Soit une surface Â; un point de cette surface; OX^ OY

Fia. !i9. ^^ ' ^^^^^ droites menées par le point et

non situées dans un môme plan ; OL une droite quelconque tracée par le point dans le plan XOY.

Prenons les droites OX, OY, OZ pour ^ axes coordonnés, et, considérant les sec* tions faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-les respective- Ij ment la !'• par Z,, la â"* par Zy, la dernière par Z/.

Soient m,, m^, nii trois points qui partent en même temps du point et qui décrivent simultanément, le 1*' la section Z«, le â"* la section Z^, le 3"»* la section Z^.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque^ supposons-le réglé de manière que les points m„ «i/, m^ aient toujours même projection, les deux premiers sur Taxe des x, les deux derniers sur l'axe des y.

Concevons trois droites mobiles T„ T^, T^ assujetties à rester parallèles au plan ZOX et à toucher la surface A, la droite T^ en m^., la droite Ty en m^^ la droite T/ en m^.

X y y étant les cooidonnées du point m^ dans le plan XOY, et A Tangle que la droite Tj fait avec Taxe des x, on a généralement

De là résulte, conformément à l'équation (S) du numéro qui pré' cède :

Appliquée au point O , l'équation (3) exprime la propriété suivante :

A l'origine commune du déplacement êimuUané ie9 trois points m^, niy, nii, /a tilesse angulaire de la tangente T| est la somme des vitesses angulaires des tangentes T, et T^

Ré:mmé des^résultats précédents.

29. Les notions qui préeëdent suffisent pour que, dans le eas d'une fonction quelconque simple ou composée, '

on puisse déterminer la relation correspondante.

a^Vi -f- tjfV^ -H iVl -I- etc. = 0.

Elles suffisent également pour quc^ étant donnée la relation

(0 .y =» flc f{x),

on puisse en déduire la relation réciproque

m ^v = àf{x).

Soit V la vitesse actuelle du point mi sur sa trajectoire ;

x, y, les composantes de la vitesse v dans le plan XOY;

fjL le point de la surface A qui coïncide avec le point itij, k Tinstant que Ton considère;

Sx , Sy les sections que déterminent, dans la surface A , deux plans menés par le point ju , Tun parallèlement aux zx , Tautre parallèlement aux zy.

Cela posé, voici quelle est la signification précise et générale des symboles àx9 ày.

àx est la valeur affectée par & dans ^hypothèse oh le point m^ sortirait du lieu M suivant la section Sx , la vitesse x n'étant pas changée.

ây est la valeur affectée par à dans ^hypothèse où le point mt sortirait du lieu /u suivant la section S^, la vitesse if n'étant pas changée.

toutes les fois que l'inspection de la dérivée ^ (x) permet de reconnaitre la fonction primitive correspondante f (x).

Pour compléter cette dernière solution, nous allons montrer comment on peut, dans tous les cas, déduire de Féquation (i), sinon Féquation (â), du moins une représentation géométrique équivalente.

ç) (x) étant, par hypothèse, une fonction de la variable x entièrement connue, imaginons qu'elle représente l'ordonnée z d'une courbe rapportée à des axes coordonnés rectangulaires et ayant pour équation

Fig. 30,

Soit CE cette courbe; si Ton désigne par a Taire comprise entre

la courbe BE, l'axe des x et deux ordonnées, l'une fixe, l'autre mobile, on a généralement ^

cr = xz = x,f(x).

De là résulte en vertu de l'équa- X tion(i)

' Soit oam un triangle limité par deux droites fixes oa, àm et par une droite cm, mobile autour* du point o. (Voir la fig. 31, page suivante.)

U élanl la surface du triangle oam, h la perpendiculaire abaissée du poijit o sur la base am, et x cette base, on a généralement.

De là résulte, conformément à la règle 3 du numéro 5,

Représentons par mrn^ la vitesse à du point m et achevons le triangle tnm'm'^ dont les côtés mm", m'm'* sont respectivement dirigés, Tun perpen-

( ^32 ) et, conséquciuiueut ,

ày = àff.

Mais d'un autre côte , si les valeurs extrêmes attribuées à la variable sont X, x' et qu'on prenne op=x, op'=^x', on a, en désignant par mp, mp' les ordonnées correspondantes,

A<y = pmmp

Il vient donc au^si comme équivalent géométrique de Féqua-

tion (2)

Ay'= aire {pnim'p').

Fig. 31,

dicidairemeut, l'autre parallèlement à la droite om. Si noas tirons les droites om\ om'\ il est visible que les triangles omm\ omm'' sont équivalents, puisqu'ils ont même base om , et leurs sommets m', m" situés sur une même ^ droite parallèle à cette base. De là résulte en premier lieu la cooséqueooe suivante :

La vitesse U aycuit pour expression numérique le produit ^ , on peut la représenter indifféremment par taire de run ou Vautre des triangles omm', omm".

Prenons pour expression de la vitesse U Taire du triangle omm" et observons que, dans ce triangle, la base mm" est la vitesse de circulation communiquée au point m par la rotation de la droite om autour du point o.

Soit obn un second triangle limité comme le premier, avec cette seule différence (fue la droite am est remplacée par la droite bn : nn" étant la vitesse de cii*culaUon communiquée au point n par la rotation de la draiie om autour du point o, il est clair que la vitesse d'accroissement de Taire obn est représentée par le triangle onn"^ en même temps et de la même manière que la vitesse Ù est représentée par Taire omm".

Concluons qu'en désignant par <f Taire du quadrilatère amnb, oo a, pour expression de la vitesse (t, Taire du trapèze mm"n"n.

Ce résultat est indépendant des directions suivies par les points m et n à Torigine de leur déplacement simulUné. Il s'étend de lui-même au cas o<i les droites am, bn seraient remplacées \Kkv des courbes queloomfues situées