AX X

’ On peut placer les points P et Q sur une même perpendiculaire aux droites PX, QY. Nous n’a vous pas supposé qu'il en fût ainsi. Néanmoins, il est aisé de voir que l’équation générale du n° 6 peut , dans tous les cas, s’écrire de la manière suivante :

on a donc ici — =

JWl

Oigitiz ed by Goog le

Celte équation n’étant autre que l'équation finale du numéro précédent, il est aisé de voir qu’elle implique, en ce qui concerne la recherche des fonctions dérivées par la méthode des limites, le principe et le mode d’application que nous avons exposés cidessus.

Règle générale de la différentiation d’un produit.

(JV. B. La démonstration qui suit |>eut être remplacée par celle du n° 58, dont elle se déduit immédiatement.)

10. Étant donnée la fonction s égale au produit des deux variables x, y et déterminée par la relation

(*) s = xy,

Fig. tG.

on demande l’expression de la différentielle i.

Soient oA, oB deux droites menées par le point o. Sur la droite oB prenons deux longueurs om, on, toujours comptées à partir du point o et substituées comme équivalents numériques, la longueur om à la grandeur x, la longueur on h la grandeur y. Sur la droite oA prenons oa égal à l’unité. Tirons la droite am et par le point n menons la droite nr, de manière que l’angle orn soit et demeure constamment égal à l'angle oma.

Les grandeurs x, y étant, par hypothèse, incessamment variables, il s’ensuit que les points m et n glissent simultanément sur la droite oB et qu’en conséquence, les droites am, nr se trouvent respectivement assujetties, la première à tourner autour du point o en passant constamment par le point m, la seconde à glisser le long de la droite oB avec le point n et à tourner en même temps autour de ce point de manière à ce que l’égalité des angles variables onia , orn ne cesse jamais d’avoir lieu.

En désignant par s la longueur or, on voit aisément que les triangles oam, nnr, toujours semblables, fournissent la relation constante

z = xy.

Cela posé, il s’agit de déterminer la vitesse i avec laquelle le point r glisse sur la droite oA , tandis que les points m et n glissent en même temps sur la droite oB, le premier avec la vitesse quelconque x, le second avec la vitesse également quelconque y.

Soit mm' une longueur prise à partir du point m , sur la droite oB et égale à x. Par les points m' et m menons deux droites, l’une m'm ", parallèle à ma, l’autre mm", normale à la première.

En désignant par w la vitesse angulaire que la vitesse x du point m communique à la droite am , dans la’ rotation de cette droite autour du pointa, et par S l’angle orna, il vient

mm" x sin S

am am

Par hypothèse, la droite nr tourne autour du point n avec la vitesse a, et, en même temps, elle est entraînée par le point « qui glisse sur la droite oB avec la vitesse y. De là résultent pour la droite tir deux mouvements sumultanés, mais distincts et susceptibles d’être considérés séparément, l’un de rotation, l’autre de translation, tous deux d’ailleurs complètement définis.

Représentons par i, la vitesse que la rotation de la droite nr autour du point» communique au point r sur la droite oA. L’angle orn étant égal à l’angle ona et, par conséquent, à S, supposons la longueur rr', prise sur oA , égale à i, et par les points r', r menons deux droites, l’une r'r", parallèle à rn, l’autre rr", normale à la première. Le triangle rr'r" semblable au triangle mm'm " donne, comme tout à l’heure,

rr" i, sin C

nr tir

La combinaison des équations (2) et (3) fournit pour z, la valeur suivante :

... * «»• . on .

(4) . . . . z t = — x = — x = yx.

am oa

Représentons par z y la vitesse que la translation de la droite nr communique nu point r sur la droite oA. Cette translation résultant de la vitesse y avec laquelle le point n de la droite nr glisse sur la droite oB, on a évidemment

or . om

on oa

Ajoutant les expressions (4) et (5) des deux composantes de la vitesse cherchée z, on trouve immédiatement

(6) . . . . z = + z f = yx +■ xij.

Ce résultat s’étend de lui-même au produit d’un nombre quelconque de facteurs. On peut l’énoncer comme il suit :

La différentielle d’un produit est la somme des différentielles qu’on obtient en opérant successivement sur chacun des fadeurs variables comme s’il variait seul , les autres étant constants.

Dans le cas particulier de deux facteurs dont le produit est constant, on a

et par suite

Ce résultat peut s’énoncer de la manière suivante :

Lorsque deux grandeurs continûment variables ont un produit constant, leur rapport, changé de signe, devient celui, de leurs différentielles.

Règle générale (le la différentiation d’un quotient.