BECQUEREL

unique à quatre dimensions (comme en géométrie il y a …

une infinité de plans dans l'espace euclidien à trois dimensions).

PROPRIÉTÉS DES COUPLES D'ÉVÉNEMENTS (P. LAN- GEVIN). — Soient À et B deux événements. Trois cas peuvent se présenter, le carré s° de l'intervalle est négatif, nul, ou positif.

l° COUPLES DANS L'ESPACE. — Si s est négatif,

cela veut dire : dans tous les systèmes de référence, la distance / des points où se produisent ces événements est plus grande que le trajet cT que parcourt la lumière dans l'intervalle de temps qui les sépare.

Une application simple des formules de Lorentz permet d'établir que deux tels événements n’ont pas un ordre de succession détermine. Il existe une infinité de systèmes de référence dans lesquels À est antérieur à B, une infinité de systèmes dans lesquels À est, au contraire, postérieur à B, enfin un système dans lequel À et B sont simultanés.

La distance spatiale de ces deux événements est mini

mum dans le système pour lequel ils sont simultanés car

$ — € T° — /° étant constant, {” est minimum lorsque est nul.

Deux tels événements qui, par un choix convenable de la division de l'Univers en espace et en temps peuvent être amenés en coïncidence dans le temps, mais jamais dans l'espace, forment un couple d'événements dans l'espace.

Deux événements constituant un couple dans l'espace sont absolument indépendants, car s'il existait entre eux un lien de cause à effet, comme leur ordre de succession n'est pas déterminé, la cause serait, pour certains observateurs,

postérieure à l'effet, ce qui est absurde : comme dit.

L’'UNIVERS DE MINKOWSKI 51

M. Einstein ‘ on ne peut pas télégraphier dans le passé ”.

2° COINCIDENCE ABSOLUE. — Lorsque s est nul, on a dans tous les systèmes [= CT; c'est le cas qui se présente pour deux points d’ A PSEPT d'un rayon lumineux, puisque le trajet / parcouru par la lumière (dans le vide) pendant le temps TL est précisément cT. Dans le cas où et L sont nuls tous deux dans un système, 1ls sont nuls dans tous les systèmes ; les deux événements sont en coïncidence absolue.

3” COUPLES DANS LE TEMPS. — Lorsque l'invariant s est positif, la distance spatiale / est, dans tous les systemes de référence, plus courte que le trajet cT de la lumière pendant la durée écoulée entre les deux événements. Le calcul montre que l'ordre de succession des deux événements considérés a un sens bien determine. On ne

peut jamais les rendre simultanés, c'est-à-dire trouver un

système de référence pour lequel ils soient en coïncidence dans le temps; mais on peut les amener en coïncidence dans l'espace, et la durée T qui les sépare est minimum dans le système pour lequel ils coïncident dans l’espace. Deux événements pour lesquels s° est positif forment un couple dans le temps. Ils peuvent être unis par un lien de

causalité ; ils peuvent aussi, bien entendu, être indépen- … dants, mais toujours le premier événement a pu être - annoncé au heu où le second va se produire, puisque la

distance spatiale qui les sépare est, dans tous les systèmes, plus courte que le trajet CT que parcourt, dans le temps T, un signal lumineux ou électromagnétique.

L'invariant s est donc positif ou négatif suivant qu'un des événements peut ou non influer sur l’autre ; il indique

Ja “ possibilité d'influence ou d'action ” d'un des événements sur l’autre (M. P. Langevin).

LA CONTRACTION DES LONGUEURS. — Dans deux systèmes de référence en mouvement relatif, prenons des axes ayant la disposition simple que nous avons adoptée (fig. 4). Imaginons une tige, parallèle aux axes Ox, x, immobile dans le système S et par conséquent se déplaçant, dans le système S, avec la vitesse v dans le sens de sa longueur.

Prenons comme événements À et B les positions des extrémités de la tige à un même instant pour l'observateur du système S ; ces deux événements étant en coïncidence dans le temps pour le système S forment, d'après ce qui a été dit plus haut, un couple dans l’espace, et leur distance’ spatiale est minimum dans le système S où 1ls sont simultanés.

Pour l'observateur du système S, la distance spatiale des positions simultanées des extrémités de la tige est la longueur de cette tige ; la tige est donc plus courte pour l'observateur du système S que pour l'observateur du système S' pour qui les événements À et B ne sont plus simultanés.

Ainsi, pour l'observateur S qui voit passer la tige, celleci est plus courte que pour l'observateur S° pour qui la tige est immobile : il est facile de calculer (appendice, note 7) que le rapport entre les longueurs de la tige animée de la

Je / 1 / ct

C’est précisement la contraction de Fitzgerald-Lorentz (chap. 11) mais ici cette contraction n'a plus aucun caractère absolu, et elle ne prête plus aux objections que nous avons faites. En somme, elle résulte simplement de la manière différente dont les deux observateurs envisagent la simultanéité, et du fait que la forme d'un corps en mouvement ne peut être définie que comme l'ensemble des positions simultanées des différents points de ce corps.

vitesse v et de la même tige au repos est

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La contraction est tellement peu absolue, qu'elle est réciproque, c'est-a-dire que si deux tiges identiques sont immobiles, l’une dans le système S l’autre dans le système S’, chaque observateur estime que la tige de l’autre système est plus courte que celle de son système.

Le fait qu'un objet en mouvement est contracté dans le sens du mouvement ne signifie donc pas que l'objet a été réellement modifié par le mouvement ; :l signifie qu'un observateur lié à l'objet et un observateur en mouvement par rapport à l'objet ne font pas la même décomposition de l'Univers en espace et en temps, que l’espace relatif à l'objet et l'espace relatif à l'observateur qui le voit passer ne sont pas les mêmes (ainsi que nous l’avions fait pressentir, page 32).

LA DILATATION DU TEMPS (EINSTEIN). — La contraction des longueurs a une contre-partie, la dilatation du temps. Le calcul montre (appendice, note 7) que, pour les observateurs immobiles dans un des systèmes S ou S’, les horloges de l’autre système retardent : chaque observateur,

/ Ad :

dans son système, divise par 1 — Les intervalles de \ :

temps mesurés par une horloge au repos dans l'autre système.

LES LIGNES D'UNIVERS (MiNKkoWSKI). — Suivons maintenant la succession continue des événements qui constituent la vie d'une même portion de matière ou d’un même être. Leur ensemble forme dans l'Espace-Temps une ligne d'Univers, comme en géométrie une succession continue de points forme une ligne dans l’espace.

En géométrie, pour mesurer un arc de courbe AB, on décompose cet arc en cordes rectilignes très petites, et l'on

(fig. 10); plus les cordes sont petites (et en même temps, bien entendu,

somme de leurs longueurs est voisine de la longueur de l'arc de courbe, ce quon exprime en disant que la longueur de l'arc AB est l'intégrale, prise de À à B, des cordes infiniment A petites. On a l'habitude de désigner FALES une intégrale ou sommation de quanttés infiniment petites (en nombre

infini) par le signe à et l’on écrit

è B (11) arc AB— | dl e/ À en désignant par d/ l’une quelconque des cordes infiniment petites (1), ou ce qui revient au même, un arc de courbe élémentaire, car l'arc de courbe et la corde rectiligne entre deux points tendent à avoir la même longueur si les deux points se rapprochent indéfiniment, Ainsi, il est bien entendu = | que le symbole | di signifie la somme des cordes infini- … A ment petites, ou ce qui est la même chose la somme des arcs de courbe élémentaires, depuis le point À jusqu'au point B. i Opérons de la même manière pour une ligne d'Univers 1. La lettre d qui précède une autre lettre désignant une grandeur est le sym= bole employé pour indiquer que la grandeur considérée est infiniment petite.

Les formules contenant des grandeurs infiniment petites ne sont pas rigoureuses . A 3 . ‘ pour des grandeurs très petites, mais elles sont d'autant plus approchées que

ces grandeurs sont plus petites : elles sont donc valables à la limite, pour des gran:

deurs infiniment petites,

fait la somme de ces petites cordes Aa, ab, bc, etc.

plus grand est leur nombre), plus la

L'UNIVERS DE MINKOWSKI 55

quadridimensionnelle : entre deux points-événements À et B de cette ligne, nous décomposons la succession continue d'événements en ‘ intervalles ” ds infiniment petits, dans chacun desquels le mouvement de la portion de matière envisagée peut être considéré comme rectiligne et uniforme (de même qu’en géométrie chaque arc élémentaire peut être confondu avec la corde rectiligne).

D'après ce que nous avons vu au début de ce chapitre, chacun de ces intervalles élémentaires est un invariant (comme en géométrie la longueur des cordes infiniment petites est indépendante du système de coordonnées). La longueur de l'arc de ligne d'univers, qui est la somme des intervalles infiniment petits, c'est-à-dire l'intégrale

B Le [ ds e/ A étendue à tous les couples d'événements infiniment voisins ‘qui se succèdent d'une manière continue le long de la ligne d Univers, a donc une valeur indépendante du système de référence.

Prenons comme système de référence un système lié à la portion de matière considérée : dans ce système, tous les événements concernant cette portion de matière sont fixes - dans l'espace, puisqu'ils occupent la même position par rapport aux axes du système ; donc, puisqu'on peut les amener - en coïncidence dans l'espace, pris deux à deux ils constituent des couples dans le temps. Par suite leur ordre de succession ne peut être inversé : le passé, le présent et l'avenir gardent un ordre immuable pour les événements concernant un même objet ou un même être.

- … LE TEMPS PROPRE (Minkowski), — Sur la ligne d'Uni-

LR

; ë 14 ME vers d'une portion de matière, choisissons deux événements infiniment voisins, séparés par un intervalle d Univers ds (infiniment petit) ; soient d/leur distance spatiale (infiniment

petite) et d{ l'intervalle de temps (infiniment court) qui

s'écoule entre eux, dans un système de référence quel-

conque. Nous avons, d'après la définition même de l'intervalle (éq. 9),

(12) ds = c’df — dl = invariant.

Dans le système de référence lié à la portion de matière, dl est nul ; soit d= l'intervalle de temps dans ce système

ds = ©d:° ou ds —= cd:

et, par intégration entre deux événements À et B quelconques pris sur la ligne d'Univers

(13) arc de ligne d'Univers — l " —= | ‘d

d=: est l'élément de lemps propre de la portion de matière considérée et de tout le système qui lui est lié. Le temps

B propre total | d= écoulé entre deux événements À et B CE

est le temps que mesurera un observateur, c'est le temps

qu’enregistreront les horloges dans ce système. Ce temps

propre est indépendant de tout système de référence, Ainsi une horloge liée à un mobile (dont le mouvement

n'a plus besoin ici d'être soumis à la restriction dela trans-

lation uniforme) mesure la longueur, divisée par c, de l'arc de ligne d'Univers de ce mobile.

Nous avons vu que lorsque deux événements forment un couple dans le temps, la durée qui les sépare est mini-

Lot à De