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Les conventions adoptées pour représenter les dérivées suecessives et partielles d’une fonction à plusieurs variables , sont les suivantes :

Soit

une fonction des variables x, y, w, etc. On écrit

et , généralement ,

le nombre des dérivations étant toujours marqué par l’indice supérieur, et leur ordre successif, ainsi que les variables auxquelles elles se rapportent , par les signes inférieurs.

3“ Des différentielles totales et partielles de tous les ordres.

ôG. Soient n variables lices entre elles par p relations : la différence n — p exprime le nombre des variables dont on peut disposer arbitrairement, soit en les faisant croître ou décroître avec uniformité, soit en établissant entre elles des relations quelconques exprimées ou sous-entendues. Les variables dont on dispose, et qu’on assujettit à croître ou décroître d'une manière uniforme, sont dites, indépendantes ; leurs différentielles du premier ordre sont des constantes, et, par suite, leurs différentielles des ordres supérieurs sont toutes égales à zéro.

Dans tous les cas, lors même qu’il y aurait autant d’équations simultanées que de variables moins une, on peut toujours introduire par la pensée une nouvelle variable, prise pour variable indépendante, et, afin que toutes les autres en deviennent fonction, concevoir au besoin une ou plusieurs relations arbitraires, que l’on ne détermine point aussi longtemps qu'on le juge convenable, et dont pourtant il est toujours permis de disposer. Ce

simple artifice est souvent d'un grand secours, soit pour faciliter les déductions , soit pour les éclairer davantage.

En se reportant au n° 27, il est aisé de voir que la différentielle d’une fonction h plusieurs variables est la somme des différentielles que l’on obtient en opérant tour à tour sur chaque variable, comme si elle variait seule, tandis que toutes les autres sont supposées constantes. Chacune des différentielles que l’on obtient successivement est dite différentielle partielle : leur somme est la différentielle totale de la fonction considérée.

Cela posé, montrons, par un exemple, comment on procède en général.

Soit une fonction à deux variables,

On a d'abord

(I) . . i — è,+ z,e=if M '(x,y)+ÿf,'(x, y), ou , ee qui revient au même, sous une autre forme,

121 * “ (I) ,lx * (|) ''»■

11 vient, en second lieu,

( + xf M (x,y) + ÿ f\(x, y),

ou, ce qui revient au même, la forme seule étant changée,

Il Importe de ne point perdre de vue que les expressions fractionnaires

sont de purs symlKiles et nnn pas des quotients,

’Oigitizecl 6y Googje

Et ainsi de suite, indéfiniment, les résultats obtenus pouvant s’appliquer a tous les cas possibles.

S'agit-il d'une fonction implicite

f{x, y) = cons".

Pour passer du cas général h celui dont il s’agit actuellement, il suffit de poser

z = cons",

et, par suite, de réduire à zéro les différentielles successives tlz, iPz, d s z, etc.

Considérons en particulier le cas où les variables x, y étant indépendantes , on les assujettit à croître ou îi décroître uniformément. Il vient alors

(5) . . . x = dx=cons", y = dy = cons",

et, par conséquent, pour toute valeur de n supérieure à l'unité,

Les formules (1), (3), etc., deviennent, en conséquence, z = z„ + z,

Les formules équivalentes (2), (4), etc., deviennent en même

Le symbole exprime le résultat de deux différentiations opérées successivement, 1a première en considérant y comme constant, la seconde en considérant comme constantes les deux quantités x et i.

temps,

On observera que l'hypothèse où nous venons de nous plaeer est restrictive. Ainsi, par exemple, s’il s’agil d’une surface ayant pour équation

par cela seul qu’on suppose les deux vitesses x et 1/ constantes, il en résulte que le rapport des accroissements simultanés bx et <iy est lui-même constant, et, par suite, que la variable y devient une fonction linéaire de la variable x. La conséquence est que les valeurs, exprimées ci-dessus pour les différentielles des ordres supérieurs, s’appliquent exclusivement aux sections planes faites dans la surface parallèlement à l’axe des z.

Il est visible que les déductions précédentes s'étendent d’cllesmêmes à un nombre quelconque de variables liées entre elles par une ou plusieurs équations. Il s'ensuit qu’on peut dès à présent effectuer la différentiation d’une fonction quelconque, et c’est, dans la simple application des règles exposées ci-dessus que se résout tout entier le calcul différentiel proprement dit.