Soit

une fonction quelconque de la variable x. Nous savons qu'en dedans un même plan et passant, Tune par le point m, Tautre par le point n. Il est dooe tout à fait général , et Ton peut, en conséquence , le formuler comme il suit :

La différentielle de Faire engendrée par un segment de droite mobile dans un plan est égale au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son point milieu.

Cet énoncé général comprend le cas particulier où la droite mobile se meut

I»ar translation. On peut d'ailleurs prendre ce cas à part et le traiter directement.

S<Ht z mie ordonnée mobile dans un plan et limitée par deux droites fixes

ab, cd. L'ordonnée z, représentée par mp, se ^' ' meut en restant perpendiculaire à la droite cd,

t Elle engendre ainsi Taire trapézoïdale ampc. Soit

l '"L^'f^ ' ^ ^^^^ ^^^ ^^ '* '"*® droite menée par le point m

parallèlement à cd.

L'ordonnée z croit ou décroît selon qu'elle se

^ meut de gauche à droite, ou de droite à gauche

*au sortir du lieu quelconque mp. Dans le premier cas, la vitesse â ne peut être inférieure à x.z : elle est donc égale ou supérieure à ce produit Supposons la représentée par {z-^ij) i : il en résulte évidemment que, dans le second cas, elle est exprimée en grandeur par {z — tj)é. Gela posé, imaginons qu'après avoir foit croître l'aire (t d'une quantité quelconque a «r, on la fasse décroître de cette même quantité, l'ordcnmée zethi vitesse è repassant en sens inverse par les mêmes valeurs. Vhypothèse admise implique cette conséquence absurde que les longueurs engendrées simultanément par deux points, respectivement animés, l'un d'une vitesse plus grande (z-^yi) x, l'autre d'une vitesse moins grande {z — ^) x, sont égales entre elles. Concluons qu'on a nécessairement m = o, et par suite,

0" =5 zx.

L'extension que cette formule comporle est d'ailleurs évidente.

signant par y, x les diiTërentiellcs correspondantes, on a gënëreleraent

Considérées en elles-mêmes, les grandeurs y, x ne diffèrent en rien des grandeurs ordinaires susceptibles d*étre soumises au calcul. On peut donc leur appliquer toutes les déductions qui précèdent et opérer sur elles, par voie de différëntiation, comme on la fait d'abord sur les grandeurs données y et x.

Les différentielles des grandeurs y, x, sont dites différentielleê du second ordre, par rapport aux grandeurs primitives y, x; on les distingue par un redoublement du point mis en surcharge on de la lettre d. Il vient ainsi

dy = y = d.dy, rfx = x = d.dx,

cl plus simplement

dy = y s= d*y, dx «= x «=& rf*x.

On déduit d'ailleurs de Téquation (2)

(^) y = xf(x) ■♦. x*./-».

f" (x) étant la dérivée de /"' (x) ou, ce qui revient au même, k dérivée seconde de /"(x).

Le même ordre d'idées, constamment poursuivi, conduit des difTércntielles du second ordre h celles du troisième^ de celles-cl aux différentielles du quatrième ordre, et ainsi de suite indéfini* ment. Les signes adoptés pour représenter ces différentielles successives résultent d'ailleurs de l'application toigours répétée des conventions premières. Il vient ainsi

dy = y t=s d.d^ == (Py, dx s=5 x es rf.rPx s« rf*x,

et généralement,

d"y = dd"'Uj, (/"x =e rf.c/^x.

( 15B ) On a en même temps, comme conséquence de réquation (5) ,

(4) . . . y = X f\x) + Zxx f'\x) + X» f"'(x) ,

et ainsi de suite indéfiniment.

51. Lorsque la variable x est indépendante et qu'on en dispose en la faisant croître ou décroître d'une manière uniforme^ on a

X = cons", et par suite

Il vient alors très-simplement

dx". f"{x).

et en général

= àr.f"(x)

De là résulte

nx) =

d-y dx"

le rapport des deux grandeurs d^y et dx^ étant précisément égal à la dérivée de Tordre n, /^(x).

Lorsque la variable x n'est pas uniformément croissante ou décroissante, l'équation (6) cesse d'être vraie pour toute valeur de n supérieure au nombre 1. Néanmoins on est convenu de considérer comme équivalentes les deux expressions f\x) et (^). En ce cas, il ne faut plus voir dans la dernière de ces expressions le quotient des deux grandeurs d*y et dx", mais seulement un symbole où ces deux grandeurs figurent à la fois , sans pouvoir se séparer l'une de l'autre, et qui, par suite de la convention adoptée, ne représente pas autre chose que la dérivée /'**(x).

Dti changement de la variable indépendante.

52. On suppose une formule établie dans Thypothèse où la variable Xj considérée comme indépendante, a été assujettie i croître ou à décroître uniformément. Les dérivées successives f\x)y /""(x), f'"{x) etc., entrant comme parties constituantes de la formule dont il s'agit, le problème à résoudre consiste à déterminer les expressions qu'il faut mettre à la place de ces dérivées pour transformer cette même formule et la rendre applicable au cas général où la variable x croît ou décroît d'une manière quelconque.

• Partons de Téquation

qui subsiste dans tous les cas. On en déduit par la difTérentîation

et de là résulte iniinédiateinenl

- . xy — yi dxd*y—dyd'x (2). . . /• (X) = —^— : — .

On a de même

^ ^ ' i x' dx dx* '

et ainsi de suite indéfiniment.