MULTIPLICATION
Un produit est toujours égal au carré de la derav-som/me^ moins le carré de^la demi-différence des facteurs. Appelons le plus grand a et le plus petit b.
La demi-somme sera — ^^
Et la demi-différence — ^
^ , ... . / a + b 2 / a— b \ 2 Or, la proposition veut que ^ — ^ — ^ s — «» ab
■ D«- * M. 1 1 a'^+i^ab+b» a«— 2ab+b« .
*- Effectuant les calculs, on a ' ^ , — ' -, — ' — «^ ab
qui devient a* + 2ab+ b* — a* +2 ab — b» = 4 ab Et 4 ab — 4 ab
^rf
Les deux membres étant identiques, sont nécessairement égaux.
Exemple 11. Multiplier 1298 par 1224.
1298 + 1224 = 2522, moitié, 1261 1298— 1224= 74, moitié, 37 1261» = 1 590 121 37« 1 369
Reste... Produit... 1 588 752
Nota. On peut obtenir d'une manière plus simple la demidifférence des facteurs ; il suffit, pour cela, de remarquer qu'elle est égale à l'excès du plus grand sur la demi-somme.
En effet, le plus grand étant — —^ — 1 9""^ = ^
On trouve r — ^ a
D'où il résulte qu'après avoir calculé la demi-somme des deux facteurs, on la retranchera du plus grand pour trouver la demidifférence.
On simplifie encore l'opération en prenant d'abord la différence des facteurs, et en ajoutant la moitié de cette différence au plus petit facteur.
Quand la somme et la différence des facteurs sont des nombres impairs, leur moitié donne la fraction 0,5 : on cherche dans la table des carrés comme si ce 5 faisait partie des entiers; mais on supprime les deux derniers chifires de ces carrés, et la fin du calcul ne diffère pas de celui ci-dessus.
Exemple 12. Multiplier 1 134 par 829.
1 134 + 829 = 1963 moitié 981,5 "
V« différence 152,5 9815* moins les deux derniers chiffres 963 342
1525» id. 2 3 256
Produit. . . 940 086
Toutefois on pourrait, pour éviter les fractions, diminuer l'un des facteurs d'une unité avant d'effectuer la multiplication, sauf à ajouter au produit le facteur qui n'a pas été altéré. •
Exemple 13. Multiplier 1134 par 829.
En calculant avec 1133 au lieu de 11 34 on a
1133 + 829 = 1962, moitié 981
Vï différence 152 981* = 962 361 152?= 23 104
Reste... 939 257
Produit 940 086
On trouverait encore le produit en prenant le carré du total des facteurs, dont on retrancherait les carrés de chaque facteur et prenant la moitié du reste : ainsi
Reste . . 1880 172 Moitié . . 940 086
Les nombres fractionnaires se calculent comme les nombresentiers, et Ton sépare, au résultat, autant de chiffres décimaux qu'il y en a dans les deux facteurs ensemble.
Exemple 14. 17.34 X 82.8
Somme des facteurs, abstraction faite de
la virgule 2562 différence 906
Demi-somme et demi-différence 1281 453
Carré de 1281. ... 1 640 961 Carré de 453 ... . 205 209
Reste .... 1 435 752 Produit. . . 1 435.752
Pour multiplier deux quantités dont Tune a 4 chiffres et l'autre plus, on partage celle-ci en deux nombres, on fait deux multi-
plications et les produits sont additionnés, pour former le produit total.
Exemple 15 : 446 982 X 7 744.
Au lieu de 446 982 on prend successivement 440 000 et 6 982, qu'on multiplie par 7744, en se souvenant que les zéros à la droite d'un facteur-s'ajoutent au produit sans entrer autrement dans les calculs.
!*> Facteurs 44 el 7744 somme 7788 moitié 3894
différence 7700 moitié 3850 Carré de 3894. ... 15 163 236 Carré de 3850. ... 14 822 500
Produit. ... 340 736
En ajoutant 4 zéros on aura le produit de 440 000 par 7344 égal à 3 407 360 000.
2° Facteurs 6982 et 7744, somme 14726 moitié 7363
différence 762 moitié 381
Carré de 7363 54 213 769 ^
Carré de 381 (cherché à 3810) 145 161
Produit de 698V par 7444 54 068 608
Ajouter le le' produit 3^407 360 000
Résultat définitif 3 461 428 608
Si les deux facteurs avaient plus de 4 chiffres, on procéderait de la môme manière que ci-dessus à l'égard de chacun des facteurs
Exemple 16. Multiplier 314 159 par 556 446.
Après avoir obtenu le produit de 314 159 par 556 000, on chercherait celui de 314 159 par 446 : il n'y aurait plus qu'à réunir les deux produits.
•On pourrait aussi faire la multiplication, dans ce dernier cas et dans celui de Texemple 15, en cherchant les carrés de plus de 4 chiffres par la méthode indiquée à l'exemple 9.
Quand il y a une grande disproportion entre les facteurs, il est
quelquefois possible, en appliquant la formule ab = au x -
de réduire à quatre chiffres un nombre qui en a davantage.
Exemple 17. Multiplier 18724 par 842 Moitié et double 9362 X 1684
En prenant la moitié de 18724 et en doublant 842, on aies nombres 9362 et 1684, qui sont dans la table et donnent le mémo produit.
On pourrait aussi multiplier 1872 par 842, ajouter un zéro, puis 4 fois 842.
Exemple : 1872 '+ 842. . . . 2714
Moitié. ... 1357 1841449 Demi-différence. 515 265225
15762240 4fois842 3368
On obtiendrait encore le résultat en multipliant 8724 par 842 et en ajoutant ensuite 8420000.
Exemple 18.
