CHAPITRE IX

LE TEMPS ET LES LONGUEURS DANS UN CHAMP DE GRAVITATION. — Dans un Univers de Minkowski, imaginons un système galiléen S, puis prenons un second système S formé par un disque plan dont le mouvement, par rapport à S, est une rotation autour d'un axe normal au plan du disque, passant par le centre de ce disque, ei fixe dans le système S. Un observateur situé excentriquement sur le disque éprouve l'effet d'une force agissant radialement vers l'extérieur ;: cette force est interprétée par un observateur immobile par rapport au système S comme un effet d'inertie (force centrifuge), mais l'observateur entraîné avec S peut considérer son disque comme immobile et attribuer la force à un certain champ de gravitation. Ce champ possède d'ailleurs une structure fort différente de celle du champ qui s'exerce au voisinage d'une masse attirante, mais en vertu du principe d'équivalence nous l’appelons quand même champ de gravitation ou, si l’on veut, champ de gravitation géométrique.

Supposons que l'observateur de S' prenne deux horloges identiques marquant toujours la même heure tant qu on les laisse au même point; il place l’une au centre du disque et l’autre à une distance r du centre ; ces horloges ne vont pas rester synchrones. Examinons-les, en effet, du

système galiléen S, de façon à appliquer les résultats de la relativité restreinte ; celle qui est au centre est immobile, l’autre est en mouvement: le temps propre de cette der-. mère est donc plus court que le temps du système galiléen, qui est le temps au centre. Si, au bout de quelque temps, on ramène au centre du disque l'horloge qui a séjourné à | la distance r, on constate qu'elle retarde sur celle du centre, Comme à chaque distance au centre correspond un temps propre, iln y a aucune synchronisation possible pour les horloges du système S'; on ne peut pas définir un temps valable pour le disque lout entier, c'est-à-dire mesurable par des horloges immobiles par rapport à ce disque.

La même difficulté se présente pour les coordonnées d'espace. Imaginons qu'en appliquant sur la périphérie du disque une règle très courte prise pour unité de longueur, on marque deux points À, B et que le rayon soit mesuré avec la même règle unité. Pour un observateur placé au centre du disque (immobile et par conséquent appartenant au système galiléen) le rayon du disque n'est pas changé par la rotation, mais la longueur AB qui est parallèle à la vitesse est plus courte que si le disque ne tournait pas (contraction des longueurs): l'observateur est donc conduit à considérer la circonférence, qui contient un nombre déterminé de fois la longueur AB, comme plus courte, et 1l trouve que le rapport de la circonférence au diamètre est inférieur au nombre 7. La géométrie de ce disque nest plus euclidienne.

Cet exemple fait comprendre que, d’une façon générale, dans un champ de gravitation géométrique (dû à un état de mouvement accéléré) on ne peut plus définir les coordonnées habituelles d'espace et de temps. En vertu du principe d'équivalence il en est de même dans un champ

de gravitation permanent (dù au voisinage de matière) c'est-à-dire dans un univers non euchidien. Dans un univers non euchdien, il n'y a plus de coordonnées galiléennes, car la possibilité de choisir de telles coordonnées est caractéristique d'un univers euclidien.

— En présence de cette difficulté, M. Einstein a résolu la ‘Guestion par une admirable extension de la théorie des surfaces de Gauss.

LES SURFACES ET LES COORDONNÉES DE GaAUSS. = Hout au début du chapitre 1 nous avons, pour définir ce “quon entend par système de coordonnées, envisagé une surface plane. Supposons maintenant une surface courbe qui ne soit pas développable sur un plan, par exemple la surface de la terre que pe simplifier nous supposerons rigoureusement sphérique ; si l’on s'interdit d'aller d'un point à l’autre de la ne en quittant celle-ci, c'est-à-dire si lon ne considère que les points situés sur la surface “même, celle-ci constitue, comme le plan, une multiplicité à deux dimensions — deux coordonnées, la longitude et ia latitude définissent la position d'un lieu sur la terre — mais “la géométrie de cette surface n'est plus la géométrie d'Eu- “chde: 1 ny a plus de l'gnes droites sur la sphère, et la “plus courte distance d'un point à un autre est un arc de «crand cercle; on ne peut plus se servir de coordonnées - cartésiennes rectangulaires.

On voit que pour repérer les événements dans l'Univers 3 réel, non euclidien, où il n y a plus de coordonnées rigou-

“reusement galiléennes, nous nous trouvons, avec quatre k ‘dimensions au lieu de deux, dans la même situation que le géomètre qui veut repérer les points sur une surface courbe sans sortir de cette surface.

Gauss a montré qu'il est possible dénoncer les lois de” q P

la géométrie d'une surface courbe quelconque (sphère, ellip-

soïde, etc.) sous une forme indépendante du système de coordonnées. On comprend qu'en ajoutant deux dimen-

: se eR sions on pourra, par une généralisation de cette théorie,

énoncer les lois de l'Univers non euclidien à quatre dimen-

sions.

Gauss est parti de l'idée qu'il doit être possible, par des opérations de géodésie sur la surface, de mettre en évidence la courbure de celle-ci en faisant simplement des

opérations locales d’arpentage, par les procédés habituels.

de la géométrie euclidienne du plan. En effet, en tout

point d'une surface, 1l existe un plan fangent et dans une.

étendue limitée la surface peut être confondue avec son plan tangent: ceci est d'autant plus exact que l'étendue envisagée autour du point est plus petite, et devient rigoureux à la limite, pour une étendue infiniment petite. Traçons sur la surface une famille de courbes arbitraires x1 (fig. 12) ; désignons chacune de ces courbes parun chiffre et figurons les courbes x — |,

Æ,=7 x1—2.… entredeux Z = 2 de ces courbes, on

peut imaginer une X=.$ infinité de courbes

représentant tous les

Eur) \ nombres compris

PR entre les deux nom-

FE Mers bres entiers qui dé-

É signent les deux Fic. 12.

courbes envisagées.

Ces courbes sont seulement assujetties à la condition de ne

pas se couper, de façon qu'il ne passe qu ‘une des courbes x par chaque point ; de la sorte, à chaque point de la surface correspond une coordonnée x; bien déterminée.

— Jraçons de même une seconde famille de courbes x, les courbes x: coupant les courbes x:1. Chaque point de la Surface est maintenant entièrement défini par les valeurs de ses deux coordonnées x1 et x.

Deux points P et P° infiniment voisins ont pour coordonnées respectives x1 et x», xi + dxi, xt dx Les ‘coordonn£es de Gauss reviennent, en somme, à un numérotage, à la coordination de deux nombres, faite de manière que deux points infiniment voisins soient représentés par ‘des nombres infiniment peu différents.

Dans une étendue infiniment petite autour d'un point P, nous confondons la surface avec son plan tangent et les courbes avec Jes lignes droites qu leur sont tangentes (fig. 13); nous sommes ainsi ramenés, en chaque point, à un système de coordonnées recilignes mais obliques ; une formule bien connue de la géométrie eucli- “dienne donne la distance d/ du point de coordonnées x1, x> au point infiniment voisin de coordonnées Rd. + de

dl = gudxi + giedxidx» 1 gaidx dx: ni S>dx;

D Ed + 2gdridrs + godr:

parce que ga — gi.

Si l'on s'est donné les courbes x1 et les courbes x, on. peut, en chaque point P, de coordonnées x: et x», mesurer avec une règle les distances (21) (21) GD" qui séparent

le point P de trois points extrêmement voi-

sins de lui P', P”, P” (fig. 14) et corres-

pondant à des valeurs connues des différences LA 1 SN / > 4 Ÿ pt P de coordonnées (2x1), (2x2), etc... : toutes”

fa ces grandeurs étant exfrémement petites

L nous pouvons pratiquement les considérer

Fic. F4. comme infiniment petites, c'est-à-dire écrire |

(D) — (dl), etc et appliquer, pour les trois distances, la formule (17). Nous avons donc trois. équations permettant de calculer g11, gi, g» qui sont ainsi «

obtenus par des mesures ordinaires d'arpentage. Conformément à la géométrie euclidienne ordinaire,

les g sont bien déterminés en chaque point; ils sont indé-

pendants des points P', P”, P” choisis pour les mesures

d'arpentage. Mais, Las point P à un autre, les g sont

variables : ce sont des fonctions des coordonnées x1 et x (c’est-à-dire des grandeurs qui dépendent des valeurs de x, et x2). C'est seulement dans le cas d’une surface euclidienne qu'on peut trouver des lignes xi et x> telles qu'on ait

(18) dl = dxi + dx; c'est-à-dire PULL Ï, gris 0

en tout point. C'est ainsi que dans le plan, on peut prendre

pour x: et x des droites rectangulaires, c'est-à-dire em-.

ployer des coordonnées cartésiennes rectangulaires |chap., équation (1)|. L'équation (18) est caractéristique d'une surface euclidienne. ù

Dans le cas général, les g étant en chaque point des | fonctions de x: et x», l'arpentage permet de calculer les.

. get de déterminer comment ils varient en fonction des

coordonnées. Gauss a montré que la géométrie d'une surface est entièrement déterminée quand on connaît ces

- fonctions et que les lois de cette géométrie s'expriment

d'une façon indépendante des coordonnées.

Il est évident que la distance d/ de deux points déterminés, infiniment voisins l'un de l’autre, est un invariant, c'est-à-dire a une valeur indépendante du système de coordonnées, puisque cette distance peut être assimilée à un, élément de ligne droite dans le plan tangent. Considérons maintenant deux points P,; et P: et une ligne courbe quelconque tracée sur la surface entre ces points: la longueur de l'arc de courbe entre P, et P2 est (comme nous l’avons dit p. 54) l'intégrale

P2 dl: l'arc de courbe élémentaire dl, assimilé en chaque e/ P1

point de la courbe à un élément de droite dans le plan tangent en ce point, est donné par la formule (17); il a une valeur indépendante des coordonnées choisies : l'intégrale, c'est-a-dire la longueur de l'arc de courbe est, par suite, un invariant pour toute transformation de coordonnées.

Sur toute surface, il existe des lignes de plus courte distance qu'on nomme les géodésiques (sur le plan ce sont les droites, sur la surface d'une sphère ce sont les grands

cercles, etc..). Si l'on exprime mathématiquement qu'une

ligne jouit de la propriété d'être la plus courte entre deux

| quelconques de ses points, c'est-à-dire que l'intégrale | dl

“ (où maintenant l'en ne spécifie plus les deux points P, et

P;) est minimum, on obtient une équation qui est l'équation générale des géodésiques. Dans un changement du sys-

: , 4 … tème de coordonnées, l'équation des géodésiques reste la … même, à condition, bien entendu, que les g aient les nou-

velles valeurs g correspondant aux nouvelles coordonnées x et x. Les propriétés des géodésiques sont exprimées sous une forme indépendante du système de coordonnées; il devait bien en être ainsi car la propriété de longueur minimum qui les caractérise est absolue ; elle est évidemment indépendante du fait qu'il plait au géomètre d'adopter telle ou telle décomposition de la surface en mailles à deux dimensions.

On peut aller plus loin et caractériser l'individuahité 7 la surface en chaque point; 1l existe, en effet, un élément qui s'exprime au moyen des g et de ce qu'on nomme en mathématiques leurs dérivés premières et secondes. Cet élément est. invariant, c'est-à-dire a une valeur numérique indépendante du système de référence employé; c'est la courbure lotale

(19) RÉnis

RiR>

R; et R> étant deux rayons de courbure qu'on appelle les rayons de courbure principaux.

Pour un plan, Riet R;: sont infinis et la courbure totale est nulle en-tout point. Pour un cylindre, l'un des deux rayons de courbure est infini (à cause des génératrices rectilignes) et l’on a encore R —0,.

Si l’on suppose R constant et négatif on a les lois de la géométrie de Lobatchefski.

Si R est constant et positif, on a la géométrie de Rüemann, applicable à la surface d'une sphère. Q

EXTENSION DE LA THÉORIE DE GAUSS. — Dans l'Univers réel, nous ne pouvons plus employer des coordonnées galiléennes; puisque nous ne pouvons plus déf-

ir les coordonnées habituelles d'espace et de temps, de me qu'en géométrie des surfaces courbes, 1l n'y a plus e coordonnées cartésiennes rectangulaires.

Ç En géométrie, on décompose une surface courbe en mailles bidimensionnelles, avec des coordonnées x1, x2 arbitraires. De même l'Univers peut être décomposé en cellules quadridimensionnelles, avec quatre coordonnées itbitraires x1, x>, x:, x. Dans le cas général, il n’y a plus ni longueurs ni temps; x1, X2, X:, X: sont quatre ” coordonnées d Univers ”. La méthode est calquée sur celle de Gauss, avec deux Mébions de plus. Au lieu de deux familles de courbes x; et x, on a quatre familles d' “ espaces ” (non Eichdlièns) tridimensionnels X1X2XS Max, XiX2X4, XX: ; en chaque point d'Univers, ou événement, se coupent quatre espaces.

[| ne faudrait pas croire qu'une pareille coordination nait pas de sens, les coordonnées ne signifiant plus rien au point de vue des longueurs et du temps. Nous avons en “effet insisté sur le fait, qui est la base même de la généralisation du principe de relativité, que les réalités physiques correspondent aux rencontres de lignes d'Univers de porions de matière ou d'énergie. Ces rencontres s'expriment ‘par des valeurs communes des coordonnées, quel que soit J choix de ses coordonnées ; tous les systèmes sont donc LE bons pour exprimer les lois de la nature, et la lescription de l'Univers peut se faire en coordonnées arbitraires, tout comme la géométrie des surfaces ; peu importe ue ces coordonnées ne soient ni des longueurs ni des ps. Le principe de relativité généralisé peut maintenant lénoncer : Tous les systèmes de Gauss ( généralises) sont équivalents pour formuler les lois de la nature. - lient-on cependant à conserver les notions d'espace et

Je + 7. BECQUEREL

‘de temps? on peut le faire et l'on devra le faire dans toutes

les applications physiques. Dans un système galiléen, on

pourrait prendre un corps de référence invariable (inva- «

riable dans un même système) par rapport auquel on repérerait les longueurs, et des horloges synchrones pour mesurer le temps; dans un champ de gravitation, où il ny a plus de corps invariable ni d'horloges synchrones, on eni-

sagera comme corps de référence des corps non rigides

auxquels seront liées des horloges de marche arbitraire (assujetties seulement à la condition que les indications observables d'horloges infiniment voisines diffèrent infiniment peu), ou si l’on veut un système formé d'un réseau arbitraire à trois dimensions, avec des horloges aux nœuds du réseau pour donner l'heure dans chaque cellule. De pareils systèmes de référence, qui non seulement sont en mouvement arbitraire mais changent de forme arbitrairement dans le champ de gravitation sont les ‘” mollusques ” d'Einstein. Le mollusque est un système de Gauss généralisé, mais on conserve les notions d'espace et de temps, chaque point du mollusque étant considéré comme point d'espace, chaque point matériel par rapport à lui étant considéré comme au repos, tant que ce mollusque sert de système de référence. |

La généralisation de la théorie de Gauss peut se résumer dans le tableau suivant :