XL. La formule (I) du § précédent

= P i v i “ Vi v i

subsiste dans tous les cas et s'applique à tous les fluides, liquides

ou gazeux. Dans tous les cas aussi, l’intégrale J* pdv exprime le

travail mécanique externe développé par T unité de poids du fluide, en passant de la pression initiale p t et du volume initial v t à la pression p 2 et au volume r 2 , tandis qu’il exerce sur les particules contiguës et éprouve de leur part une pression variable p constamment égale à sa propre force élastique. Donc une quantité

de chaleur équivalente à ce travail et exprimée par A J % pdv a dû

disparaître. Or la chaleur disparue s’obtiendra en ajoutant à la chaleur interne que possédait l’unité de poids du fluide, dans son état initial, la chaleur qu’il a reçue du dehors pendant le changement d’état, et retranchant de cette somme la chaleur interne qu’il possède dans son état final, sous la pression p 2 et le volume t’ 2 . Désignaut par Q la chaleur reçue du dehors, par U, la chaleur interne initiale , par U 2 la chaleur interne finale , nous

aurons A J* prfu = Q + U, — U 2 . La formule (1) peut donc être remplacée par la suivante :

— =p iVi —p 2 v 2

La chaleur interne U est, pour un corps quelconque, une fonction de la pression p et du volume spécifique t>. Toutes les fois donc que la nature de cette fonction nous sera connue, comme elle l’est pour les gaz permanents, entre certaines limites de température, nous pourrons, étant donnés les pressions initiale et finale p, et p 2 et les volumes spécifiques correspondants et v 2f ainsi que la quantité de chaleur Q reçue du dehors pendant le changement d’état, déterminer la vitesse d’écoulement W. Pour la vapeur d’eau à l’état de saturation, comme pour un mélange

de vapeur et d’eau dans des proportions pondérales données, il suffît de connaître la pression p, pour en déduire le volume spécifique v et la chaleur interne U. Ainsi la pression p t étant donnée, avec les proportions de vapeur et d’eau qui constituent le mélange primitif, nous pouvons, parcels même, considérer et U, comme connus. D’un autre côté, la pression p 2 étant également donnée, nous savons déterminer les modifications que la composition du mélange de vapeur et d’eau a subies, en se dilatant progressive* ment depuis la pression p, jusqu’à la pression p 2 , c’est-à-dire les proportions pondérales de vapeur et d’eau existantes à l’état final sous la pression p 2 , dans le cas où il n’y a eu ni addition ni soustraction de chaleur pendant le changement d’état (§ XXVIlt et XXIX). Dans le cas donc où l’on a à chaque instant dQ = 0, et par conséquent aussi Q= 0, ces proportions étant connues, ü 2 et U 2 le seront également, et la formule (I) nous donnera la W*

valeur de et de la vitesse d’écoulement W sous la pression p 2 .

Indiquons en détail la manière d’opérer. Nous supposons que le fluide, sous la pression p,, contient, par unité de poids, m t de vapeur d’eau et 1 — m, d’eau liquide. Appelant v t r le volume spécifique de la vapeur saturée et sèche correspondante à la pression p,, et v le volume spécifique de l’eau liquide à la |empérature /, sous la pression p, , nous aurons évidemment :

Mais le volume spécifique de l’eau liquide est presque toujours négligeable par rapport à celui de la vapeur ; nous pouvons donc, en désignant par u t l’excès v/ — v/' du volume spécifique de la vapeur sur celui de l’eau liquide à la même température, poser simplement, toutes les fois que m t ne diffère pas beaucoup de l’unité :

et, par suite :

Pi = m t p t u r

p 2 étant donné, la température correspondante à cette pression et à l’état de saturation est connue. Nous admettons qu’il

n’y a eu ni addition ni soustraction de chaleur, de sorte qu'à chaque instant dQ=o. Le mélange gazeux s’étant dilaté depuis la pression p t et la température jusqu’à la pression et à la température correspondante en exerçant sur les molécules ambiantes et éprouvant de leur part une pression constamment égale à sa propre force élastique p, l’équation (N) du § XXVIII, dans laquelle on pose dQ = o , est applicable, et nous avons, en conséquence,

cdt + d(mr) —

mrdt a 4- t

équation dont l’intégrale est (§ XXIX au commencement) entre les limites t t et :

wj 2 r 2

cl 4~ t a 4- f, d "H

J’ai donné, dans le § XXX, la valeur de l’intégrale

en prenant pour la chaleur spécifique c de l’eau liquide la formule empirique que M. Régnault a déduite de ses expériences : c — 1 -f* 0,0000i * 4- 0,0000009 t 7 .

c variant, d’ailleurs, très-peu entre les limites des températures auxquelles la vapeur d’eau à saturation est utilisée, on peut la

considérer comme constante et l’intégrale

se réduit à

c L. L’équation (m) devient alors :

m 7 r 7 fl 4-

C’est sous cette forme qu’elle a été donnée pour la première fois par M. Clausius et qu’elle est appliquée par M. Zeuner. Ce dernier adopte pour c la valeur moyenne 1,0224 pour l’eau aux températures où elle existe dans les chaudières ordinaires à haute pression, et la valeur moyenne 1,013 pour les températures voisines de 100°, qui ont lieu dans les chaudières dites à basse pression.

Dans les équations (m) et (n), (, et m l sont des données de la question. La pression du milieu dans lequel s’écoule la vapeur humide étant également donnée, t 2 est la température de la vapeur saturant l’espace sous cette pression. On pourra donc la calculer par les formules empiriques ou la prendre dans les tables de M. Régnault. Les chaleurs de vaporisation de l’eau r, et r 2 , aux températures respectives t x et f 2 , seront calculées, soit par la formule :

soit par la formule approchée :

r 606,5 4- 0,305 1 — et;

en prenant dans cette dernière c = 1,0224 ou c — 1,013, selon que les températures t i et t 2 sont plus ou moins élevées par rapport à 100°. L’une ou l’autre de ces équations ne contient donc d’autre inconnue que m 2 , et peut servir à la déterminer. Sachant que la vapeur, à sa sortie de l’orifice d’écoulement, renferme par unité de poids m 2 de vapeur et 1 — m 2 d’eau liquide, nous pou-

vons calculer U 2 , et enfin obtenir en portant les valeurs de

U,, U 2 avec celles de t\, v 2 dans la formule (I) qui, en raison de Q = o, se réduit à :

Or nous avons fait voir, au commencement de ce paragraphe, que

de même

Nous savons (§ XXVII) que :

ü, = m, | J cdt 4- r i -~Ap i u i j 4- (1 — m { ) J cdt,

et, en réduisant

de même

cdt 4- m i r i — m l Ap l u l ;

U 2 = J' c dt H- m 2 r 2 — m 2 Ap 2 u 2 .

Ces valeurs étant substituées dans l'équation (II), il vient

cdt

x{/* cdt + m * r * ]

v il

De l'équation (m) on tire :

«V» = X rn.r, - (O + 1,)

portant cette dernière valeur de m 2 r 2 , on a : ff'l (/' ,

2y ~ T \ J cit + (a + **)

Si l’on suppose la chaleur spécifique de l’eau liquide c constante, en lui attribuant la valeur moyenne entre celles qui conviennent aux températures extrêmes et t 2 , on a :

=-cL.

mais L.

a étant égal à 273, est une assez petite fraction pour que l’on puisse remplacer, très -approximativement, L. ^1 -f- J * ) , par le premier terme de son développement

en série, c’est-à-dire par . On peut donc écrire :

est très- approximativement

égal à o, et la valeur de prend la forme simple :

-77— = -r tn.r. r*