ABC

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Tirons une droite DE, terminée en D, indéfinie vers E. Prenons DF=A,FG=B, GH=C [pr. 3]. Décrivons, du centre F, avec le rayon FD, le cercle DKL, et du centre G, avec le rayon GH, le cercle KLH, qui coupe le cercle DRL en K. Joignons KF, KG; KFG sera le triangle demandé.

En effet, FD = FK [def. i5] ; or FD = A : donc aussi KF = A [ax.i]. De même, puisque GK=GHetque GH=C, on aGK=C. On a d'ailleurs aussi FG =B. Donc le triangle FGK a ses trois côtés égaux respectivement aux lignes données A, B, C («).

En un point A d'une droite donnée AB (fig. 23), construireun angle rectiligne égal à un angle rectiligne donné DCE. Sur CD et sur CE prenons arbitrairement deux points D, E,

(a) Euclide a oublié de justifier la resiriction contenue dans Ténoncé, que la somme de deux quelconques des côtés est plus grande que le troisième. Or il résulte de cette hypothèse que DG> HG, et que HG > la différence GI entre DF et GF. Donc, d'une part, le point D est exlérieur au cercle HRL, et d'autre part, le point I est intérieur au même cercle. Donc le cetcie DKL, ayant des points extérieurs et des points intérieurs au cercle HKL, coupera nécessairement ce dernier cercle en deux points.

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et joignons DE. Construisons ensuite le triangle AF6, tel que Venait

ie. 23.

AF=CD, AG=CE, FG = DE[pr.22].

On aura [pr. 8] FAG=DCE.

5t deux triangles ABC, DEF (fig. 24 et 25) ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB=DE^ AC=DF^ et Vangle compris

par ces côtés inégal, BAC >• EDF, le côté BC, opposé au plus grand at^fle, est plus grand que le côté EF^ opposé au plus petit angle.

Construisons sur DE, au point D, Tangle EDG= BAC [pr. 23]; faisons DG = AC = DF [pr. 3]; [prolongeons DF vers H, DG vers I (fig. 25j], et joignons EG, FG («).

Puisqu^on a ABsDE, ACsDG, BAG:=EDG, il en résulte [pr. 4] BC=:EG.

(a) Nous avous réuni dans la même démonstration les deux cas que peut présenter la figure, et dont ùii seul (fig. 34) avait été considéré par Èuclide. R, Simson remarque que Ton pourrait toujours ramener la figure à ce premier cas, en prenant ponr DE le plus petit des deux côtés, DE, DP ; car alors lés deux points G, F, étant sur un cercle décrit du centre D, et à Tintérieur duquel se trouve le point E, il est visible que E sera diâ même côté que D par rapport à la base FG. — Nous n'avons pas considéré le cas où EG passe par le point F, le théorème étant alors évident.

DES ÂLÂMINTS D'BUCLIBE. 31

Or on a DG=:DF, d'où [pr. 5] HFG=IGF,

Par conséquent, EFG>FGI, et comme FGI>FG£^ on a, à

plus forte raison, EFG > FGE.

Donc [pr. 19] EG ou BC > EF.

Si deux triangles ABC, DEF (fig. 26) ont deux côtés égaux chacun à chacun, AB = DE^ AC=:DF^ et le troisiime côté ini-

Fîg. M.

gai, BC > EF^ Vangle B\C, apposé au plus grand côté, est plus grand que Vangle EDV, opposé au plus petit côté.

Car, si l'on n'avait pas BAC > EDF, il faudrait que l'on eût ou BAC=EDF, ou BAC<EDF.

Dans le premier cas^ il en résulterait [pr.4l BC=EF; 4aûs le second [pr. 24], BC < EF. Ces deux conséquetiees étant contraires à l'hypothèse BC>EF, on a donc uécessairamant BAOEDF.

Si deux triangles ABC, VE¥ {flg. 27) ont dmx antles éfaux chacun à chacun, ABC ^DEF, ACBr= EFD, et un Mé égal gui

soit (i"Cas) ou adjacent aux angles égaux (BC=EF), (2* Cas) ou opposé à Vun d'eux {AB = DE)^ les deux autres côtés seront égaux chacun à chacun, et le troisième angle BAC sera égal au troisième EDF.

Fig. 27.

1" Cas. — Si les côtés adjacents aux angles égaux, BC et EF^ sont égaux, on a :

10 AB = DE. Car^ si AB et DE étaient inégaux, soit, par

exemple, AB>DE. Prenons alors BG = ED, et joignons CG.

Puisque