PE RAI ER -R
La divergence de Re ue
nulle, et ce tenseur doit être identifié avec T, pour satisfaire la loi de conservation. La loi de gravitation dans la matière devient
RCE RO ARLLES : l ÿ (15-5) R;, — uv TN Su —1[Te 2580
; \ et la densité (au repos) est L (R— R;) au heu de k R} 2 %
2" L'ESPACE FERMÉ. — Cherchons maintenant quel peut être l'aspect ultra-macroscopique ou cosmique de l'Univers, en accord avec la loi (15-5). Prenant comme
unité. de volume un espace suffisamment grand (par ex. :.
g,R est identiquement
nat à ae clé doté Pa, ge e + n. LI
1000 parsecs-cubes), soit : la densité moyenne de la matière, densité que nous supposerons constante. Nous pouvons, dans cet aspect d'ensemble, ne tenir compte que de la distribution générale de la matière, et faire abstraction des irrégularités locales.
Les vitesses relatives des astres étant toujours très petites par rapport à la vitesse de la lumière, nous pouvons envisager un système de référence dans lequel la matière est en moyenne, au repos. L., se réduit sensiblement à
PRET ++ ttpe
Les équations (15-5) s’écrivent :
{ F5 \ R—(i+%) ge —0 (15.6) : si l'on na pas Z—Y—4
R:, — F; is re) Lis —= — Agup.
Prenant la position de l'observateur comme origine des coordonnées et adoptant des coordonnées sphériques, ces équations comportent deux solutions, dans chacune desquelles la coupe à temps constant est un espace à courbure constante positive.
3° L'UNIVERS D'EINSTEIN. — Soit U le rayon de courbure. La solution d'Einstein est :
(157) ds — —U|dy +- sin (40° +- sin” 6d2°)| +- c'df..
avec
t est un temps d Univers absolu. L'espace et le temps sont
séparés.
Le terme d'espace est
dé = U\df + sin” (d0° + sin” 0d2°)|
extension, avec une dimension de plus (coordonnée £) de l'élément de ligne sur la surface d'une sphère ordinaire
(fig. 17).
dû = U"|df? + sin db”
(5 angle azimuthal).
, \ «se k L'espace à courbure constante positive a deux formes
Fic: 17.
possibles, l’espace sphérique de Riemann et l’espace elliptique de Newcomb. Adoptant l'hypothèse de l’espace sphérique, dont le volume total est 27° U, la masse M tofale de la matière mondiale’ serait M—=2rU%, d'où l'on déduit, d'après (15-8)
Le rayon d'Univers serait déterminé par la quantité totale de matière. Comme ce rayon n'est sans doute pas inférieur à 10° cm., ce résultat nécessite l'existence de quantités de matière considérablement supérieures à celles
que nous connaissons.
4 L'UNIVERS DE DE SITTER. — La seconde solution de (15-6) est
(15-10) 18 | ARS dÿ = — U|df" + sin (49° + sin 0d2")| + c* cos ydf..
avec
(15-11) > — Ve U°
Cet Univers est profondément différent de celui d'Einstein. g.;, étant égal à cos” (au lieu de la constante 1) l'espace et le temps restent unis, et 1l y a une courbure du temps.
De plus 2 — 0 montre que la courbure d'ensemble de l'Univers n'est pas conditionnée par la matière mondiale (pas plus que le rayon de la terre ne dépend des accidents du sol). La matière intervient seulement pour produire des perturbations locales que nous négligeons ici, n’envisageant que la forme d'ensemble,
La zone du temps stationnaire. — Pour un point fixe dans l'espace (par rapport à l'observateur dont la position est prise pour origine des coordonnées), on a
dy —=0, d—0, ? — 0
et
(15-12) ds = cos /cdt OU AE
Près de l'observateur 7 — 0 et dt — d:; t est le temps de l'observateur. Mais loin de lui, l'élément de temps propre
ds 17 , est dt —= — alors que l'élément de temps de l'observateur
est toujours df. Dans la zone r — 1 JU tes le temps
est stationnaire pour l'observateur car dt est infiniment grand” par rapport à ds.
Note 16.
GÉNÉRALISATIONS DE WEYL ET D EDDINGTON.
|" THÉORIE DE WEYL. — Dans la théorie d'Einstein, l'électricité n'est pas rattachée à une propriété géométrique de la structure d'Univers, qui est entièrement représentée par les dix potentiels de gravitation g….
M. H. Weyl a uni, dans une même géométrie, le champ de gravitation et le champ électromagnétique.
Le développement progressif de la théorie de la relativité a consisté dans la suppression des axiomes et des restrictions non nécessaires. Or, jusquà présent, 1l subsiste une hypothèse arbitraire : nous avons admis qu'on peut toujours, en des points d'Univers différents, employer la même unité de mesure pour la comparaison des intervalles. À première vue cela paraît évident : en ur point d'Univers À, nous définissons une unité de longueur en choisissant une règle étalon, et cette règle sert aussi pour la mesure optique du temps si nous prenons comme unité naturelle la vitesse de la lumière ; 1l semble donc quen transportant en un autre point B une copie exacte de l'étalon choisi en À, on puisse, en B, mesurer les intervalles élémentaires et faire la comparaison avec les intervalles mesurés en À. Sans doute, nous pouvons opérer de la sorte si deux copies exactes de l’étalon transportées de À en B par des chemins différents sont toujours identiques en B. Or, rien ne prouve à priori, qu'il en soit ainsi, et si la longueur n'est pas intégrable, nous ne pouvons pas obtenir sans ambiguïté en B une longueur que nous puissions
considérer, par définition, comme représentant la même unité quen À.
L'intégrabilité de la longueur (généralisée : voir note 11. n° 13) est la restriction qui subsiste et qu'il faut supprimer.
Le champ de gravitation correspond à la non-intégrabilité de la direction. Soit en effet A* un quadrivecteur : faisons-lui décrire un circuit fermé par ‘ déplacement parallèle ” (note 11, n° 16) c’est-à-dire tel que la dérivée covariante À° soit constamment nulle.
La variation de ce vecteur est
Ar — fe fe {Ad
Posons dS° = — dS°'—= dx,dx;: dS est un tenseur symétrique gauche qui fait correspondre à l'aire élémentaire une direction positive de parcours sur le contour qui la limite, ce D" hé
