A, AB

est la généralisation du produit scalaire (11-13). 4 Le carré de la longueur généralisée d'un quadrivecteur -

A“(ou À.) est le scalaire | (FH15) = AA! = gs, AA) a AS

et la condition d'orthogonalité de deux quadrivecteurs

(A., B: ou A*, B*) est

(11-16) : A,B:=0. . ou . A'B,—0: 1 10° DENSITÉ TENSORIELLE. — Le déterminant g des « 2. est toujours < 0; considérons \’ — g ; on démontre que: . dis :

(11-17) V — gdw = invariant (do — dxidx:dx:dxi). | En coordonnées galléennes, gu — go = ga = — |, ? gu= +1, gw—=0(2Æv); V—g=]I] et l'invariant V— gdw — dx.dy.dz.cdt (élément d'hypervolume, voir « note 7). +:

Soit T;;: un tenseur, on appelle densité tensorielle | l'expression n (11-18) Vel

On peut toujours choisir les coordonnées de façon « qu'en tout point-événement Ÿ — g — |, Ce choix simplifie « souvent les calculs. | L

11° SYMBOLES DE CHRISTOFFEL. — Nous ferons usage des : Hab

! 10 1 { k > (11- 19)| ? ? FE ee d Ja 8 }(pasdesommation). 0x,

dx ox

( RPG E u (11-20) ) 7} Frs té (sommation par rapport à l'indice muet +),

Les grandeurs représentées par les symboles sont nulles en coordonnées galiléennes (les g,, sont constants). Ces symboles sont symétriques en : et v. Î[l faut noter que ce ne sont pas des tenseurs.

12° DÉRIVÉE COVARIANTE. — La dérivée d'un scalaire est un quadrivecteur covariant, mais la dérivée d'un quadrivecteur n'est pas un tenseur. Soit un quadrivecteur covariant À,, on démontre que les quantités DA, __ (ur)