de sorte que l'on aurait
et
Voir l'exemple 27 ci-après.
Exemple 20. Diviser 3 534 364 par 1774.
— JI06 + J06 -h 11236
En retranchant d'une part de la racine et en y ajoutant de l'autre 106 on aie rectangle 1774 x 1986, auquel il faut ajouter 1 1236 qui est le carré de 106 ; il reste 1 1200 ; ce nombre contient 6 fois le diviseur, il faut donc l'ajouter à 1986 et retrancher en même temps du reste 10644 qui est le produit de 1774 x 6, on obtient le quotient 1992 et le reste 556.
2o Quand il y a une différence bien sensible entre le diviseur et la racine du dividende, on tire la différence des deux premiers termes de la proportion, et Ton ajoute à la racine un nombre qui soit approximativement dans le môme rapport avec la racine que le rapport de la racine au diviseur et Ton se sert, pour la suite du calcul, de la demi-somme des deux termes extrêmes.
Exemple 21. Diviser 3 534 364 par 1674.
La proportion est
Moitié 1892
3534364 A reporter. ^ — 45300
Report
La différence 206 entre 1880 et 1674 est un peu moins que le huitième de ce dernier nombre, en ajoutant à- 1880 le nombre 230 oui est aussi un peu moins que le huitième de 1880, on trouve pour quotient provisoire 2110 qui, réuni à 1674 forme 3784 dont la moitié est 1892.
Après avoir retranché le dividende du carré de. ce nombre, il vient un reste de 45300.
La racine 1892 excède le diviseur de 218, dont le carré 47524 fait ressortir une différence de 2224, celle-ci contient encore une fois le diviseur; on ajoute 1 au second facteur, ce qui donne pour quotient 2111, avec un reste de 550.
Exemple. 22. Diviser 3 534 364 par 1274.
606 étant un peu moins que la moitié de 1274, on a ajouté 900 à 1880, le rapport de ces deux nombres étant le même approximativement, quotient 2774, reste 288,
Exemple 23. Diviser 3 534 364 par 974.
Exemple 24.
Diviser 3 534 364 par 574.
Exemple 25.
Diviser 3 534 364,par 2674.
794 forme à peu de chose près les 3/10 de 2674, en retranchant 3/10 de 1880, on a 1320 qui donne, en définitive le quotient
Exemple 26. Diviser 3 534 364 par 43 674.
Quotient 80, reste 40 444.
Au lieu de 21877 qui forme la moitié, de 43754, on n'a pris que 21870 pour faciliter les calculs ; de même on a pris d'abord pour diviseur 43670, sauf à ajouter 4 ensuite pour le compléter.
On pourrait aussi, dans cet exemple, prendre pour diviseur provisoire 4367, sauf à le compléter dans la suite de l'opération ; on aurait ainsi :
Exemple 26 his.
A reporter. — 3 345 765
Report. 2623 X 2623 — 3 345 765
Enfin il arrive souvent que la racine est un multiple ou un
sous-multiple du diviseur, dans ce cas on applique la formule
a a X a = an X - ; en multipliant une racine par un nombre et
en divisant Tautre parla même quantité ; voir le Théorème à la suite de l'exemple 19. ,
Exemple 27. Diviser 1 149 654 par 4290.
La racine est 1072 X 1072 H- 470 4 fois et le quart 4288 X 268 4- 2 — — 536
A^lieu de 4288, il faut 4290, c'est 2 à ajouter; mais on doîl retrancher en même temps 2 fois l'autre facteur, ce qui fait — 536, on a 4290 X 268 — 66 ; donc il manque 66 pour que le quotient soit 268, en le réduisant à 267, il faut ajouter 4290 au reste ; il vient 4290 X 267 -f 4224 ; c'est-à-dire que le quotient est 267, et le reste de la division 4224.
Si le diviseur était un nombre fractionnaire, comme 42.90, on aurait :
Exemple 28. 42.90 X 26 800 — 66
26 798 + 19.80 Quotient, 26 798, reste 19.80.
Pour le diviseur 4.290.
Exemple 29. 4.290 X 268 000 — 66
267 984 -f 2.64 Quotient 267 984, reste 2.64.
Ce reste doit être le numérateur de la fraction r^ = , , «
Lorsque le dividende a un ou plusieurs chiffres décimaux, on fait les calculs comme pour les nombifes entiers, sauf à prendre, sur le quotient, assez de décimales pour qu'il y en ait autant, dans le diviseur et dans le quotient réunis, qu'il s'en trouve au dividende.
2* MÉTHODE DE DFVISION
Cette méthode consiste à multiplier le dividende par un nombre pris dans l'échelle des nombres réciproques, en regard du diviseur. 11 faut séparer, au produit, le nombre de décimales qu'il doit contenir, ce qui est facile à reconnaître.
Exemple 31 . Diviser 681 1 00 par 7200.
Au lieu du diviseur 7200, on emploie le multiplicateur 1389, on a *
6811 + 1389 = 8200; moitié 4100, carré 16 810 000 6811 — 4100 = 2711 7 349 521
Différence ... 9 460 479 Avec 5 décimales. 94. 60 479
Si le diviseur n'était pas dans la table, on évaluerait le multiplicateur en tenant compte de la différence de ces deux termes avec ceux qui s'en approchent le plus. 11 convient de remarquer à ce sujet, que les premiers nombres de chaque colonne augmentent, en descendant, jusqu'à 3162, et que les autres augmentent, en remontant, de 3163 à 10000, de sorte que, dans toute l'étendue de la table, les termes marchent en sens inverse :
La différence des premiers varie de 1 à 10; celle des seconds, est toujours de 10, ce qui permet d'obtenir facilement des termes plus rapprochés; en effet, si, entre 1001 et 1002, qui correspondent à 9990 et 9980, on veut avoir des termes intermédiaires, il suffit d'ajouter un dixième aux premiers nombres et une unité aux seconds (en sens inverse), pour obtenir dix nouveaux termes.
Exemple 33.
De même entre 1748 ot 1751, 2132 et 2137, on intercalle les termes qui manquent en modifiant d'une manière convenable les nombres correspondants.
Ce qui fait voir qu'au lieu de diviser par 10014 il faut multiplier par 9986 et, réciproquement, le diviseur 9986 se remplace par le multiplicateur 10 014.
Lorsque la différence des premiers termes est 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9, il suffit d'y ajouter un nombre égal de dixièmes pour chaque unité des seconds termes.
Exemple 33.
Il est bien évident que le calculateur n'aura pas besoin
d'établir des tableaux de chiffres comme ceux-ci pour trouver les facteurs qui lui seront nécessaires ; il suffira qu'il ajoute d'un côté en môme temps qu'il retranchera de l'autre les valeurs afférentes aux nombres sur" lesquels il doit opérer.
Exemple 34.
Quel est le multiplicateur relatif au diviseur 4162 ? Le terme correspondant à 4160 est 2404, qui diffère de 6 du précédent; il faut donc retrancher 12 de 24040 ; ce qui donne 24 028.
En appliquant ce mode de calcul à l'exemple donné précédemment sous le no 27, on aurait à multiplier 1 149 654 par 2331 ; mais on doit examiner à Tavance combien le quotient doit avoir de chiffres; il en a trois, puisque le diviseur 4290 est plus grand que 1149 ; or, dans ces sortes d'opérations, on: peut presque toujours se dispenser d'employer les derniers chiffres de droite du dividende, ce qui donne 1149 à multiplier par 2331 .
Exemp. 35. 1149 + 2331 = 3480
Moitié 1740 carré 3 027 600
2331 — 1740 = 591 carré 349 281
Différence. 2 678 319
Et puisque le quotient ne contient que trois chiffres entiers, il est 267, 8319 c'est-à-dire 267 entiers et 8319 dix millièmes.
On peut toujours vérifier la division en multipliant le diviseur par le quotient, pour retrouver le dividende ; s'il y a, en plus ou en moins, une différence excédant le diviseur, on devra ajouter au quotient ou en retrancher la quantité nécessaire.
L'échelle des facteurs fait connaître qu'un nombre quelconque, multiplié ou divisé par 3162, donne le même résultat, ce qui est assez curieux : toutefois ce terme 3162 est incommensurable, de sorte qu'on n'obtient qu'une approximation à un quart d'unité du dernier ordre. Ce terme, qui occupe le milieu de l'échelle, poussé jusqu'à la quatorzième décimale , devient 3162 2776 6016 83.
