VIX X
mx ' X
La conséquence évidente est qu'un seul et même accroissemcot de la fonction y correspond à chacun des intervalles déterminés pour la variable x par deux quelconques des termes qui se succèdent immédiatement dans la suite indéfinie
Désignons par n cet accroissement et faisons correspondre à la valeur x = 1 la valeur t/ = 0. Si nous rangeons sur deux lignes les valeurs de x et de y, en plaçant les unes au-dessus des autres celles qui se correspondent respectivement, il est visible que nous aurons les deux suites
iH~"' wr* wi~* 1 m m' wi'
~3m — 2/i —n ?i jtn Zn
Concluons que la fonction y est un logarithme et que Ton a, en conséquence,
(2) y = log. X.
Dans le cas particulier où la constante c est égale à l'unité, les logarithmes correspondants prennent le nom de logarithmes népériens K On distingue ces logarithmes en leur affectant pour
* Oii les désigne aussi sous le uom de logarithmes naturels, ou bien encore
caractéristique la lettre l, et en désignaut leur base par la lettre e. De là résulte en général
(3) y = log X = cdx,
et conséquemment
(4) c = log e.
On voit ainsi que la constante c est le logarithme de la base e * dans le système exprimé par la earactérisque log.
Deuxième solution.
1 5. Procédons directement en nous appuyant sur le théorème fondamental exposé n" 6.
Soit la fonction logarithmique
(I) y = \og X.
a étant une constante quelconque, posons
(2) z =z ax,
il vient en substituant
(5) y = log X = log 5: — log a.
De là résulte , en désignant par log'x la fonction dérivée de
de logarithmes hyperboliques , bien que cette dernière dénomination paraisse également applical)le à tous les systèmes.
Nous montrerons plus loin comment on parvient très-simplement à la i^elation générale
e' = 1 -f. a? H- — -t- j— ^ H- etc.,
et, par suite, à la valeur
e=:2-t-|-t-|-f- etc. = 2,7182818288459
(lU)
logxj en appliquant le théorème fondamental du n* 6, et en ayant égard à Féquation (2) :
(4) . . . y ==xlog'x == ilog'is sss: oirlog'jz == ailog'ax.
L'équation (4) donne ^ en général, ,,., »
(5) ttlog'ax = log'jc,
et, pour x= 1,
(6) . . . a log' a = log' 1 = constante = c.
Le nombre a étant quelconque, nous pouvons le remplacer par X et écrire, comme conséquence de Féquation (6),
(7) . log'x = -.
Il suit de là qu'étant donnée la fonction logarithmique
(8) y = log X,
on a, pour expression générale de la différentielle y,
16. La considération des logarithmes conduit très-simplement à la différentielle de la fonction x*" *; soit, en effet,
* Cette considération conduit non moins simplement à la différentielle d*iui produit ou d'un (luotient ; soit , par exemple,
On en déduit
(2) Iz = Ix -^ ly ,
et par suite
De là résulte, (m nmltipltant, membre à membre, la première et la dernière
De là résulte, en prenant les logarithmes népériens des deux membres ^
Uj =i mlx»
et par suite
Il vient donc immédiatement
(2) .V = w^y ~' == in*x'"~\ X,
Si les variables x, y étaient toutes deux négatives, ou que la variable X le fût seule, on pourrait changer leur signe sans altérer en rien Téquation (I). Le résultat obtenu est donc tout à fait général, bien qu'établi dans Thypo thèse où x et 1/ seraient tous deux positifs.
3° Fonctions exponentielles.
