BG=ED, BC==EF, GBC=DEF

il en résulte BCG = EFD [pr . 4].

Or, par hypothèse, BCA = EFD.

On aurait donc BCA = BCG,

ce qui est impossible [ax. 9]. Donc AB et DE ne sauraient être inégaux.

20 Puisque AB=OE, BC=EF, ABC=DEF,

ona[pr.4] AC=DF, et BAC=EDF.

II'' Cas. — Si les côtés opposés à l'un des angles égaux, AB et DE, sont égaux, alors on a

i« BC=EF. Car, si BC et EF étaient inégaux, soit, par «exemple, BG>EF. Prenons alors BH =s= EF, et joignons AH.

Puisque BH=EF, AB=DE, ABC=DEF,

il en résulte BHA=EFD [pr. 4].

Or, par hypothèse, BCA =: EFD.

On aurait donc BHA=BCA,

ce qui est impossible [pr. 17]. Donc BC et EF ne sauraient être inégaux.

2* Puisque BC=EF, AB=DË, ABC==DEF, Oûa[pr.4]' AC=DF, et BAC=EDF.

DES ELEMENTS D EUCLIDE

Si deux droites AB, CD (fig. 28) coupées par une troisième EF^ font avec elle des angles sliernes-miernesi") égaux XEV, EFD, elles sont parallèles.

Car, si les droites AB, CD n'étaient pas parallèles, alors, en les prolongeant suffisamment dans un sens ou dans l'autre, elles finiraient par se rencontrer. Supposons, s*il est possible, que cette rencontre ait lieu en G. Dans le triangle EFG, on aurait alors AEF > EFD [pr. 16], ce qui est contraire à l'hypothèse admise AEF = EFD. Donc AB et CD ne peuvent se rencontrer de ce côté. Par la même raison, ces lignes ne peuvent se rencontrer de l'autre côté. Donc [déf. 35] AB et CD sont parallèles.

Si deux droites AB, CD (fig. 29), coupées par une troisième EF, font avec elle i^ ou deux angles correspondants égaux EGB, GHD, 2° ou deux angles intérieurs d'un même côté supplémentaires BGH, GHD, elles sont parallèles.

i<» Puisque EGB=GHD, et queEGB=\GH [pr. i5], il en résulte AGH = GHD. Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles.

(a) Nous introduisons, pour plus de simplicité, dans les énoncés d'Euclide, les dénominations appliquées par les géomètres modernes aux divers couples d'angles formés par deux droites qui en rencontrent une troisième. Nous ne reproduisons pas ici les définitions de ces angles qui se trouvent dans tous les traités de géométrie.

2° Puisque Ton a BGH-|-GHD=2dr. [hypothèse] et ÀGH-hBGH=:2dr. [pr. i3],

il en résulte [ax.i et 10] AGH-+-BGH=BGH4-GHD. En retranchant BGH de part et d'autre, il reste [ax. 3]

AGH=GHD.

Donc [pr. 27] AB et CD sont parallèles (").

Si deux droites parallèles ABj CD (fig.29) sont rencontrées pdr une troisième droite EF, elles feront avec elle 10 des angles alternes-internes égaux kGE, GHD; 2° dés angles dirigés dans If' même sens (correspondants) égaux, ËGB, GHD ; 3° des angles intérieurs dun même côté supplémentaires BGH, GHD.

1° Si les angles AGH, GHD étaient inégaux, soitAGH> GHD. On aurait alors, en ajoutant de part et d'autre BGH [ax. 4],

AGH-+-BGH> BGH-hGHD.

Or AGH-hBGH=2 dr. [pr. i3J.

et par suite BGH4-GHD < 2 dr.

(a) Toiles les propositions éiai.>Hes jus(}u'ici i>e démoulreot sans le secours de Taxiôme 44. On pourrait encore joindre à ces propositions le théorème démontré par Legendre, q\lé la somme de trois angles d'un triangle rectiligne ne peut surpasser deux anylvs droits. (Voy. Note VI, page 75). Les théorèmes qui suivent s*appuicut sur Faxiôme 44. H est aisé, d'après cela, de se rendre compte de Torrlre dans lequel Euclide a rangé ses proposiiions. II. a voulu si'paier nctlemen*. imites ctdles qui sont indé pendantes de l'axiome 4 1 , et celles qui lui sont suboidounées, :ifin sans doute que les objections qui pourraient s'élever contre ce nouveau principe n'atteignissent que les théorèmes qui en dépendent nécessairement, les vin^t-huit pi emières propositions restant hors de cause.

DES ÉLÉMENTS D^EOGLIDE. 35

Il s'ensuiTraii donc [ax. iij que AB et CD^ prolongées^ se rencontreraient, et ne seraient pas parallèles [déf. 35]^ ce qui est contraire à Thypothèse. Par conséquent, AGH et GHD ne peuvent être inégaux. Donc AGH=GHD.

20 Puisque ron a AGH=GHD, et AGH=EGB[pr. i5], il en résulte EGB=GHD.

3o Puisque EGB=GHD, on a en ajoutant BGH de part et d'autre [ax. 2], EGB-hBGH=BGH-f-GHD.

Or EGB-hBGH=2dr. lj?r. i3].

Donc aussi BGH-|-GHD=:2dr.(«)

Deux droites AB, CD (ûg. 3o) parallèles à une troisième EF, sont parallèles entre elles.

Fig. 30.

E yi ^

Coupons ces trois droites par la droite GL Puisque AB et EF sont parallèles, on;a AGI = GIF [pr. 29]. De même, puisque CD et ÉF sont parallèles, on a G1F=GHD. Donc AGÏ=GHD, et par suite AB et CD sont parallèles [pr. 27].

far un point donné A (fig. 3i), mener une droite parallèle à une droite donnée BC.

Sur BC prenons un point quelconque D, et joignons AD.

(a) Il eût été peut-être plus naturel de commencer par établir ce troisième cas, qui n'est qu'un autre énoncé de l'axiome 4 1 , pour eh déduire ensuite les deux antres.

36 PREMIER LIVRE DES ELEMENTS d'eUGLIDE.

Construisons l'angle DÂE=ADC [pr. 23J^ et prolongeons EA vers F. La ligne EF sera parallèle à BC [pr. 27] («).