Soit z une fonction composée ou complexe, dépendant à la

< Ri l’on veut ahréser el s’en tenir exclusivement aux ressources offertes

fois de deux variables .r, y, et représentée par

On demande de déterminer la différentielle s pour le cas général où les deux grandeurs x, y varient simultanément.

Désignons par A la surface que l’équadon (1) détermine par rapport à trois axes coordonnés OX , OY, OZ.

Soit,

C une ligne tracée sur la surface A et prise pour génératrice de celte surface;

m un point mobile assujetti à glisser sur la ligne C pendant la génération de la surface A ;

» la vitesse attribuée au point m sur la ligne C.

Dans le déplacement continu de la ligne C, deux cas sont possibles, selon que cette ligne change de position sans changer de forme, ou qu’elle change en même temps de forme et de position.

Supposons d’abord la ligne C de forme invariable.

En ce cas, on peut toujours et, à chaque instant, considérer le mouvement de la ligne C comme se composant de deux mouvements simultanés et distincts , l’un de rotation autour du point m , l’autre de translation '. Soit r la vitesse actuelle du point m sur

par la géométrie plane, on peut, avec avantage, remplacer le n» 27 par le n» 38.

1 Soit n le point de la ligne C qui coïncide avec le point m n Cinglant que l'on considère , et Di la touchante en ce point. Représentons-nous les rayons vecteurs allant du point p aux autres |K>ints de la ligne C. Lorsque la ligne C change de position sans changer de forme, ces rayons forment , avec la ligne C et la droite 1),, un système invariable. Lorsque la ligne C change de forme en même temps que de position, on peut dire de la droite D ce que nous avons dit plus haut de la ligne ('., à savoir, que la droite b, est animée de deux mouvements simultanés, l'un de rotation autour du point n, l'autre de translation. S'agil-il ensuite de la ligne C? Pour tenir compte à la fois des deux changements qu’elle subit à partir de [ instant considéré , il suflit d’attribuer à chacun des rayons vecteurs allant du point u aux autres points de la ligne C,

lu surface A. Celle vitesse ne peut évidemment dépendre en aucune façon de la rotation de lu ligne C autour dit point ni. Il s’ensuit donc qu’elle résulte exclusivement de la translation mentionnée ci-dessus et du glissement du point ni sur la ligne C.

Supposons, en second lieu, que la ligne C change de forme en même temps qu’elle change de position.

D étant la directrice du point ni sur la ligne C, il suffit de substituer à la ligne C la droite I) pour que les mêmes déductions soient littéralement applicables et subsistent ainsi généralement.

Désignons par p le point de la ligue C qui coïncide avec le point ni à l'instant que l’on considère. Les composantes de la vitesse v sont dirigées respectivement, l’une suivant la tangente à la trajectoire du point p, l’autre suivant la tangente à la ligne C. Soit P le plan déterminé par ces deux tangentes, et T la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse v. 11 est visible que la droite T est nécessairement située dans le plan P. On voit d'ailleurs que, suivant la valeur attribuée à la vitesse u du point ni sur la ligne C, la droite T peut prendre dans le plan P toutes les directions imaginables. De là résulte évidemment la conclusion suivante :

Les tangentes à toutes les lignes tracées sur la surface A cl pas-

I" l'état de mouvement de la droite D t ; 2“ un certain glissement sur lui-même ' ; 5° une rotation particulière autour du point p.

Cela pose, il est visible que la vitesse du |>oint m , au sortir du lieu p, n'est moditiée ni eu grandeur ni en direction par le changement de forme de la ligne C. Cette vitesse est la même que si , « partir de l'instant considéré , la ligue C persistait dans la forme qu'elle afTeclc à ce même instant. Kilo est la même que si le point m sortait du lieu p en glissant sur la droite 1)| avec le degré de rapidité qu'on lui attribue sur la ligne C. Ces simples remarques permettent de considérer le cas oit la ligne C change en même temps de forme et de position, comme immédiatement réductible à celui oit celte ligne change de |>osition sans changer de forme.

* Ce glissement correspond, pour chaque rayon vecteur, au changement de grandeur qu’il peut avoir a subir, comme conséquence du changement de forme de fa ligne C. On ne perdra pas de vue que l’élnt de mouvement de la droite D, se compose d’une rotation autour du point p. et d'une translation qui n'est autre que 1a vitesse uctuelle de ce {(oint rendue commune à tous les autres.

suit! pur le point 111 sont situées , en général, dans un seul et même plan

Sans rien changer à ce qui précède, soient or, y, z les coordonnées du point w. Les composantes de la vitesse v parallèles aux axes OX, OY, OZ, sont respectivement x, ÿ, z. Considérons les deux sections s, s' faites en ni parallèlement aux plans des zx et des zy. D, D' étant les droites qui touchent en ni les sections s, s', nous savons que le plan de ccs droites contient la direction de la vitesse v, et qu’en conséquence, cette vitesse est déeomposable en deux autres a, a’ respectivement dirigées, l’une suivant la droite D, l’autre suivant la droite D'. Si nous désignons par z, la valeur déduite de l’équation (1) en opérant sur z dans l’hypotlièsc y = constante, il est visible que la vitesse a se décompose en deux autres, l’une x, l’autre z,. Si nous désignons de même par i, la valeur déduite de l’équation (1) en opérant sur z dans l’hypothèse x = constante, il est visible que la vitesse a se décompose en deux autres l’une y, l’autre i,. Concluons que la composante de la vitesse v parallèle à oz peut être exprimée indifféremment soit par z, soit par la somme algébrique des deux vitesses simultanées z x et i y . De là résulte immédiatement

(->). . . . i ==«,•+- s, = if x ’(x,y) + yf],' (x,y)\

L’équation (1), impliquant comme conséquence l’équation (2) , il en résulte, pour les fonctions composées ou complexes, une règle

1 La démonstration suppose qu’il y a continuité autour du point p. Elle suppose, en outre, que, dans la génération de la surface A par la ligne C, le point a est animé d’une certaine vitesse, différente de zéro et nou dirigée suivant la génératrice, tin voit aisément que ces conditions subsistent en général , et qu’elles ne peuvent cesser d’être remplies qu’en certains points singuliers de la surface A.

” Dans les expressions de la forme

fx'(x,y), fy (x , y).

l'indice inférieur exprime celle des variables à' laquelle l'opération effectuée se rapporte, les autres variables étant considérées comme coustanles.

générale qui se combine avec les précédentes el comprend ainsi tous les cas possibles d'application. Cette règle peut s’énoncer comme il suit :

La différentielle d'une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu’on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables , et en opérant successivement pour chaque élément distinct , comme s’il était seul variable, lundis que tous les autres sont supposés constants

' Le procédé fourni |>ar la méthode des limites conduit directement et trèssimplement à ce résultat.

Observons d’abord que la limite du produit de plusieurs facteurs est égale au prixluit des limites respectives de ees mêmes facteurs.

Cela [>osé, soit la relation générale

Par hypothèse les grandeurs x, y varient en même temps el avec continuité. De là résulte entre ces grandeurs une relation qui peut être déterminée ou arbitraire, mais qui, dans tous les cas, peut s'exprimer de la manière suivante :

L’équation (1) devient, eu égard à l’équation (2), (3> 3 = f(x,f(x) = Ÿ(x),

et l'on en déduit, conformément à la formule (2) du n° 8,

s AF(x) f(x+&x,y-hày)—f(x+Ax,!i)-c-f(x^-A,r,y)—f{x,y)

T = lim — lim — —

x ax Ax

De là résulte, en premier lieu,

s .. f[x+Ax,iH-Ay)-f(x+Ax,y) s y f[x-t-Ax,y)—/\x,y)

— = htn 1- hm — ,

x \y ax ax.

en second lieu,

* = . fy{x, y) y).

el, par suite,

Veut -on déduire de l’équation (4) la propriété caractéristique du plan

Munirons pur un exemple comment la règle qui vient delre formulée se combine avec celle du n° 26 , et ramène uiusi toutes les opérations du calcul différentiel à la différentiation des fonctions élémentaires.

Soit

y = x‘ sin lx,

l étant la caractéristique du système des logarithmes népériens. Si nous posons

y = x 1 sin u,

langent? Il suffit de se reporter à la surface représentée par l'équalion (1) dans un système quelconque d'axes coordonnés, et de considérer, pour un même point quelconque m de celte surface , les trois tangentes situées res- |iectivement, la première dans un plan parallèle aux zjs, la deuxième dans un plan parallèle aux ai/, la troisième dans un plan quelconque intermédiaire.

Transi>ortons l'origine au |>oim m et, sur la dernière des trois tangentes mentionnées tout à l'heure, prenons un point », dont les coordonnées soient respectivement z = z, y — <J, x—x.X l'abseissex correspond i>our la première tangente une ordonnée z , déterminée par la relation

Su x fx (a?, y) i

à l'abscisse y correspond de meme pour la deuxième tangente une ordonnée z, déterminée par la relation

Cela posé, il est aisé de voir que la relation générale

O Vf “4“ vy

résultant de l'équation (i), implique comme conséquence immédiate la déduction suivante :

Les trois tangentes considérées sont dans un seul et même plan. On voit d'ailleurs qu'en disposant du rapport | , ou |>eut changer comme on veut la position du plan intermédiaire dans lequel est située la troisième tangente. De là donc résulte aussi cet énoncé général :

Le plan tangent en un point d'une surface contient, en général, les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par ce point.

nous en déduirons d'une manière générale

V — xzx~ 1 sin u + z.x : .lx. siii u. ■+- tijr cos u. De là résulte, en remplaçant s par x, et u par (x,

ÿ = x(x* sin Ix x 1 Ix. sin Ix - 4 - x - 1 cos Ix).

Fig. 39.

28. Soit une surface A; O un point de cette surface; OX, OY, OZ , trois droites menées par le point O et non situées dans un même plan ; OL une droite quelconque tracée par le point O dans le plan XOY.

Prenons les droites OX, OY, OZ pour axes coordonnés, et, considérant les sections faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-lcs respectivement la 1" par Z*, la 2 me par Z ÿ , la dernière par Z,.

Soient m„ m„ m, trois points qui partent en même temps du point O et qui décrivent simultanément, le 1" la section Z,, le S”' la section Z,, le 3™' la section Z,.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque, supposons-le réglé de manière que les points m,, m„ m , aient toujours même projection, les deux premiers sur l’axe des x, les deux derniers sur l’axe des y.

Concevons trois droites mobiles T x , T„ T, assujetties à rester parallèles au plan ZOX et à toucher la surface A, 1a droite T x en m x , la droite T, en m,, la droite T, en m,.

x, y étant les coordonnées du point m, dans le plan XOY, et •x 1 angle que la droite T ( fait avec l’axe des x , 011 a généralement

De là résulte, conformément à l’équation (2) du numéro qui précède :

Appliquée au poiut O , l'équation (2) exprime la propriété suivante :

A l’origine commune du déplacement simultané des trois points ni,, ni,, m ( , la vitesse angulaire de la tangente T, est lu somme des vitesses angulaires des tangentes T, et T,.

Itèsumé des résultats précédents.

29. Les notions qui précèdent suffisent pour que, dans le cas , d’une fonction quelconque simple ou composée,

on puisse déterminer la relation correspondante.

xVj ÿ\‘ t •+■ iVj -t- etc. = o.

Elles suffisent également pour que, étant donnée la relation

(1) ÿ — * fW.

on puisse en déduire la relation réciproque

(2) iy — a f[x),

' Soit v la vitesse actuelle du |K>int un sur sa trajectoire;

£, ÿ, les composantes de la vitesse v dans le plan XOY;

ju le point de la surface A qui coïncide avec le poiut m,, à l'instant que l'on considère;

S x , S, les sections que déterminent, dans la surface A , deux plans menés par le point p , l’un parallèlement aux :x , l’autre parallèlement aux zij.

Cela posé, voici quelle est la signification précise et générale des symboles à,, à,.

àx est la valeur affectée par à dans [hypothèse oti le point m, sortirait du lieu P suivant la section Sx, la vitesse x n’étant pas changée.

i, est la valeur affectée par à dans [hypothèse où le point m, sortirait du lieu p suivant la section S,, la vitesse y n'étant pas changée.

toutes les lois que l’inspection du la dérivée y (.c) permet de reconnaître la fonction primitive correspondante f [x).

Pour compléter eette dernière solution, nous allons montrer comment on peut, dans tous les cas, déduire de l’équation (1), sinon l'équation (2), du moins une représentation géométrique équivalente.

y(æ) étant, par hypothèse, une fonction de la. variable x entièrement connue, imaginons qu’elle représente l’ordonnée z d’une courbe rapportée à des axes coordonnés rectangulaires et ayant pour équation

Fig. 00.

Soit BE celle courbe; si l’on désigne par a l'aire comprise entre la courbe BE, l’axe des x et deux ordonnées, l’une fixe, l’autre mobile, on a généralement

à = iz ■= i-.y(jt).

De là résulte en vertu de lequa- — X tion(l)

1 Soit oam un triangle limité par deux droites lixes oa, an t et par une droite om, mobile autour du point o. (Voir la lig. 31, page suivante.)

U élant la surface du triangle oam, h la perpendiculaire abaissée du point o sur la base ont, et x cette base, on a généralement.

Delà résulte, conformément à la règle 3 du numéro 3,

Représentons par mm' la vitesse x du |Kiint in et achevons le triangle mm’m”, dont les côtés mm", m'm" sout respectivement dirigés, l'un perpen-

et, conséquemment,

MJ = Sa.

Mais d’un autre côté, si les valeurs extrêmes attribuées à la variable sont x, x' et qu’on prenne op=x, op'=x', on a, en désignant par mp, mp’ les ordonnées correspondantes,

sa — pmm'p'.

Il vient dune aussi comme équivalent géométrique de 1 équa-

tion (2)

sy = aire {pmm'p').

tliculairenienl, l'autre parallèlement à la droite om. Si nous lirons les droites ’om\ om", il est visible que les triangles omm’, omm " sont équivalents, puisqu’ils ont même base om, et leurs soni- P‘9- 31- mets m ’ , m" situés sur une même

** droite parallèle à cette base. De là résulte en premier lieu la conséquence m? suivante :

La vitesse Û ayant pour expression numérique le produit ~ , on peut la représenter indi/fèremmenl par l aire île l'un ou t autre des triangles omm', omm".

Prenons pour expression de la vitesse Ù l’aire du triangle omm" et observons que, dans ce triangle, la base mm" est la vitesse de circulation communiquée au point m par la rotation de la droite om autour du point o.

Soit obn un second triangle limité comme le premier, avec cette seule différence que la droite am est remplacée par la droite bn : nn" étant la vitesse de circulation communiquée au point n par la rotation de la droite om autour du point o, il est clair que la vitesse d’accroissement de l’aire obn est représentée par le triangle o/m", en même temps et de la même manière que la vitesse Û est représentée par l’aire omm".

Concluons qu’en désignant par a faire du quadrilatère amnb, on a, pour expression de la vitesse b, l’aire du trapèze mm"n"n.

Ce résultat est indépendant des directions suivies par les points m et n à l’origine de leur déplacement simultané. Il s'étend de lui-même au cas où les droites am , bn seraient remplacées (tardes courbes quelconques situées