EXTENSION DES RÈGLES PRÉCÉDENTES AUX FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES

NB. — Au lieu de procéder comme il suit , il est lieaucoup plus simple de passer les n 1 ** 33 , 54 , 55 et d’intercaler à leur place le n* 39.

1° Théorème (les tangentes réciproques *.

33. Soit une surface A, O un point de cette surface, P le plan tangent en ce point, OZ la normale, OX, OY, OL trois droites menées par le point O et situées dans le plan P. (Voir ftg. 29, n“ 28, page 129. )

Prenons les droites OX, OY, OZ pour axes coordonnés, et considérant les sections faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-les respectivement la 1” par N,, la 2 - ' par N„ la 5"' par Nj.

Soient wt t , »t„, m, trois points qui parlent en même temps du point O et qui décrivent simultanément, le 1" la section N,, le 2 m ' la section N,, le 3 me la section N,.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque, supposons-le réglé d’après les conditions suivantes :

1° Les vitesses des points ni,, ni, ont même composante x suivant l’axe des x.

2” Les vitesses des points »«,, m, ont même composante ÿ suivant l’axe des y.

Concevons trois droites mobiles T,, T v , T, assujetties à rester

' On peut supprimer les numéros 33 , 34 et 3b, en les remplaçant tous trois )>ar le n» 59. La marche devient ainsi plus rapide et plus simple. Elle olfre, en outre, l'avantage de ne point exiger d’autres ressources que celles qui s’empruntent à la géométrie plane.

parallèles au plan ZOX, et à toucher la surface A, la droite T* en m x , la droite T, en m,, la droite T, en m,.

a étant l’angle qu’une droite quelconque T, tangente à la surface A et parallèle au plan ZOX, fait avec l’axe des r, on a généralement

De là résulte , conformément aux déductions des n M 27 et 28 ,

Appliquée au point O, l’équation (2) exprime qu’à l’origine commune du déplacement simultané des trois points m„ m,, la vitesse angulaire de la tangente T, est égale à la somme des vitesses angulaires des tangentes T, et T y . 11 s’ensuit que la séparation des points ni,, m t s’effectue, au sortir du lieu O, comme s’ils se mouvaient simultanément avec la vitesse commune x sur deux droites distinctes, et qu’en même temps ces deux droites , d'abord confondues en OX, s’écartassent l’une de l’autre avec la vitesse y et tournassent parallèlement au plan ZOX , l une autour du point m, avec la vitesse l’autre autour du point wt, avec la vitesse à x & f .

Désignons par U une droite assujettie à toucher en m x la surface A et à rester parallèle au plan ZOY.

De même qu’en se séparant du point O le point m y détermine la direction première de la tangente U, de même en s’écartant l’un de l’autre nu sortir du lieu O, les points m x , m , déterminent la vitesse angulaire de cette même tangente, à l'origine de son déplacement. Il est évident que cette vitesse angulaire ne peut dépendre en aucune façon de la rotation à, commune aux deux droites T, et T,. Concluons qu’elle résulte exclusivement du mou-

" Cette équation peut s’établir directement ri priori par un procédé analogue à celui dont nous avons fait usage pour démontrer la propriété fondamentale du plan tangent. I) est plus simple de la déduire, comme on l'a tait au n" 2H, du théorème général fondé sur celle même propriété.

vement relatif do ces deux droites, c’est-h-dire de la translation y de la droite T, et de la rotation « y avec laquelle la droite T, s’écarte

angulaircmcnt de la droite T r .

Cela posé, considérons une droite dirigée d’abord suivant OX,

Fig. 33.

et sortant de cette position par un. double mouvement de translation et de rotation, la translation s’effectuant suivant l’axe des y avec la vitesse y et la rotation autour du point m, avec la vitesse Soit n un point de cette droite pris à la distance x du point O et S l’angle anp que fait avec l’axe des y la direction suivie par le point n à l’origine du déplacement de la droite mobile. Les composantes de la vitesse du point n étant

rectangulaires et représentées respectivement l’une par an — ÿ,

l'autre par ap — x à,, on a évidemment

(3) tang C = x. — •

Soit D la droite déterminée par cette direction. Lorsque le point n est considéré comme se déplaçant sur la droite OX par rapport au point O, ou , ce qui revient au même, lorsque le point O est considéré comme se déplaçant sur 1% droite OX par rapport au point n , la droite D tourne avec une vitesse angulaire 4 qu’il est facile de déterminer au moyen de l’équation (3). 11 suffît pour cela d’opérer sur cette équation en y considérant les deux vitesses y et <* y comme constantes et les grandeurs x et C comme variables. l)e là résulte, conformément à la règle (2) du n° 21 ,

(4) c, =- c, cos'C*.

On peut parvenir à cette équation, soit comme nous l'indiquons Ici, soit directement et par voie purement géométrique,

Supposons que le point n coïncide avec le point O et qu'il sorte de cette position en glissant suivant OX avec la vitesse a- : l’angle Calant nul, l’équation (4) devient

Mais alors, de même que le point n se confond avec le point m, et la droite 1) avec la tangente U, de même aussi la vitesse angulaire C, est celle de cette mémo tangente à l'origine de son déplacement.

Prenons la droite OL (fig. 29) de manière quelle divise en deux parties égales l’angle XOY. Il vient en ce cas x=y, et l’équation (ÎS) donne en conséquence

Traduite en langage ordinaire, l’équation (6) exprime une propriété curieuse qui comporte de nombreuses applications et qu’on peut énoncer comme il suit :

Soit P un plan tangent en O à une surface A; OX, OY les traces sur le plan P de deux sections normales N,, N y . Nous désignons sous le nom de tangentes réciproques deux tangentes conjuguées entre elles et respectivement assujetties, l'une à rester parallèle au plan de la section N, tandis que son point de contact glisse sur la section N y , l’autre & rester parallèle au plan de la section N y tandis que son point de contact glisse sur la section N x .

Cela posé, voici l’énoncé dont il s'agit :

Lorsque detix tangentes réciproques sortent en même temps et avec une égale vitesse des sections normales qui les déterminent , leurs rotations autour des directions qu’elles suivent respectivement sont égales et de signe contraire *.

* Lorsqu’un solide tourne autour d’un axe, on représente sa vitesse de rotation par une portion de l’axe égale en longueur à la grandeur de celte même vitesse. Un tient compte du sens en fixant sur un point quelconque de l’axe l'origine de la longueur prise pour mesure de la vitesse et portant cette longueur du côté oit la rotation s’effectue de gauche à droite pour un observateur placé le long de l’axe, les pieds à t origine.

On observera que l’égalité des vitesses angulaires je,, C, implique celle des

( Ul )

34. Le théorème que nous venons d énoncer peut s établir à priori de plusieurs façons différentes. Bornons-nous à en donner iei une seconde démonstration *.

Sans rien changer à ce qui précède, supposons l’axe OX déterminé de manière à coïncider avec la caractéristique du plan P, relie caractéristique étant prise dans l’hypothèse où le plan P se déplace en touchant la surface A le long de la section N, **. A l'origine de son déplacement, la tangente T, est animée de deux mouvements simultanés, l’un de translation s'effectuant avec la vitesse ÿ, l’autre de rotation autour de la caractéristique OX. Ces deux mouvements n’nJlcrant en rien la direction de la tangente T,, il s'ensuit que l’on a nécessairement

De là résulte la conséquence suivante :

La séparation des points m r , m, s’effectue, au sortir du lieu O, comme s'ils se mouvaient simultanément, avec la vitesse commune x sur deux droites distinctes, et qu’en meme temps ces deux droites, dahord confondues en OX, s’écartassent l'une de l’autre avec la vitesse y et tournassent parallèlement au plan ZOX, l’une autour du point m,, l’autre autour du point in,, toutes deux d'ailleurs avec une seule et même vitesse

rotations introduites au lieu de ces vitesses dans l'énoncé donné comme traduction de l'équation (0). Pour le voir, il suffit de faire les remarques suivantes :

1° La vitesse à, résulte d'une rotation autour d'un axe perpendiculaire au plan ZOX. Elle équivaut, en ce qui concerne la tangente T,, à la rotation

: sin XOY autour de l'axe OY ;

2° La vitesse Ç, résulte d'une rotation autour d'un axe |>erpendiculaire au plan 7.0 Y. Elle équivaut, en ce qui concerne la tangente U, à la rotation Cl : sin XOY autour de l'axe OX.

Il est clair, en effet, que l'égalité des vitesses angulaires à y et C, implique celle des rotations équivalentes à, : sin XOY, C, : sin XOY.

Nous renvoyons aux applications géométriques pour d'autres démonstrations , moins directes i>eul-élre , mais plus rapides et plus simples.

" On sait que ce déplacement commence par rotation autour d'une droite passant par le point O et située dans le plan P. C'est celte droite qu'on désigne sous le nom de caractéristique.

L’identité, qui s’établit ainsi de part et d'autre, montre évidemment qu’à l’origine du déplacement de la tangente U, la vitesse angulaire de cette tangente est égale à zéro. On a done, comme conséquence de l’équation (1):

Plaçons- nous dans l'hypothèse où le plan P se déplace en touchant la surface A le long de la section N,, et cherchons ec (pie devient alors sa caractéristique. Pour reconnaître qu’elle coïncide avec l’axe OY, il suffît d’observer qu’en ce cas l’équation (2) subsiste nécessairement, tandis que pour toute autre position celte même équation deviendrait impossible *. Concluons que l'équation (2) subsistant comme conséquence de l’équation (t), il y a de part et d’autre réciprocité complète , c’est-à-dire que si , d'une part, l’axe QX est la caractéristique du plan P pour un déplacement du point de contaet dirigé suivant l’axe OY, réciproquement l’axe OY est la caractéristique du pian P pour un déplacement du point de contact dirigé suivant l’axe OX. Liées entre elles d’après ces conditions les deux caractéristiques OX, OY prennent le nom de caractéristiques conjuguées.

Cela posé, considérons les tangentes réciproques déterminées par les sections normales N,, Ni fig. 34. L’une est parallèle au plan N, et son point de contact glisse suivant N x . L’autre est parallèle au plan N x et son point de contact glisse suivant N,.

S’agit-il d’abord de la première? à l’origine de son déplacement, elle a meme mouvement angulaire que l’intersection du plan N, avec le plan P supposé mobile le long de la section N, et tournant, en conséquence , autour de la caractéristique oY.

Soit m z le point de contact supposé mobile suivant la section

et v la vitesse de ce point au sortir du lieu o. Si nous représentons par tt> la rotation de la directrice du point m x pour une

* Si la caractéristique du plan P n’était point dirigée suivant l’axe OY, la rotation qui commence autour de cette caractéristique équivaudrait à deux rotations simultanées, l’une autour de l'axe OY, l'autre autour d'une perpendiculaire à cet axe. La conséquence évidente est que l’équation (2) ne subsisterait pas.

vitesse de ce point égale à l'unité, il s’ensuit que la rotation correspondante à la vitesse v a pour expression le produite. «?.

Élevons en o une perpendiculaire à la droite oX, et sur cette perpendiculaire , située dans le plan P, prenons la longueur o« égale au produit v. u\ Si par le point a nous menons une parallèle àoX, il est visible que la longueur ub, interceptée sur oY par cette parallèle, représente la rotation du plan P autour de la caractéristique oY.

Par le point b menons une parallèle à oL et désignons par e le point où eette parallèle vient couper Taxe oX. Le segment oe représente la rotation de la première tangente réciproque autour de la direction suivie par son point de contact.

S'agit-il, en second lieu, delà tangente réciproque qui reste parallèle au plan N, et dont le point de contact glisse suivant N,? En désignant par à la vitesse angulaire qui anime cette droite à l’origine de son déplacement, on a, conformément aux déductions des numéros 27 et 28 ,

D’un autre coté, nous venons de voir que la vitesse angulaire i, se réduit ici à zéro. On a donc simplement

Par le point c, où le prolongement de la droite ba vient couper la droite oL , menons la droite en parallèle à l’axe oY, et désignons par n le point d’intersection de, cette parallèle avec l’axe oX.

Si le point de contact supposé mobile sur N, sortait du lieu o avec la vitesse oc, la rotation «, autour de l’axe ou serait représentée par le produit on. tu. 11 s’ensuit que, pour une vitesse de

uc point prise égale à v, comme dans le premier cas, il vient immédiatement o

li = a* = on. W — 00.

oc oc

Prenons sur oala longueur oa’, égale à oa, et achevons le triangle oa’c', semblable au triangle o«c.

La rotation oa se décompose en deux autres, l’une oc' ayant pour axe la direction suivie , l’autre représentée par c'a', et ayant pour axe la droite oX. Celle-ci n’influe en rien sur la vitesse angulaire â x : on peut donc en faire abstraction et considérer exclusivement la rotation composante oc'. On a d’ailleurs

oc on oc

uc — oa . — = ou. — • — = on — oc = oe.

ou oc ou

On voit ainsi que les deux rotations considérées sont égales et de sens contraire, conformément à l’énonce du numéro précédent *.

1 Montrons, par anticipation, un exemple des ressources qu'offre notre méthode pour résoudre les questions de géométrie transcendante.

Reprenons les données du n° 33, en supposant, comme au n° 34, que les droites oX, oY soient deux caractéristiques coujuguées.

La droite Ti, entraînée par le point mj, tourne autour de l'axe oY avec une vitesse facile à déterminer, en se reportant aux déductions du n° 34, et représentée comme il suit

Fig. 33.

R sin i }

R étant, pour le point o, le rayon de courbure de la section N x et y l’angle que font entre elles les deux caractéristiques oX , oY.

Substituons les x aux y et réciproquement.

La droite T| est remplacée par une droite Uj tangente en m ( à la surface A et parallèle au plan N,. Il s’ensuit d'ailleurs que la droite Li

2" Des dérivées successives d’une fonction de plusieurs vuriabtes.

3Ï». Soit f (x, y) une fonction à deux variables; x t , y t deux valeurs quelconques déterminées de ces variables ; a, b les valeurs

tourue autour de l'axe oX avec une vitesse représentée par

R' sin if

R' étant, |K>ur le |Ktint o-, le rayon de courbure de la section N,.

Prenons, à partir du point o sur les droites oX, oV, deux longueurs op, oq l’une op égale ait quotient jp-jU- - , l’autre oq égale au quotient R ^ •

Si nous achevons le parallélogramme optq, la diagonale ot représente en direction , sens et grandeur la rotation du plan P supposé mobile avec le point ni| et tangent en ce point à la surface A.

Désignons par y] y' les angles que la direction oL fait avec les axes oX, «Y. Les per|>eudiculaires abaissées sur oL des |>oinls p et q sont représentées respectivement , la première par

ÿ sin y

pp — op SIU y = 777 — : ,

R sin q

la deuxième |>ar

x sin y'

qq' = wi sin y' = - — :

' ' R sm q

On voit d’ailleurs aisément que la vitesse angulaire de la directrice du IKiiut m, sur la ligue Ni est représentée par la somme de ces deux perpendiculaires.

Soit f (pour le (Mvint o) le rayon de courbure de la section N/î r = oc la vitesse du point »t ( , au sortir du lieu o (lig. 31); w la vitesse augulairc de la directrice du point ni/. On a d'abord

1 w t t y sin y x siny'\

^ p r oc \R' sin q R sin q / ’

et, en même temps (voir lig. 5t, page 143)

x sin q y sin q

(i) oc — — : ; :

sin y sin y

De là résulte, eu substituant,

sin* q sin 4 y' siu s y

L’équation (3) est l'équation polaire d’une ellipse ayant sou centre eu o et

correspondantes des dérivées partielles /,' (x , y), f\ (x, y). Nous avons, par hypothèse,

« = r.(*n »«) > 6 = fy(*o ?/i )•

Posons

(1) 3 = f(x,y) — ax — by,

et considérons la surface A, représentée par l’équation (1), dans un système quelconque où l’axe des z soit perpendiculaire à ceux des x et des y.

tu étant un point pris, comme on veut, sur la surface A, soient P et Q les deux sections planes qui se coupent en «t et qui sont respectivement parallèles, l’une P au plan des xx, l’autre Q au plan des zy. Si l’on désigne par a l’angle qu’une tangente à une section quelconque parallèle au plan des ex fait avec l’axe des x, on a généralement

(2) tg. « = f.(x, y) — a.

De là résulte pour la vitesse angulaire à y avec laquelle cette tangente tourne, lorsque son point de contact est en m sur la section P et qu’il se déplace suivant la section Q,

(3) «„= y !/)• cos. 1 * *.

Soit £ l’angle qu’une tangente à une section plane parallèle au plan des zy fait avec l’axe des y, on a, de même,

(4) tg. /^(x, y) — b,

pour rayon vecteur v — l/p. La considération de celte ellipse, connue sous le nom d’ indicatrice, et dont les droites oX, oY sont des diamètres conjugués, montre qu’en général, les caractéristiques conjuguées se confondent avec ces diamètres, et que les rayons de courbure des sections normales sont représentés par les carrés des rayons vecteurs correspondants. Nous reviendrons plus loin sur ces détails qu’il suffit ici d’indiquer.

’ On voit aisément comment les équations (2) , (3), (4), (3) se déduisent de ce qui précède et, aussi, comment on peut les établir directement par voie géométrique.

et, désignant par », lu vitesse angulaire avee laquelle tourne cette tangente lorsque son point de contact est en m sur la section Q et qu'il sc déplace suivant la section P :

(S) Ç. = x. f" fi , ( x , y ). cos 1

Supposons le point m déterminé par les valeurs

les équations (2) et (4) donnent

tg. o. — o, Ig. S = u.

Il en résulte que le plan, mené par le point m parallèlement au plan des xy, touche en ce point la surface A, et, par suite, que l’équation (5) du n° 33 devenant applicable, on a nécessairement

y.S x — = x.ây.

Mais, d'un autre côté, les équations (3) cl (3) donnent eu même temps

*» — ÿf'*.A x •> !/•)> é* = X -H.A X a 2/i)-

11 vieul donc en substituant, supprimant le facteur commun x.y et remplaçant par x, y les valeurs quelconques déterminées

■ L'équation fondamentale

peut s'établir à priori de la manière suivante :

On a, conformément à la règle du u" 8,

lim

/(x-t- ax, u) — f(r, y)

Ax

('* (x , IJ),

et remplaçant ;/ par y-¥- aij.

(2) . . lim «*+**•»+ -yl-n*!*-*:*») = r . (WAi/) .

AX

On déduit de là, en soustrayant membre à membre l'équation (I) de l'é-

Ou voil ainsi que, dans le cas de deux dérivations laites successivement par rapport à deux variables, le résultat définitif est indépendant de l'ordre suivi dans ees dérivations. Celte conséquence s’étend d’ellc-mêmc à un nombre quelconque de dérivations successives faites sur une même fonction de » variables. l)e là, le principe général énoncé comme il suit :

Quel que soit l'ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives , si l’ordiie seul ch a .\gk et que toutes choses soient égales d'ailleurs, le résultat définitif reste toujours le même.

quation (i) et divisant par Ay ■

I .. f(x-*-Ax, !/•+-*») — f(x,y-t-Mj)— f(x+xA, U) -*■ f Or , y)

liai

AX.&ij

/'/(J. !/-*- AU) — y)

Cela posé, pnisqur, par hypothèse, les quaulilés ax et Ay convergent eu même temps vers zéro, l'équation (3) devient

liai

Art- à .r, y-y- a y) — ftr. y-y- A y) — f{x- 1- A x, y)-y -f{x, y) ax. Ay

=fl,(x,y).

I.e premier membre de l'équution (t) resterait évidemment le même, si l'on répétait les o|iérations précédentes en opérant sur y, comme on l'a fait sur x et réciproquement.

De là résulte immédiatement :

Partant tle ce résultat et procédant directement sur la surrace représentée par l'équation

on a d'abord comme au u“ 33,

«J — ÿ y)- eos 5 <*» à = ifÿ, *(•£» IJ) eus* S,

et ensuite, eu égard à l'équation (3), de la présente note

UCr jr.*y

cos* S cos* a

De là sc déduit, comme conséquence immédiate, le théorème îles tanyiiites réciproques établi ci-i'ersu- n’ 33.