Soit la fonction exponentielle

En prenant les logarithmes népériens des deux membres de l'équation (4), on a

(2) ly =: x.la.

De là résulte, conformément à ce qui précède,

(5) — == xla.

de ces trois équations ,

z = yx -¥• xy.

On voit ainsi comment il suffit de recourir au théorème fondamental du u» 6, pour en déduire, en quelques lignes, toutes les différentielles obtenues successivement dans ce qui précède.

(lie)

11 vient donc ^ en général,

(4) y = yxla = a'.xltty

et, pour le cas particulier où la base a serait égale au nombre e, base du système des logarithmes népériens :

(5) y = if.X \

i8. Les résultats obtenus pour les différentielles des logarithmes et des exponentielles conduisent, directement et par voie de réciprocité , aux déductions suivantes :

P Étant donnée la relation

où c est une constante, il suffît d'observer que l'expression c - est la différentielle de la fonction c /x, pour en conclure d'une manière générale :

Ay = ca/x.

* La fouctiou e* élaut supposée développable eu série couvergeute , on (leul écrire

e* = 1 -h \iX -♦- \^'^ -*• ^'^ •+- etc.

De là résulte , en différenciant et supprimant le facteur x ,

e* = A, -♦- âAyT -♦- SAaJ?* -♦- AX^a;^ -♦- elc. Les deux valeurs, ainsi trouvées pour e*, donnent Tidentilé 1 + A,a; -♦- AyT* -f- AgX^ + elc. = A, + '^A^ -♦- SA^r* + ^\^J^ •+■ etc. On déduit de là

A, = 1,A.= --, A. = j^, A.=:— -etc..

et par suite

(il7) 2^ Étant donnée la relation

y = ca*,x,

où c et a sont des constantes^ 11 suffit d'observer que le produit cax.x est la différentielle de la fonction ^ a* pour en conclure, comme tout h l'heure ,

4" Fonctions circtUaireSy directes et inverses.

i9. Les fonctions élémentaires qui nous restent à considérer sont les fonctions circulaires directes et inverses. Commençons par les fonctions directes, et soit, d^abord,

y=sm. X.

Sur la circonférence dun cercle ayant Tunité pour rayon , et son

centre en o, prenons lare am=x» Menons les rayons oa, ont. Par le point m abaissons sur oa la perpendiculaire mp = sin. Xj et tirons la tangente mt.

L'arc X engendré par le point m^ étant* supposé croissant, prenons mt pour représenter, en direction , sens et grandeur, la vitesse totale x qui anime le point m au sortir de sa position actuelle.

Si du point t nous abaissons sur le prolongement de pm la perpendiculaire ^6, mb sera la composante de la vitesse x dirigée suivant ce prolongement. Or, cette composante n'est autre chose que la vitesse y : il vient donc

et, comme on a déjà

ij = mb,

X = mty

il en résulte immédiatement

mb mt