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à 25.) ï F ee 0 "Là (162) 3A'— | R:,A‘S
Oo?
| de même A = [ f Ri-AAS”
k La condition nécessaire et sufhisante pour que la varia- “ tion soit nulle est que le tenseur de Riemann-Christoffel soit nul, c'est-à-dire que l'Univers soit euclidien. La non-
intégrabilité de la direction caractérise donc le champ de
gravitation.
De même, la non-intégrabilité de la longueur doit carac-
tériser un champ d'une autre nature. Ne serait-ce pas le champ électromagnétique ?
Puisque nous ne sommes pas certains qu'on puisse défnir une unité valable en tous les points, nous devons définir une unité en chaque point-événement de l'Univers; nous appellerons jauge l'unité d'intervalle choisie en chaque point. Le système de jauges est arbitraire comme le système de coordonnées : il faut, dans le cas le plus général, diviser l'Univers en cellules par un système quelconque de coordonnées et dans chaque cellule infiniment petite adopter une jauge. Les jauges sont seulement soumises, à la condition d'être infiniment peu différentes dans deux cellules infiniment voisines, ce qui est possible car l'ambiguité disparait à la limite pour un déplacement infiniment petit. Lorsque les jauges étaient supposées les mêmes partout, dix mesures d'intervalles ds autour d'un point permettaient de déterminer les dix £:, et de décrire le champ de gravitation ; maintenant |4 mesures vont être nécessaires pour déterminer les g., et 4 ‘ potentiels ” supplémentaires qui paraissent bien correspondre aux composantes du quadrivecteur potentiel électromagnétique. Les 14 potentiels g, et 2: définissent la géométrie du système de coordonnées et du système de jauges, et contiennent en eux la structure de l'Univers.
Faisons décrire à un vecteur AÀ;, par déplacement parallèle, un contour ferm£ infiniment petit, limitant dS" ; d'après (16-1) sa variation est
(163) dA, — = R:,, A.dS" — : R....AtdS,
dAÀ, est orthogonal à A,, parce que, R.:: étant symétrique gauche en et£,ona
(164) A’dA, — a R...A'A"dS" — 0.
La longueur généralisée du vecteur n'a pas changé, seule sa direction a varié. C'est la restriction admise dans la théorie d'Einstein. Supprimant cette restriction, nous devons remplacer R: par un tenseur d'un type plus général *R... Or on peut écrire
| | APR Le (CR. —"R:) sym.gaucheen et, (16-5) :
Pésde— ; CR, + Ross) sym. en 4 et £.
(166) 4A,—L*R...A"as" —1(B..+-F..)AtS".
| NA 2 | | Comme la variation doit être annulée quand on décrit le circuit une seconde fois en sens inverse du premier parcours, fous ces tenseurs doivent être symétriques gauches en ’ et 5.
Soit / la longueur généralisée de À, ; on voit que
(EE dl) = (A, + dA.)(A*: + dA*) = PF + 2A*dA,. COPA 'R:.A'AUdS" — F,..A"AdS".
M. Weyl a adopté une limitation : 1l a supposé que F.. est décomposable en g,:F..; 2° que F,; est le rotation-
nel d'un vecteur. D'après la première condition, (16-7) devient
(168) 241—F.{(3.A"A9)dS" = F,ldS”,
