AA;= AD + A;D

ou, en désignant par / la distance AA: des deux points, (1) P = (x — x) + (ye — y).

Dans ce système de coordonnées, le carré de la distance de deux points est égal à la somme des carrés des différences de leurs coordonnées.

La géométrie des figures tracées sur notre feuille de papier plane est à deux dimensions, puisque deux coordonnées (deux quantités variables d’un point à un autre) sont nécessaires et suffisantes pour déterminer la position d'un point du plan. Un plan est une ” multiplicité bidimensionnelle ” *,

Passons maintenant à la géométrie des figures tracées, non plus seulement sur un plan, mais dans l’espace ; 1l nous faut introduire une troisième dimension : à la longueur et

à la largeur vientse Z joindre la hauteur.

Prenons dans l’espace un plan de référence P (représenté en perspective sur la figure 3).

Dans ce plan nous pouvons, comme précédemment,

Fic. 3. choisir un point

origine © et deux

axes de coordonnées Ox, Oy. Soit À; un point quelconque de l’espace ; de ce point abaissons une perpen-

1. Il en est de même, d'ailleurs, d'une surface courbe, mais la géométrie des surfaces courbes n’est plus la géométrie d'Euclide. Nous reviendrons plus tard sur cette question.

diculaire AM; sur le plan P; le point A: est entièrement défini par les coordonnées x: et y: de sa projecton M, sur le plan, auxquelles il faut joindre sa distance z—= AM; au plan (considérée comme positive d'un côté du plan et comme négative du côté opposé). Le point A: a donc trois coordonnées x1, y:, z1 (coordonnées cartésiennes rectangulaires) : en d’autres termes, l’espace est une ” multiplicité tridimensionnelle ”

La construction que nous venons de faire revient à la suivante : par un point © de l'espace, choisi comme origine des coordonnées, nous faisons passer trois plans rectangulaires xOy, xOz, yOz qui se coupent suivant les droites rectangulaires Ox, Oy, Oz. Les distances x1, y1, z1, d'un point À; de l'espace aux trois plans yOz, xOz, xOy, choisis une fois pour toutes, sont les coordonnées cartésiennes de ce point.

Par une extension facile de la formule (1), le carré de la distance de deux points A; et A> de l'espace a pour expression, en fonction des coordonnées x1, y1, z1 et x2, yo, z> de ces deux points

(2) F — (2 er, x) 3 (y2 — y} TT: (22 HE z)°.]

Un premier système de coordonnées Oxyz ayant été choisi et tous les points de l’espace ayant été d’abord rapportés à ce système, nous pouvons changer de système en adoptant ensuite un second système O'x y z. Supposons que ce second système soit immobile par rapport au premier. Six quantités sont nécessaires et suffisantes pour défmir la position relative des deux systèmes d’axes : ce sont trois longueurs (les coordonnées de l’origine O’ du second système prises dans le premier système) qui déterminent la » position relative des deux origines O et O, et trois angles

qui définissent l'orientation relative des axes des deux systèmes. En géométrie analytique, on établit les formules qui permettent, connaissant ces six quantités, de passer d'un des systèmes à l’autre, c'est-à-dire d'exprimer les coordonnées nouvelles x’, y ,z d’un point en fonction des coordonnées anciennes x, y, z du même point (et inversement).

Tous les systèmes de coordonnées (en nombre infini) immobiles les uns par rapport aux autres, constituent, à vrai dire, un seul et même système de référence (terme à retenir pour la suite), car on peut les supposer tous liés à un même corps de référence rigide. Par exemple, pour les phénomènes terrestres, 1] est naturel de prendre la terre comme corps de reférence et d'adopter un système quelconque de coordonnées lié à la terre’.