AX X„ X

n étant une quantité comprise entre zéro et l’unité.

Cela posé, le rapport ? étant, par hypothèse, incessamment

variable, il s’ensuit que ce rapport varie continûment, et il suffit de resserrer indéfiniment l’intervalle ax pour que l’accroissement a ? se rapproche indéfiniment de zéro.

L’équation (1) prouve que le rapport des accroissements a y, ax comporte, en général , un développement composé de deux parties essentiellement distinctes : la première est indépendante de l’étendue attribuée à l’intervalle ax; la seconde décroît indéfiniment et converge vers zéro avec cet intervalle. Pour obtenir isolément la première, il faut supprimer dans le développement tous les termes qui dépendent de l’intervalle ax et qui diminuent avec cet intervalle. Or cette première partie est précisément la dérivée cherchée, et, en général, il suffit d'annuler l’intervalle ax pour annuler en même temps tous les termes à supprimer. On voit donc aisément comment la recherche de la dérivée d'une fonction se ramène à la formation d’un développement dont on ne conserve que les termes indépendants de la quantité ax et dont on fait disparaître les autres en annulant cette même quantité.

De là résulte comme expression générale du procédé fourni par la méthode des limites pour la recherche des fonctions dérivées, l’équation fondamentale établie ei-dessus et réductible à la forme suivante:

(2) ? = f'(x) = lim. tl.

x AX

En écrivant l’équation sous cette forme, il ne faut point perdre de vue que les valeurs simultanées x, x,ÿ sont celles qui correspondent à l’origine des accroissements ax et a y.

Détermination géométrique de la limite vers laquelle converge le rapport de deux variables qui tendent en même temps vers zéro.

9. Reportons-nous aux données du n° 6 et considérons en particulier deux positions de la droite mobile, l’une mn supposée quelconque, l’autre PQ correspondante aux deux valeurs simultanées

Soit » le point où vont se couper les droites mn, PQ. On n évidemment :

Fig- 3 ~‘- Nous savons en quoi consiste ,

— ~ — — y pour la position quelconque mn,

/ j l’état de mouvement de la droite

m / mobile. Cet état se compose d’une

I x rotation et d'un glissement simul-

/ / j tanés, la droite tournant autour

/ v du point a et glissant en même

/ /k. I temps sur elle-même. Concevons

fl èL une deuxième droite assujettie à

i ' J \ coïncider toujours avec la droite

I 0 mobile, mais dépourvue d'ailleurs

J de tout glissement. Soit D cette

* 1 c autre droite. Il est visible que le

point a doit être considéré comme glissant sur la droite D, tandis que la droite D tourne autour du point a, tous deux simultanément et continûment. La conséquence est que le point a décrit, en général, une courbe, et que la tangente à cette courbe, en chaque position du point a, est la position correspondante de la droite mn.

Soit ba la courbe dont il s’agit; c le centre instantané de rotation qui correspond à la position PQ de la droite mobile; b la projection sur PQ du centre e. De même que la courbe ba touche en a la droite mn , de même elle touche en 6 la droite PQ.

Imaginons que la droite D soit ramenée continûment de la position mn h la position PQ. Les points a et i se déplacent simultanément, l’un sur l’are ah, l’autre sur la droite PQ, et tous deux finissent en même temps par se confondre en 6. II suit de la que, tandis que les deux longueurs Q« et Pm convergent simultanément vers zéro , leur rapport converge en même temps vers la limite p£-

Soient x w y 0 les vitesses simultanées des points m et n au sortir

des positions P et Q, on a, conformément aux déductions du 11 “ G,

De là résulte , en conséquence,

Le principe exprimé par l’équation (1) peut s’énoncer de la manière suivante :

Lorsque deux variables convergent simultanément vers zéro, leur rapport converge en même temps vers une certaine limite.

Cette limite est le rapport des valeurs que les différentielles des variables considérées affectent respectivement , lorsque ces variables s’annulent.

Cela posé, étant donné la fonction

y = fi x )>

soient ax et Ay deux accroissements quelconques simultanés des variables x et y. Quels que soient ces accroissements, ils satisfont toujours et nécessairement à la condition de converger en même temps vers zéro. Concluons que la déduction précédente leur est constamment applicable et qu’elle a , pour traduction algébrique, l’équation générale

(2) lim — = ^ «= f'( x ).