LA COMPOSITION DES VITESSES

Différencions les équations de Lorentz

= VUE vd): dy = di: CE JL (

d= (dt + +) -

Divisant les trois premières de ces équations par la dernière, nous obtenons

h AE 1 0 +0; J dt 1 + 2x D HR ni. (6-1) La ] + ?2x MES dE ER = Tr dt + V0»

En particulier si, comme nous l'avons supposé dans le

texte, 0 est parallèle à v, on a

(6-2) nn — se

Note 7 (p. 52).

CoNTRACTION DES LONGUEURS ET DILATATION DU TEMPS. Soient x1, x2 et x1, x les abscisses des deux extrémités de la tige dans les systèmes S et S ; la première des

formules de Lorentz D a (x — ot)

- appliquée aux deux points extrémités de la tige, à un même

instant t du système S, donne

x1) MAT Et |A

D'autre part, considérons une horloge du systeme S et deux événements infiniment voisins se produisant sur cette

horloge ; nous avons : invariant ds — c'df* = cd — dx” avec dx — vdi.

D'où (7-2) = à.

Soit maintenant une tige infiniment courte dirigée parallèlement à la vitesse, immobile dans le système S et de longueur dx dans ce système; considérons deux événements infiniment voisins concernant cette tige: d'après (7-1)

et (7-2), l'observateur du système S mesure :

dE AN ee

Z On a donc

(7-3) dxdt = dx'df'.

INVARIANCE DE L'HYPERVOLUME D'UNIVERS. — Avec des tiges de longueurs au repos dx, dy, dz dirigées paral- lèlement aux axes, formons un parallélipipède rectangle, immobile dans S’; soit df un intervalle de temps infiniment court marqué par une horloge au centre de parallélipipède: comme, avec notre choix d’axes, dy — dy et dz—dZ, nous obtenons

(7-4) dxdydzdt — dx dy dz dt

ou encore en prenant comme coordonnée de temps la longueur u — ct

(7-5) dxdydzdu — dx dy dz du.

Note 8 (p. 57).