DE PLUSIEURS VARIABLES

NB. •— Au lieu de procéder comme il suit , il esl beaucoup plus simple de passer les n®» 33 , 34 , 35 et d'intercaler à leur place le n® 39.

i« Théorème des tangentes réciproques '.

35. Soit une surface A, un point de cette surface, P le plan tangent en ce points OZ la normale, OX, OY, OL trois droites menées par le point et situées dans le plan P. (Voir fig. 29, n^'âa, pagei29.)

Prenons les droites OX, OY, OZ pour axes coordonnés, et considérant les sections faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-les respectivement la i'"" par N^, la 2"*" par Ny, la 3°*« par N|.

Soient m^, m^, nti trois points qui partent en même temps du point et qui décrivent simultanément, le i""' la section N«, le 2"* la section Ny, le 3"** la section N/.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque, supposons-le réglé d'après les conditions suivantes :

i® Les vitesses des points m^, m^ ont même composante i suivant Taxe des x.

2^ Les vitesses des points m,, m^ ont même composante y suivant Taxe des y.

Concevons trois droites mobiles T. ,* Ty , T| assujetties à rester

^ On peut supprimer les numéros 33, 34 et 35, eu les remplaçant tous trois par le n» 39. La marche devient ainsi plus rapide et plus simple. Elle offre, en outre, Tavantage de ne point exiger d'autres ressources que celles qui s'empruntent à la géométrie plane.

parallèles au plan ZOX, et à toucher la surface A» la droite T. en nij,, la droite Ty en m^, la droite T| en nii.

(X étant l'angle qu'une droite quelconque T, tangente à la surface A et parallèle au plan ZOX, fait avec Taxe des x^ on a généralement

De là résulte, conformément aux déductions des n^ S7 et 28, (2) à = à^ -^ à^ *.

Appliquée au point 0, l'équation (S) exprime qu'à Torigine commune du déplacement simultané des trois points m^y m^, nii, la vitesse angulaire de la tangente Tj est égale à la somme des vitesses angulaires des tangentes T^ et T^. Il s*ensuit que la séparation des points m^, rrii s'effectue, au sortir du lieu 0, comme s'ils se mouvaient simultanément avec la vitesse commune x sur deux droites distinctes, et qu'en même temps ces deux droites, d'abord confondues en OX, s'écartassent l'une de l'autre avec la vitesse y et tournassent parallèlement au plan ZOX, l'une autour du point Mj, avec la vitesse «,9 Tautre autour du point nii avec la vitesse *, -♦- &y.

Désignons par U une droite assujettie à toucher en m, la surface A et à rester parallèle au plan ZOY.

De même qu'en se séparant du point le point m^ détennine la direction première de la tangente U, de même en a'éeartant l'un de Tautre au sortir du lieu 0, les points m,, nti déterminent la vitesse angulaire de celte même tangente, à Torigine de son déplacement. Il est évident que cette vitesse angulaire ne peut dépendre en aucune façon de la rotation à^ commune aux deux ' droites T, et T,. Concluons qu'elle résulte exclusivement du mou-

* Cette équation peut s'établir directement à pHori par un procédé analogue à celui dont nous avons foit usage pour démontrer la propriété fondamentale du plan tangent. II est plus simple de la déduire, comme on Ta Ilit an n" 28, du théorème général fondé sur celte même propriété.

vemetit relatif de ees deux droites y e*est^dire de la trândation y de la droite Tt et de la rotation à^ avec laquelle la droite T| s'écarte angulairement de la droite T^^.

Cela posé, coQsidérons une droite dirigée d'abord suivant OX,

et sortant de cette position par un double mouvement de translation et de rotaz

tion, la translation s'effectuant suivant

Taxe des y avec la vitesse y et la rotation autour du point m^ avec la vitesse à^, * Soit n un point de cette droite pris à la distance x du point et C Tangle anp que fait avec Taxe des y la direction suivie par le point n à l'origine du déplacement de la droite mobile. Les composantes de la vitesse du point n étant

rectangulaires et représentées respectivement l'une par an = y,

l'autre par ap =^ x à^, on a évidemment

(3) tang C = ar. -r-

Soit D la droite déterminée par cette direction. Lorsque le point n est considéré comme se déplaçant sur la droite OX par rapport au point 0, ou , ce qui revient au méme^ lorsque le point est considéré comme se déplaçant sur la droite OX par rapport au point n y la droite D tourne avec une vitesse angulaire 4 qu'il est facile de déterminer au moyen de l'équation (5). Il suffit pour cela d'opérer sur cette équation en y considérant les deux vitesses y et ây comme constantes et les grandeurs x et C comme variables. De là résulte, conformément à la règle (2) du n"" 2i ,

(4) C, =^ i, cos«C*.

* On peut parvenir à celte équation , soit comme ftous IMndiquons ici, soit directement et pap voie purement géométrique,