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line fonction quelconque de la variable x. Nous savons qu’en de-

dans un même plan et passant , l'une par le point m , l’autre par le poinl ». Il est donc tout à fait général , et l'on peut, en conséquence , le formuler comme il suit : . ,

La différentielle de faire engendrée par un segment de droite mobile dans un plan est égale au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son point milieu.

Fig. 32.

Cet énoncé général comprend le cas particulier oit la droite mobile se meut par translation. On peut d’ailleurs prendre ce cas à part et le traiter directement.

Soit z une ordonnée mobile dans un plan et limitée par deux droites fixes ab, cd. L'ordonnée s, représentée par mp, se meut en restant perpendiculaire à la droite cd. J: Elle engendre ainsi l’aire trapézoïdale ampe. Soit

l m t a cette aire et li une droite menée par le poinl »»

parallèlement à cd.

L'ordonnée s croit ou décroît selon qu’elle se j meut de gauche à droite, ou de droite à gauche au sortir du lieu quelconque mp. Dans le premier cas, la vitesse à ne peut être inférieure à x.z : elle est donc égale ou supérieure à ce produit. Supposons la représentée par (z -t- >j) x : il en résulte évidemment que, dans le second cas, elle est exprimée en grandeur par (z — >f) x. Cela posé, Imaginons qu'aprés avoir fait croître l'aire a d'une quantité quelconque aa, on la fasse décroître de cette même quantité, l’ordonnée z et la vitesse x repassant en sens inverse par les mêmes valeurs. L'hypothèse admise implique cette conséquence absurde que les longueurs engendrées simultanément |iar deux points, respectivement animés, l'un d’une vitesse plus grande (z-t-ij) x, l'autre d’une vitesse moins grande (z — ij) x, sont égales entre elles. Concluons qu’on a nécessairement r, = o, et par suite,

L’extension que cette formule rnnqKirte est d’ailleurs évidente.

signant par y, x les d i (T<5rcn ticlles correspondantes, on a généralement

Considérées en elles-mêmes, les grondeurs ÿ, x ne diffèrent en rien des grandeurs ordinaires susceptibles d’être soumises au calcul. On peut donc leur appliquer toutes les déductions qui précèdent et opérer sur elles, par voie de différentiation, comme on l'a fait d’abord sur les grandeurs données y et x.

Les différentielles des grandeurs»/, x, sont dites différentielles du second ordre, par rapport aux grandeurs primitives y, x; on les distingue par un redoublement du point mis en surcharge ou de la lettre d. II vient ainsi

dij — ij = d dy, dx = x == d.dx, et plus simplement

dy = ÿ = d'y , dx = .ir = it*x.

On déduit d’ailleurs de l’équation (2)

f" (x) étant la dérivée de f (x) ou, ce qui revient au même, la dérivée seconde de f (x).

Le même ordre d’idées, constamment poursuivi, conduit des différentielles du second ordre à celles du troisième, de celles-ci aux différentielles du quatrième ordre, et ainsi de suite indéfiniment. Les signes adoptés pour représenter ces différentielles successives résultent d’ailleurs de l’application toujours répétée des conventions premières. Il vient ainsi

dÿ = y = d.iPy — <Py , dx == x = d.(Px = iPx, et généralement,

d"y — dd n ~'y, d"x — d.d"~'x<

On n en même temps, comme conséquence de l’équation (3), (4) . . . ÿ*='xf'{x) 5x x f"{x) + i*f"'{x).

et ainsi de suite indéfiniment.

31. Lorsque la variable x est indépendante et qu’on en dispose en la faisant croître ou décroître d’une manière uniforme, on a

x = cons",

et par suite

Il vient alors trcs-simplement

et en général

De lé résulte

x". f"(x) = dx". /'"(x).

dx"'

le rapport des deux grandeurs d'y et dx" étant précisément égal à la dérivée de l’ordre n , f’(x).

Lorsque la variable x n’est pas uniformément croissante ou décroissante, l’équation (6) cesse d’être vraie pour toute valeur de n supérieure au nombre I. Néanmoins on est convenu de considérer comme équivalentes les deux expressions f"(x) et (^). En ce cas , il ne faut plus voir dans la dernière de ces expressions le quotient des deux grandeurs d"y et dx", mais seulement un symbole où ccs deux grandeurs figurent à la fois, sans pouvoir se séparer l'une de l'autre, et qui, par suite de la convention adoptée, ne représente pas autre ehosc que la dérivée f"(x).

Du changement de lu variable, indépendante.

52. On suppose une formule établie dans l’hypothèse où la variable x, considérée comme indépendante, a été assujettie à croître ou à décroître uniformément. Les dérivées successives f\x), f"( x), f”'[x) etc., entrant comme parties constituantes de la formule dont il s’agit , le problème à résoudre consiste à déterminer les expressions qu’il faut mettre à la place de ces dérivées pour transformer cette même formule et la rendre applicable au cas général où la variable x croît ou décroît d’une manière quelconque.

Partons de l’équation

qui subsiste dans tous les cas. On en déduit par la différentiation

df(x) = xf"(x) = d. - — ^—7 X x

et de là résulte immédiatement

xy — ÿx dx d*y — dy d*x i* dx s

On a de même

#« f'"T = i d = .1 d dxd,y ~~ dyæx

^ ' 1 X X 5 dx ' dx 5

et ainsi de suite indéfiniment.