BECQUEREL

dl est donc proportionnel à / et indépendant de la direction du vecteur.

Les différentes surfaces limitées à un même contour devant conduire à une même valeur de ©A,, l'intégrale de surface doit porter sur un rotationnel, d'où la seconde condition de Weyl.

Soit maintenant une règle extrêmement courte, de longueur généralisée / (note 11). Déplaçons-la de dx, dx, dx:, dx1. F,; étant le rotationnel d'un vecteur, nous pouvons écrire

(16-9) . = sidi oodis + made 2 0

les 24 étant quatre fonctions de point, qui sont les composantes d'un quadrivecteur d'Univers.

Comme les 2, les 2, dépendent d'une propriété intrinsèque de l'espace-temps et du système employé. De même que les #,, ne peuvent pas prendre des valeurs complètement indépendantes (loi de la gravitation), de même les 2, doivent satisfaire une loi.

Intégrons (16-9), nous avons

(1 6-10) log te | 21dxi ne 2dx2 + osdx3 17 dx, la longueur sera indépendante du chemin suivi (intégrable) si le rotationnel des 7, est nul (condition d'intégra-

bilité) (16-11) A | À

Ôx, OX

Faisons l'hypothèse que les 2, représentent le potentiel électromagnétique (à un facteur constant près); l'annulation

du rotationnel exprime, d'après (14-10), que le champ électromagnétique est nul. Si cette condition est réalisée, les g, suffisent pour déterminer la structure de l'Univers. Dans le cas contraire la structure est exprimée par 14 potentiels, les 2, qui décrivent les propriétés gravifiques, les :, qui décrivent les propriétés électromagnétiques.

La loi des 2, est trouvée : c'est la généralisation tensorielle des équations de Maxwell. L'union de cette loi et de celle de la gravitation constitue la loi générale de la structure d'Univers.

Changer de système de jauges, c'est ajouter au second membre de (16-10) une fonction de point arbitraire, ou ajouter au second membre de (16-9) une différentielle totale, Les 2, ne sont donc déterminés qu'à des fonctions z, près, pourvu que ces fonctions soient telles que :;dx, soit une différentielle exacte. Cette indétermination du système de jauges ne modifie en rien le rotationnel de sorte que Les forces électriques et magnétiques sont indépendantes du système de jauges.

Nous avons vu que la quadruple indétermination des coordonnées conduit à quatre identités qui ont pour conséquence la conservation de l'impulsion-énergie. De même, l'indétermination du système de jauges entraîne une loi supplémentaire de conservation : c'est la conservation de l'électricité (note 14, n° 2).

2” GÉNÉRALISATION D'EDDINGTON. — La limitation de Weyl a pour but de donner un caractère absolu à la longueur nulle, de manière que la lumière ait une trajectoire bien définie (intervalle constamment nul). Cependant M. Eddington a réussi à supprimer cette

. dernière restriction. Dans la théorie d'Eddington, la varia-

… tion d'un vecteur par déplacement parallèle dépend non

seulement du chemin suivi, mais de l'orientation du vecteur. pendant son déplacement. L'Univers n'est assujetti qu'à une condition : celle de posséder une structure géométrique ; c'est le moins qu'on puisse supposer, et l'on ne saurait s'élever à un plus haut degré de généralisation.

Théorie géométrique. — Prendre au système de coordonnées signifie choisir 4 familles d'espaces pour diviser l'Univers en cellules; dans chacune de ces familles, chaque espace peut être caractérisé par un nombre, Un déplacement dx, est donc un vecteur absolu, puisqu'il peut s'exprimer par des nombres purs, indépendants de tout système de jauges.

M. Eddington a montré qu'en supprimant toute restriction, et conservant seulement la condition (évidemment nécessaire) que l'Univers ait une structure géométrique, et possède en chaque point un Univers euclidien tangent, la formule (16-2) est remplacée par