extrairait aussi d’une manière continue toute l’eau résultant du mélange de l’eau d’injection et de la vapeur condensée, de telle sorte que la capacité du condenseur occupée par de la vapeur à la température donnée t, dont la pression ajoutée à celle de l’air raréfié est désignée par or, resterait constante. Nous faisons ainsi abstraction des variations causées dans l’afflux de vapeur et l’extraction de l’eau par la nature du mouvement des pistons du cylindre à vapeur et de la pompe à air, qui doivent amener des variations correspondantes dans la-*" température t et la pression t, pour lesquelles nous adoptons les valeurs moyennes. Nous devons alors exprimer qu’un kilogramme de vapeur humide à la température /, mêlée à un poids d’eau liquide inconnu q à la température t' t doit se réduire à q -f~l kilogramme d’eau liquide à r° et sous la pression or, en tenant compte non-seulement des quantités de chaleur interne de la vapeur et de l’eau venant respectivement du cylindre de la machine et de la bûche avec laquelle communique le condenseur, mais encore des quantités de chaleur équivalentes û la demi-force vive dont sont animées la vapeur et l’eau à leur arrivée dans le condenseur et, par conséquent, aux quantités de travail .Jiécanique qui leur impriment les vitesses respectives d’arrivée.

Appelons J, la quantité de chaleur interne au-dessus de l’eau à 0° d’un kilogramme de vapeur à saturation à la température t et V, le volume spécifique correspondant. La quantité de chaleur interne contenue dans un kilogramme de vapeur humide sera :

m X + (1 — *») f cdt,

ou, ce qui est la même chose,

mf -4 -J* cdt ,

en désignant par?, la chaleur interne du kilogramme de vapeur audessus de l’eau liquide à la môme température t et sous la môme pression. Le volume V de la vapeur mouillée sera, en négligeant le volume de l’eau liquide,

J t , f, et V, sont données par le tableau ou les formules empiriques de M. Zeuner, § XXVI.

La quantité de chaleur interne contenue dans le poids d’eau q à la température t ' est.

cdt.

Le volume V ou mV, de vapeur doit surmonter, pour pénétrer dans le condenseur, la pression t qui y existe ; le piston du cylindre de la machine qui refoule celte vapeur exerce sur elle et éprouve de sa part la môme pression rr; le refoulement de la vapeur dans le condenseur exige donc l’application d’un travail externe égal à rr\ = rrmY,, et la quantité de chaleur équivalente à \

ce travail — \ rrmY t s’ajoute à la chaleur interne que possédait la vapeur dans le cylindre, au moment de la mise en communication avec le condenseur.

L’eau d’injection est poussée dans le condenseur par l’excès p — rr de la pression atmosphérique sur la pression rr. Cette pression donne lieu à un travail mécanique égal au produit

1000 ^ ^ qui sc lrans ^ orme en force vive, et cette vive, en s’éteignant dans le condenseur, donne lieu au développe-

ment d’une quantité de chaleur équivalente : X rHxzft — »).

L’équation qui nous donnera la valeur de q est, en conséquence,

ç+fcit+^my, +qfcdt+ J 3^X± i (¥— r )

= [q -h 1) J" cdt,

Comme application numérique prenons :

t — 100°, m = 0,90, t = 30°, t' = 1*2°; P — 10333 k . Les formules empiriques de M. Zeuner nous donnent : f = 573,03 — 0,7882 X 100 = 494,21;

n aa 4 X 30,456 L. 3,73 0,001 ~ 10333

(Ce nombre se trouve dans le tableau du § XXYI.)

On peut prendre :

J* cdt = 100,5.

J' cdt — J* cdt — 12 ,

J' cdt = / cdt — 30.

La pression de la vapeur d’eau à saturation et à 50° est de

de mercure, soit 429 k par mètre carré superficiel. * doit avoir une valeur plus grande ; nous supposerons «r = 1000 k . Ces substitutions opérées, l’équation nous donne q — 28,86.

Le mode de calcul dont il est fait habituellement usage aurait conduit à l’équation 637 + q X 12 = (q + 1) 30, d’où q = 53\7.

XXXIX. Les exemples précédents montrent assez comment les diverses questions relatives aux machines à vapeur alimentées par la vapeur à saturation doivent être abordées et résolues. Nous terminerons en rapportant l’heureuse application faite par M. le professeur Zeuner de la théorie mécanique de la chaleur à l’écoulement des gaz ou des vapeurs, dans l’ouvrage intitulé, das Loco motxven-Blasrohr (Ziirich, 4865).

Soit un réservoir indéfini R , contenant un fluide, liquide ou gaz, sous une pression constante p,, qui sera réglée, si l’on veut, par un piston P. Le fluide s’écoule par un orifice ab dans un milieu extérieur où la pression également invariable est égale à p 2 . Le fluide, après sa sortie du réservoir, est à la pression p 2 du milieu extérieur et a, par conséquent, subi une variation de volume à laquelle correspond un travail moteur qui , en désignant par p les pressions successives par lesquelles il passe pour arriver de p t à p 2 , et par v les volumes correspondants d’une certaine quantité déterminée du fluide, un kilogramme par exemple, sera exprimé, pour cette quantité, par

l’intégrale définie J pdv, où v, et v 2 sont les volumes spécifiques

(de l’unité de poids) correspondants aux pressions t>, et t? 2 . Le piston mobile P, pendant l’écoulement, est descendu dans le réservoir cylindrique de manière à envahir l’espace délaissé par le volume t>, de fluide sous la pression p 1 qui s’est écoulé; de là, un travail moteur exprimé par p, v t . D’un autre côté, le fluide, en

sortant sous le volume final t? 2 , a dû surmonter la pression p 2 du milieu ambiant, ce qui a donné lieu à un travail résistant égal à

La demi-force vive du fluide sorti, dont le poids est égal à 1 ki-

log. et la masse, par conséquent, exprimée par -, g désignant

la gravité, est donc égale à p t t>,— p 2 t? 2 + J ’ pdv. En dési-

gnant par W la vitesse de sortie, que nous supposons commune à toutes les particules fluides, on a l'équation :

— =Pl v t — p 2 t 2 +Jpdv. (1)

La vitesse de sortie W ne dépend donc pas seulement des pressions p, et p 2 et des volumes spécifiques correspondants r, et t> 2 ,

mais encore de l'intégrale Jpdv, c’est-à-dire de la loi suivant

laquelle la pression p, dans le passage dep 4 àp 2 , varie avec le volume spécifique v. Or nous savons que cette loi dépend de la température qui peut elle-même varier.

Si le volume du fluide est considéré comme étant invariable, ainsi qu’on peut l’admettre dans le cas des liquides qui sont presque incompressibles et dont la dilatation, pour de petites variations de température, est négligeable, on a v 2 = v t , dv= o; le dernier terme du second membre de l’équation (1) disparaît, et elle se réduit à :

Si nous appelons rr le poids de l’unité de volume du liquide, nous aurons, d'après la définition, v l rr = t ; d'où t> 4 = -i . La

substitution de cette valeur à v t nous donne :

C’est la formule connue et généralement usitée de l’écoulement des fluides incompressibles, que l’on applique aussi à l’écoulement de l’air et autres gaz permanents, dans le cas où la différence des pressions p t et p 2 est très-petite. Mais, dans ce dernier cas, nous savons qu’il existe entre le volume spécifique v, la pression p et la température centigrade t la relation :

pv = R [a + t ) ,

où R est un nombre constant pour chaque gaz et a = 275. La différentiation donne :

pdo -h vdp = R dt ,

équation qui, dans l’hypothèse où le volume spécifique t> resterait constant et où, par conséquent, on aurait dv = o, se réduit à :

vdp = R dt ;

d’où = dp. Comme v est supposé constant et égal à t?, ,

l’intégration s’effectue immédiatement, et nous donne, en désignant par t 2 les températures respectivement correspondantes aux pressions p t et p 2 :

*2 — (Pi Pi)‘ ( 2 )

Le gaz ne peut donc sortir par l’orifice d’écoulement sous le même volume spécifique, la même densité qu’il avait dans l’intérieur du réservoir, seul cas dans lequel la vitesse d’écoulement W

soit donnée par la formule -rr— = Ci — L? t que si la température

a changé en même temps que la pression, l’abaissement de température t t — t 2 étant proportionnel à la différence des pressions p { — p 2 . Or la chaleur interne d’un gaz permanent est (§ XVII, chap. il) indépendante de la pression et du volume et dépend de la température seule proportionnellement a laquelle elle varie, de

sorte que, en désignant par U la chaleur interne, par t la température centigrade et par e, la chaleur spécifique du gaz à volume constant, on a :

dU = c x dt ;

il suit de là que la chaleur interne du gaz, en passant de l'intérieur du réservoir dans le plan de l'orifice d'écoulement, où il est

animé de la vitesse W donnée par la formule = — — , a

diminué de c t (t, — 1 2 ), ou en remplaçant*, — * 2 par sa valeur

tirée de l’équation (2), de — ‘ v, (p, — p 2 ). Le gaz, n’ayant,

d’ailleurs, subi dans son trajet aucun changement de volume, n’a pu ni exercer ni subir aucun travail qui ait donné lieu à une disparition ou à une création de chaleur. La diminution de chaleur ne peut donc être causée que par une soustraction directe de cette

même chaleur, et la formule =

implique nécessaire-

ment cette soustraction.

Si l’on suppose que la température du gaz, dans le trajet qu’il parcourt jusqu’à l’orifice d’écoulement, demeure invariable, on a entre p et v la relation :

d’où,

pu n p l v i zz const. ;

La formule générale (1) donne, dans ce cas :

-Çÿ =Pt*l — + P,t>, L.

laquelle, à cause de p,n, = p a v 2 j se réduit à -g-

ou encore, en remplaçant jjî par le rapport ^ ,

et v t par - :

^1—Pl l ü

qui lui est égal,

(tt est le poids spécifique du gaz sous la pression p,). Cette formule, dont on fait aussi fréquemment usage, suppose la constance de la température et, par conséquent, l’expansion progressive du gaz, à mesure qu’il passe de la pression p t à la pression p 2 . Elle implique donc que sa chaleur interne ne subit aucun changement. Mais, comme son expansion depuis le volume o, jusqu’au volume t> 2 a donné lieu à un travail moteur exprimé par

— L. — , une quantité de chaleur équivalente A — L. — a néces- Vi Pi

sairement disparu, et a dû être fournie du dehors pour maintenir

la température constante, comme le suppose la formule (b).

Si l’on admet que le gaz, pendant la durée de l’écoulement, ne reçoit ni n’émet aucune chaleur, la pression p et le volume v varieront ensemble (§ XVII, chap. h), de telle sorte qu’on ait :

tiques à pression constante et à volume constant. v 2

L’intégrale J pdv , lorsque l’on y remplace p par p, t) A * X » v «

est égale (§ XVIÏI, chap. n ) à :

On a, d’ailleurs, p 2 v 2 k = p t v k ; d’où :

P t V i —p 2 V 2 ZZ Pl V i

la formule (1) devient, en y portant les valeurs précédentes:

= iTTI A*. (‘ - -Tî=0

Elle peut se mettre sous une forme beaucoup plus simple, en y introduisant les températures t t et f 2 . On a d’abord :

; et ayant égard à la

relation générale c — c, = AR (§ XV, chap. ii), - — - = — .

K mmmm 1 Ali

D’ailleurs, ainsi que nous l’avons fait voir (§ XVIII), on a :

fl + t,

Moyennant ces substitutions, la formule (c) se réduit à

où c désigne la chaleur spécifique du gaz à pression constante, A est l’équivalent calorifique de l’unité de travail, de sorte que

i == 424. La température f, peut être facilement mesurée dans le

réservoir, aussi bien que la pression p,. Quant à la température f 2 qui entre dons la formule (et), on peut la déterminer en fonction des pressions p, , p 2 et de la température t r En effet, entre les trois équations :

p t v t =R(fl + t,)i

PiVi k = P2°2,

on peut éliminer, sans difficulté, u, et v 2 , et l’on obtient

ainsi la relation : = (~p) * , ou en remplaçant k par

le rapport — :

a + tj /Pa\ c

Les deux équations (a) et (C) équivalent à la formule (c), et sont d’un usage plus facile que celle-ci.

Rappelons que le rapport — est sensiblement le même pour

tous les gaz permanents, et égal à 1,41. On a donc aussi pour

tous les gaz - — — = - 1 — =t 4Î = 0,2908. On a, d’ailleurs,

pour l’air atmosphérique, entre les limites des expériences de M. Régnault, c = 0,25754. Les équations (et) et (C), en y portant ces valeurs numériques, et y remplaçant y par 424-, deviennent donc, pour l’air :

d’où :

Les trois formules (a), ( b ), (c) donnent, pour — , des va-

leurs très-peu différentes, quand les pressions p, et p 2 ne diffèrent elles-mêmes que d’une assez petite fraction de p,. Il en est tout autrement, lorsque la différence des pressions p, — p 2 se rapproche de p f , et, dans ce cas, il paraît que la formule (c), ou les équations équivalentes (et) et (£), donnent des résultats plus rapprochés de la réalité que les deux autres.