Soit une fonction quelconque

De là résulte, en gênerai,

La fonction f (x) est complètement déterminée par cela seul qu'elle exprime , pour une fonction donnée , y = /* (x) , le rapport des vitesses correspondantes et simultanées y, x. Elle prend, par

rapport h la fonction dont elle dérive ainsi, le nom de fonction dérivée. On rappelle son origine et en même temps on la distingue delà fonction primitive, en lui attribuant la même caractéristique affectée d'un accent.

Cela posé, soit y une fonction de x déterminée par les équations simultanées

y = F(tO, u = ^(x).

De la résulte

et il s'agit d'établir la relation existant entre les vitesses simultanées y, X. On a directement,

y =s F'(w) tt, û = /(x). X, et, par suite,

Ce résultat peut s'exprimer généralement comme il suit :

La différentielle d'une fonction de fonction s'obtient en prenant la dérivée de la fonction principale par rapport à la fonction secondaire considérée comme simple variable , et en multipliant cette dérivée par la différentielle de la fonction secondaire.

La règle que nous venons de formuler s'étend d'elle-même au cas où la fonction dite secondaire serait une fonction de fonction, et, ainsi de suite indéfiniment.

Différenliation des fonctions composées *.

NB. — Au lieu de procéder comme il suit , il est plus simple de passer les !!«• 27, 28, et d'intercaler, à leur place, le n» 38.

27. Soit z une fonction composée ou complexe, dépendant à la < Si Ton veut abréger et s'en tenir oxcliisiveraont aux ressources offertes

fois de deux variables x, y, et représentée par

On demande de déterminer la différentielle z pour let^s général où les deux grandeurs x, y varient simultanément.

Désignons par A la surface que l'équation (1) détermine par rapport à trois axes coordonnés OX , OY, OZ.

Soit,

C une ligne tracée sur la surface A et prise pour génératrice de cette surface;

m un point mobile assujetti à glisser sur la ligne C pendant la génération de la surface A ;

«/ la vitesse attribuée au point m sur la ligne C.

Dans le déplacement continu de la ligne C, deux cas sont possibles, selon que cette ligne change de position sans changer de forme, ou qu*elle change en même temps de forme et de position.

Supposons d'abord la ligne C de forme invariable.

En ce cas, on peut toujours et, à chaque instant, considérer le mouvement de la ligne G comme se cx)mposant de deux mouvements simultanés et distincts , Tun de rotation autour du point m , Tautre de translation K Soit t; la vitesse actuelle du point m sur

par la géométrie plane, on peut, avec avantage, remplacer le n* 37 par le n«38.

^ Soit M le i)oint de la ligne C qui coïncide avec le point m à tinsiani que ron considère , et Di la louchanie en ce point. Représentons-nous les rajons vecteurs allant du point fc aux autres points de la ligne C. Lorsque la ligne G change de position sans changer de forme, ces rayons forment, avec la ligne G et la droite Di , un système invariable. Lorsque la ligne C change de forme ea même temps que de position, on peut dire de la droite D ce que nous avons dit plus haut de la ligne C, à savoir, que la droite Di est animée de deux moavements simultanés, Tun de rotation autour du point ju, Tautre de translatioo. S'agit-il ensuite de la ligne C? Pour tenir compte à la fois des deux changements qu'elle subit à partir de f instant considéré , il suffit d'attribuer à cbarun dts nyons vecteurs allant du i^oint ^x aux autres )N)inls de la ligne C,

la surface A. Celte vitesse ne peut ëvideiDineiit dépendre en aucune façon de la rotation de la ligne G autour du point m. Il s'ensuit donc qu'elle résulte exclusivement de la translation mentionnée ci-dessus et du glissement du point m sur la ligne G.

Supposons, en second lieu, que la ligne G change de forme en même temps qu'elle change de position.

D étant la directrice du point in sur la ligne G , ii suffit de substituer à la ligne G la droite D pour que les mêmes déductions soient littéralement applicables et subsistent ainsi généralement.

Désignons par /u, le point de la ligne G qui coïncide avec le point m à l'instant que l'on considère. Les composantes de la vitesse V sont dirigées respectivement, Tune suivant la tangente à la trajectoire du point fz, l'autre suivant la tangente à la ligne G. Soit P le plan déterminé par ces deux tangentes, et T la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse v. Il est visible que la droite T est nécessairement située dans le plan P. On voit d'ailleurs que, suivant la valeur attribuée à la vitesse u du point m sur la ligne G, la droite T peut prendre dans le plan P toutes les directions imaginables. De là résulte évidemment la conclusion suivante :

Les tangentes d toutes les lignes tracées sur la surface A et pas-

1« rétat de mouvement de la droite D| ; 2* un certain glissement sur lui-même * ; 3<> une rotation particufière autour du point m.

Gela posé, il est visible que la vitesse du point m, au sortir du lieu Mj n'est modifiée ni en grandeur ni en direction par le changement de forme de la ligne C. Cette vitesse est la même que si , à partir de Vinstant considéré , la ligne G persistait dans la forme qu'elle affecte à ce même instant. Elle est la même que si le point m sortait du lieu (j- en glissant sur la droite Di avec le d^ré de rapidité qu'on lui attribue sur la ligne G. Ces simples remarques permettent de considérer le cas oii la ligne G change en même temps de forme et de position, comme immédiatement réductible à celui où cette Hgne change de position sans changer de forme.

" Ce glissement correspond, pour chaque rayon vecteur, au changement de grandeur qu'il peut avoir à subir, comme conséquence du changement de forme de la ligne C. On ne perdra pas de vue que l'état de mouvement de la droite Di se compose d'uoe rotation autour du point y. et d'une translation qui n'est autre que la vitesse actuelte de ce point rtndue cotnmune à tous les autres.

sanl par le point m sont situées y en général , dans un seul et même plan ^

Sans rien changer à ce qui précède , soient Xy y, z les coordonnées du point m. Les composantes de la vitesse t; parallèles aux axes OX, OY, OZ, sont respectivement x, y, i. Considérons les deux sections s y s' faites en m parallèlement aux plans des zx et des zy.Df D' étant les droites qui touchent en m les sections s , s', nous savons que le plan de ces droites contient la direction de la vitesse v, et qu*en conséquence, cette vitesse est décomposable en deux autres a, a' respectivement dirigées, Tune suivant la droite D, Tautre suivant la droite D'. Si nous désignons par i^ la valeur déduite de Téquation (i) en opérant sur z dans Fhypothèse y = constante, il est visible que la vitesse a se décompose en deux autres, Tune x, Tautre z,. Si nous désignons de même par i, la valeur déduite de l'équation (1) en opérant sur z dans l'hypothèse X = constante , il est visible que la vitesse a' se décompose en deux autres Tune y, Fautre iy. Concluons que la composante de la vitesse v parallèle à oz peut être exprimée indifféremment soit par Zy soit par la somme algébrique des deux vitesses simultanées z^ et iy. De là résulte immédiatement

(â). . . . z = z,-i- Zy = xfJ(x,y)^yf; (x,y)\

L'équation (i), impliquant comme conséquence Téqaation (2), il en résulte, pour les fonctions composées ou complexes, une règle

^ La (lémoustralion suppose qu'il y a continuité autour du point /ut. Elle supiM>se f en outre , que , dans la génération de la surface A par la ligne C, le lK)iut u- est animé d'une certaine vitesse, différente de zéro et noa dirigée suivant la génératrice. On voit aisément que ces conditions subsistent en général , el qu'elles ne peuvent cesser d'être remplies qu'en certains points siogiiliefs de la sui'face A.

' Dans les expressions de la forme

5«, f*{J!,y), iy, /"/(J-, y),

rindice inférieur exprime celle des variables à laquelle l'opération effectuée se i'ai»i)orle, les autres variables étant considérées comme constanles.

générale qui se combine avec les précédentes et comprend ainsi tous les cas possibles d'application. Cette règle peut s'énoncer comme il suit :

La différentielle d'une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu'on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables , et en opérant successivement pour chaque élément distinct ^ comme s'il était seul variable, tandis que tous les autres sont supposés constants *.

* Le procédé fourui par la méthode des limites conduit directement et trèssimplement à ce résultat.

Observons d'abord que la limite du produit de plusieurs facteurs est ^ale au produit des limites respectives de ces mêmes facteurs.

Gela posé , soit la relation générale

Par hypothèse les grandeurs x, y varient en même temps et avec couti* nuitéu De là résulte entre ces grandeurs une relation qui peut être déterminée ou arbitraire , mais qui , dans tous les cas, peut s'exprimer de la manière suivante :

L'équation (1) devient, eu égard à Téquation (2),

et Ton en déduit, conformément à la formule (2) du n» 8,

-7 = lim -- — = lim •'

X Aâ/ Ao?

De là résulte, en premier lieu,

i ^. f{x^hx,y^^y)-f{x+^x,y) &y „ /l(a?-4-Aa?,y)— A^>y)

— = lun h lim 1

X AS/ Aâ? àx,

en second lieu,

et, par suite,

(4) ...... . z = y fi,'{a)yy) -^ X, fj{x,y).

Veut -on déduire de Téquation (4) la propriété caractéristique du plan

Montrons par un exemple comment la règle qui vient d'éUre formulée se combine avec celle du n® 26 , et ramène ainsi toutes les opérations du calcul différentiel à la diffcrentiation des fonctions élémentaires.

Soit

y = x* sin /j,

l étant la caractéristique du système des logarithmes ncpérieos. Si nous posons

y=t sf sin fi,

tangent t II suffit de se reporter à la surface représentée par rèqualkn (I) dans un système quelconque d^axes coordonnés, et de considérer, pour on même point quelconque m de cette surface , les trois tangentes situées resl>ectivement, la première dans un plan parallèle aux zx^ la deuxième dans un plan parallèle aux sy, la troisième dans un plan quelconque Intermédiaire.

Transi)ortons l'origine au point m et, sur la dernière des trois tangentes mentionnées tout à Theure, prenons un point n, dont les coordonnées soient respectivement z = :3, y = y, x=iX,X Tabscisse j^ correspond pour la première tangente une ordonnée Zx déterminée par la relation

i, = X fx (X, y);

i\ l'abscisse y correspond de même pour la deuxième tangente une ordoiniée hy déterminée par la relation 9

Ola \H)séy il est aisé de voir que la relation générale

■*» — -vx ^^ **y

résultant de Téquation (4), implique comme conséquence Immédiate la déduction suivante ;

Ijea trois tangentes considérées sont dans un seul et même pladi. On voit d'ailleurs qu'eu disiwsant du rapport ? , on peut changer comme on veut la position du plan intermédiaire dans lequel est située la troisième tangente. De là donc résulte aussi cet énoncé général :

Le plan langent en un point dune surface contient, en général, les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par c^ point.

( ^il> )

nous eu déduirous d'une manière générale

y = izaf*"* sin u -+- z.x^'Jx, sin ii. 4- tix' cos w. De là résulte^ en remplaçant z par x^ et u par /a;;

y = a: (ac* sin /x -f- ac* Ix. sin /x -«- a;*"* cos Ix).