HO

ou fractionnaire. En le désignant par — a , on a

l)e là résulte, d’après la règle du n° 1 1 et conformément à l’équation (3) du présent numéro,

y = — - = — ux~ n ~' x = mx"‘~' x.

Concluons que, quel que soit l'exposant ni , positif ou négatif, entier ou fractionnaire, commensurable ou incommensurable *, la fonction algébrique

a constamment pour différentielle

ÿ = — mx"'~ l . x.

Ce résultat peut s'énoneer connue il suit, sous forme de règle générale:

La différentielle d'une puissance s'obtient en diminuant l'exposant d’une unité et en introduisant comme facteurs, d’une part, l'exposant primitif, d'autre part, la différentielle de la quantité soumise à l' exposant.

15. Le résultat établi ci-dessus conduit directement et par voie de réciprocité à la déduction suivante :

Étant donnée la relation

(1) V = cxTr'.x,

où e est une constante, il suffit d’observer que le produit ex" -1 , x

4 La proposition établie pour une valeur quelconque fractionnaire de l'exposant Ht , s’étend d'elle-mêine au cas d’une valeur quelconque inconiQiensurable.

( ni )

est lu différentielle de lu fonction c — pour en conclure d'une manière générale, conformément au principe exposé n° 7,

(2) sy — — a (x'").

tu

On observera que lequnlion (1) ne peut être considérée comme résultant de la différentiation dune fonction algébrique de la forme y— \x m , qu’autant que l'exposant ut affecte une valeur quelconque positive ou négative. Dans le cas particulier et unique où l'on supposerait l’exposant ni égal à zéro, la fonction x m se réduisant à l'unité et cessant, par conséquent, d'être variublc,il est visible qu’elle ne peut correspondre à la différentielle c De là vient que la formule (12) est alors en défaut et que la différentielle y — c - exige une recherche particulière de la fonction dont clic dérive.

2" Fondions logarithmiques.

Première solution.

H. Le problème que nous avons à résoudre d’après ce qui précède et dans l’ordre naturel des déductions, peut s’énoncer comme il suit : «

On conçoit une fonction de lu variable x, telle que sa différentielle ait pour expression générale c- , c étant une constante. Partant de là, il s’agit de déterminer quelle est celle fonction.

Soit y la fonction cherchée. On a, par hypothèse,

Considérons en même temps deux valeurs de x, continûment croissantes ou décroissantes , et liées entre elles de manière à conserver un rapport constant m.

Les vitesses simultanées des points qui décrivent les longueurs

substituées comme équivalents numériques à ces deux valeurs conservent entre elles le même rapport constant m. (N“2, règle 1.) Il en résulte pour la vitesse ÿ deux valeurs simultanées, constamment égales, puisqu'elles sont exprimées respectivement, la première par

la seconde par

MX x

• MX J,’

La conséquence évidente est qu'un seul et même accroissement de la fonction y correspond à chacun des intervalles déterminés pour 1a variable x par deux quelconques des termes qui se succèdent immédiatement dans la suite indéfinie

Désignons par n cet accroissement et faisons correspondre à la valeur a; = 1 la valeur y = 0. Si nous rangeons sur deux lignes les valeurs de x et de y, en plaçant les unes au-dessus des autres celles qui se correspondent respectivement, il est visible que nous aurons les deux suites •

Concluons que la fonction y est un logarithme et que l’on a, en conséquénce,

(2) y = log. x.

Dans le cas particulier où la constante c est égale à l’unité, les logarithmes correspondants prennent le nom de logarithmes népériens On distingue ees logarithmes en leur affectant pour

• On les désigne aussi sous le nom de logarithmes naturels, ou bien encore

caractéristique lu lettre l, et en désignant leur base par lu lettre e. De là résulte en général

(5). ..... g — log x = c.U,

cl conséquemment

(4) c — log e.

On voit ainsi que la constante c est le logarithme de la base e * dans le système exprimé par la earactérisquc log.

Deuxième solution.

15. Procédons directement en nous appuyant sur le théorème fondamental exposé n° 6.

Soit la fonction logarithmique

(I) !/ = log x.

u étant une constante quelconque, posons

(-)• • • • • ■ • • z = ax,

il vient en substituant

(3). . . ; . g = log x = log s — log a.

Delà résulte, eu désignant par log'x la fonction dérivée de

de logarithmes hyperboliques , bien que cette dernière dénomination paraisse également applicable à tous les systèmes.

Nous montrerons plus loin comment on parvient très-simplement à la relation générale

elc.,

et, par suite, à la valeur

e = -2 -t- J ; -t- elc. = 2,7182818288451)

logx, en appliquant le théorème fondamental du n° ti, et en ayant egard à l’équation (2) :

(4) . . . y = x log' x — i log' z = ax log’ z = tix log' ax.

L’équation (4) donne, en général,

(5) « log' ax = log’x,

et, pour x= 1,

(6) . . . a log' a = log' 1 = constante = c.

Le nombre a étant quelconque, nous pouvons le remplacer par x et écrire, comine conséquence de l’équation (6),

( 7 ) log'x = -•

Il suit de là qu’étant donnée la fonction logarithmique

(8) U = log x,

on a , pour expression générale de la différentielle ÿ,

16. La considération des logarithmes conduit trcs-simplement à la différentielle de la fonction x" *; soit, en cflTet,

* Cette considération conduit non moins simplement à la différentielle d’un produit ou d'un quotient ; soit , par exemple,

On eu déduit

(â) Iz = Ix -4- ly ,

et par suite

lk* là résulte, eu multipliant, membre à membre, la première et la dernière

De là rés u Ile, en prenant les logarithmes népériens des deux membres ,

et par suite

Ij — mlx.

11 vient doue immédiatement

(-) >1 — ut y — == x.

Si les variables x, y étaient toutes deux négatives, ou que la variable x le fût seule, on pourrait rhanger leur signe sans altérer eu rien l’équation (I). Le résultat obtenu est done tout à fait général, bien qu’établi dans l’hypothèse où x et y seraient tous deux positifs.

ô" Fondions exponentielles.

1 7. Soit la fonction exponentielle

En prenant les logarithmes népériens des deux membres de l’équation (I), on a

(2) ly = x. la.

Delà résulte, conformément à ce qui précède,

( 3 ) ¥- = xla.

de ces Irais équations ,

3 = tJX H- xi/.

On voit ainsi comment il suflit de recourir au théorème fondamental du n 0 6, pour en déduire, en quelques lignes, toutes les différentielles obtenues successivement dans ce qui précède.