RÉSUMÉ DES RÈGLES DU CALCUL DIFFÉRENTIEL F.T SIMPLIFICATIONS

37. Résumons les règles du calcul différentiel, et comme l’exposé de ces règles n’exige point tous les développements donnés précédemment, montrons les simplifications qu’il comporte.

Partant des principes établis n 0 * 3, 4, 5 et 6, on peut démontrer immédiatement les propositions des n"’ 2(5, 27, 28, 33 et 33, résumées comme il suit :

■1“ La différentielle d’une fonction de fonction s’obtient en prenant la dérivée de la fonction principale par rapport à la fonction secondaire considérée comme simple variable et en multipliant cette dérivée par la différentielle de la fonction secondaire.

2° La différentielle d’une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu’on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables, et en opérant tour à tour pour chaque élément distinct, comme s’il restait seul variable, tandis que tous les autres sont supposés constants.

3“ Quel que soit l’ordre dans lequel on effectue plusieurs dérivations successives, si l'ordre seul change, et que toutes choses soient égales, d’ailleurs , le résultat définitif reste toujours le même.

Cela fait, on est en mesure de résoudre, en général, toutes les questions relatives à la différentiation simple ou répétée d’une fonction quelconque à une ou plusieurs variables.

S'agit-il ensuite d’appliralions particulières? Pour les rendre aussi faciles que les opérations les plus simples de l'algèbre, une seule chose reste à déterminer : ce sont les différentielles qui correspondent à chacune des fonctions élémentaires.

On a vu comment la marche à suivre, pour la différentiation des fonctions élémentaires, peut être à la fois très-simple et trèsrapide , sans cesser néanmoins d’être purement géométrique. La même observation s’applique, en général, à tous les théorèmes dont nous avons donné la démonstration et sur lesquels nous nous sommes appuyé pour établir les règles dont on a besoin. Parmi ces théorèmes, il en est, deux moins simples que les autres : l’un a pour objet la différentiation des fonctions composées; l’autre est relatif à l’identité des résultats fournis par plusieurs dérivations successives dont l’ordre seul a été changé. Lorsqu’on veut, ainsi que nous l’avons fait, suivre ici la voie purement géométrique, il faut d’abord établir la propriété caractéristique du plan tangent à une surface et celle des tangentes réciproques : c’est ensuite, en se fondant sur ces propriétés que l’on en déduit les deux théorèmes rappelés ci-dessus. Il n’échappera point au lecteur que ces deux théorèmes peuvent, comme nous l'avons montré ', se déduire en quelques lignes du procédé général fourni par la méthode des limites et exposé géométriquement dans le n° 8. Ici donc, s’il y a en apparence quelque complication , il suffit pour la faire disparaître, d’emprunter le secours de la méthode des limites. Dès lors tout devient extrêmement simple, et c’est, sans la moindre difficulté, que l’on parvient directement aux deux équations fondamentales

Veutron, d'ailleurs, établir, comme conséquence immédiate, la propriété caractéristique du plan tangent et celle des tangentes conjuguées? Il ne reste plus qu’à considérer la surface représentée par l'équation

1 Voir les notes des n 0 ' 27 et 55.

et à donner, pour celte surface , l'interprétation géométrique des équations (1 ) et (2).

Nous avons déjà fait voir 1 comment l’équation (1) a pour traduction géométrique l’énoncé suivant:

Le plan tangent en un point d’une surface contient, en général, les tangentes « toutes tes courbes tracées sur la surface et passant par ce point.

Montrons ici comment l’équation (2) peut aussi se traduire géométriquement.

Soit A la surface représentée par l’équation

Par hypothèse, la surface A est rapportée à trois axes choisis comme on veut, sous la condition que l’axe des z soit perpendiculaire à chacun des deux autres.

m étant un point quelconque de la surface A, soient s x , s, les deux sections faites en ce point, la première par un plan parallèle aux zx, la deuxième par un plan parallèle aux zy.

Désignons par a l’angle que fait, avec l’axe des x, la droite T, assujettie à toucher en m la section s x . On a généralement

(<) 'g * = iï [x, y),

x, y étant les coordonnées du point m.

De là résulte, pour le cas où le point m sort du lien qu’il occupe en glissant sur la section s „ *,

(2) “ a== î/ f*.t(x, y)- cos* a,

et, dans cette formule, à exprime la vitesse de rotation avec laquelle la tangente T, s’écarte angulairement de sa direction primitive.

' Voir la note du n° 27.

Lorsqu'on différenlie dans cette hypothèse , nn doit considérer la variable x comme constante.

Soit C l’angle que fait avec l'axe des y la droite U v assujettie à toucher en m la section s r En désignant par è la vitesse de rotation avec laquelle la tangente U y s’écarte angulaircment de sa direction primitive, lorsque le point m sort du lieu qu’il occupe en glissant sur la section s,, on a comme tout à l’heure

(ô) C = x J.x, y), cos 1 2 C.

Supposons que le plan, qui touche en ni la surface A, soit parallèle un plan des .r y et que les vitesses x , y soient égales. Les angles a, S s’annulant tous les deux, les sections s t , s, deviennent des sections normales, et l’on voit aisément que l'égalité des dérivées secondes y), /,. , (x, y) implique comme consé-

quence immédiate la relation très-simple

Cela posé, si l’on désigne sous le nom de tangentes réciproques les tangentes T,, U,, qui se déterminent l’une par l’autre d’après les conditions mentionnées plus haut, on a l’énoncé suivant :

Lorsque deux tangentes réciproques sortent en même temps, et avec une égale vitesse, des sections normales qui les déterminent, leurs rotations autour des directions qu’elles suivent respectivement sont égales et de signe contraire

58. Veut-on procéder plus simplement encore? Veut-on établir toutes les règles de la différentiation, sans recourir à la méthode des limites, et sans emprunter d’autre secours que celui de la . géométrie plane? Voici comment la marche à suivre peut devenir en même temps la plus prompte et la plus facile.

Établissons d’abord la règle générale, qui comprend toutes les autres.

Soit s une fonction composée on complexe, dépendant à la fois

1 Voir au besoin la noie du n" 55. pour les éclaircissements que cel énoncé

succinct peut laisser à désirer.

■Sfj^retfbÿ'tàoogle

du deux variables x , y cl représentée par

Il s'agit de déterminer la différentielle i pour le eas général où les deux grandeurs x, y varient simultanément , l'une avce la vitesse x, l'autre avce la vitesse y.

Désignons par i, et par fj (x, y) la différentielle et la dérivée qu'on obtient en opérant sur l'équation (I) dans l'hypothèse ij = constante. De là résulte

(2) . 2 , = i fj{x, y).

On a de même, en désignant par z, et par /,' (x, y ) la différentielle cl la dérivée prises dans l’hypothèse x = constante,

Soient OX, OZ deux axes coordonnés. L’équation (l).élaul rapportée à ees axes, chaque valeur attribuée à y peut se combiner avec l’ensemble des valeurs admissibles pour x. En opérant ainsi, ou obtient, pour chaque valeur de la variable y, une ligne s complètement définie de forme et de position.

Soit e c' une détermination particulière affectée par la ligne s et correspondante à c ■ à une valeur quelconque déterminée de la ' variable y.

Représentons-nous la ligne s à 1 instant

0 précis où la variation continue de la gran-

f deur y la fait sortir du lieu ce' *. Chacun

La démonstration développe dans le texte peut être remplacée par les considérations suivantes, très-directes et très-simples.

Soit une ligne « assujettie i> rester dans un plan P et à s'y déplacer en changeant de forme.

m' étant un point suppose fixe sur la liyne s , désignons par U la tangente eu ce point, et par n le lieu qu'il occupe dans le plan P, à l'instant que l'on considère. Le point m' sortant , par hypothèse , du lieu n , ou peut choisir arbi-

des points de la ligne s peut être considéré comme sortant du lieu qu’il occupe sur ce' en glissant le long de l’ordonnée correspondante, et puisque, dans ce glissement, le point quelconque déterminé par l’abscisse x conserve cette même abscisse, il s’ensuit que la vitesse de ce point a pour expression générale

Cela posé, deux cas sont possibles, selon que la dérivée partielle

Irairement * la direction suivanulaquellc il est censé sortir de ce lieu , et déterminer, en conséquence , sa vitesse actuelle. Soit v' cette vitesse et a' la vitesse angulaire simultanée avec laquelle la droite D tourne autour du i>oint m'.

II est visible, que, abstraction faite du changement de forme qu’elle subit, la ligne s peut être considérée comme participant tout entière au mouvement de la droite D, c’est-à-dire comme tournant autour du point m' avec la vitesse a' et comme glissant dans le plan P avec la vitesse et rendue commune à tous scs iwints. Cela posé, s’il y a changement de forme, il ne peut plus résulter que d’un déplacement subi par les différents points de la ligne s par rapport à la droite D , celte droite étant regardée comme lixe et la ligne s comme assujettie à lui rester tangente au point m'.

Soit m un point mobile assujetti à décrire la ligne s avec la vitesse e, et sortant ainsi du lieu n en même temps que le point m'. Désignons par tria vitesse totale qui anime le point m dans le plan P, au sortir du lieu n.

D’après ce qui précède, il est évident que la vitesse u résulte des deux composantes v, /, de la même manière que si la liijne s persistait dans la forme qu'elle affecte à l'instant considéré.

S’agit-il maintenant de la directrice du point m sur la ligne s? Il est clair que, sans altérer en rien le mouvement angulaire de cette directrice , on peut toujours restreindre à la partie située en avant du point m le changement de

‘ Lorsqu'on se donne une détermination particulière de la ligne t et un point quelconque né supposé fixe sur cette ligne, toute droite fixe, qui est menée par le lieu actuel de ce point et que la ligne « ne cesse pas de rencontrer au sortir du lieu qu’elle occupe , peut être considérée comme fixant , par rapport au point wt', la direction qu’il suit en se déplaçant avec la ligne s, à l’origine du changement qu’elle subit. Si la ligne $ ne changeait pas de forme , le choix de celte droite ne cesserait point pour cela de rester arbitraire. Il s’ensuivrait seulement que pour toute direction choisie en dehors de celle qui correspondrait à l’invariabilité de forme , la ligne s devrait être considérée comme changeant en même temps de forme et de position. Cette circonstance ne modifie en rien les déductions suivantes.

( x > y) uc dépend pas de la variable x, ou qu'au contraire, elle en est dépendante.

Considérons d’abord le premier cas, celui où la dérivée f/ (x, y) ne dépend pas de la variable x. En ce cas, une même vitesse parallèle à l’axe OZ anime, en même temps, tous les points de la ligne s. La conséquence évidente est que cette ligne sort du lieu cd comme si elle était de forme invariable et qu’elle se mût par translation avec la vitesse i f parallèle à l’axe OZ.

Soit m un point mobile sur la ligne s cl déterminé en position

forme subi par la ligne n. On sait, d’ailleurs, que dans la description d’une ligue par un point , la vitesse angulaire de la directrice dépend de la courbure de la ligne au lieu occupé par le point décrivant, et non pas delà rapidité plus ou moins grande avec laquelle celle courbure varie dans le passage d’un lieu à un autre. De là résultent immédiatement les déductions suivantes :

1° La forme affectée par la ligne * en deçà du |>oint m' peut être regardée comme invariable à partir de l’instant ob le |toinl m sort du lieu n.

2° Si, plus tard, il y a changement de forme pour la partie de la ligne s située au delà du point m', ce changement n’a d’autre effet que de modifier la rapidité plus ou moins grande avec laquelle la courbure varie sur la ligne * à partir du point m'.

3° Lorsque le point m sort du lieu n , la directrice de ce point sur la ligne * tourne, par rapport à la droite D, avec la môme vitesse que si la ligne s persistait dans sa forme actuelle.

4° En désignant cette vitesse par w, la vitesse totale d avec laquelle la directrice du point m sur la ligne s tourne dans le plau P, au sortir du lieu n , est égale à la somme te -4- u' = i.

Les résultats qui précédent se résument en un théorème susceptible d’étre énoncé comme il suit :

Lorsqu'une ligne de forme incessamment variable est décrite par un point mobile, [étal de mouvement de ce point et celui de sa directrice sont tes mêmes que si la ligne persistait dans la forme qu'elle affecte à [ instant que [<m considère, rien, d'ailleurs, n 'étant changé ni dans la vitesse du lieu occupé sur la ligne par le point décrivant , ni dans la vitesse angulaire de la tangente en ce lieu.

La partie de cette démonstration qui se rap[>orle à la détermination de la vitesse totale u suffit pour qu’on puisse en déduire immédiatement la relation générale i =à, -t- ï„ et , comme conséquence de cette relation , l’égalité Unale «=«'-»- te. (Voir au besoin le texte du n° 58 et la première note du n" 51).)

pur les valeurs attribuées eu même temps, l'uuc à lu variable y, l'autre à lu variable x. Supposons d'abord le point m placé en n sur la ligne cc'. Lorsque les grandeurs x, y varient simultanément, la ligne s sort du lieu cc’ en se déplaçant par translation avec la vitesse z r commune à tous ses points. Il suit de là qu'elle communique au point m celte même vitesse. D’un autre côté, le point m glisse sur la ligne s comme si elle était invariable et fixe, c'est-à-dire comme si la grandeur y demeurait constante. De là résulte pour le point «i une vitesse propre , dirigée suivant la tangente en n à la ligne cc et ayant pour composante parallèle à l’axe OZ la vitesse i t . Celte composante s’ajoute à la vitesse x y , de manière à former la vitesse totale z : on a donc, en conséquence ,

(b). . . . z = z, -t- i, = x f: (x, y) + il f,' (x, y).

Considérons, en second lieu, le eus où la dérivée f' y ' (x, y) dépend de la variable x, et désignons par'nt' le point de la ligne s qui sort du lieu n en glissant sur l’ordonnée pn. En cc cas, la vitesse i, est variable avee x pour les différents points de la ligne cc’. Rien, d’ailleurs, n'est changé ni dans la vitesse s y avec laquelle le point ni glisse sur l’ordonnée pn au sortir du lieu n, ni dans la vitesse z r avec laquelle le point «i s’écarte en même temps du point ni. La seule modification consiste en ce que la directrice du point m sur la lignes, au lieu de tourner, comme dans le premier cas, avec la vitesse qui correspond à la courbure affectée en n par la ligne cc', tourne avec cette même vitesse accrue ou diminuée d’une certaine quantité *. Or, ici, il n’importe en rien que cette directrice tourne plus ou moins vite: cela n’altère ni sa direction première,

' On |>cut se représenter la ligne cc' connue glissant, sans changer de forme, avec la vitesse du point m' sur l’ordonnée pn, et comme tournant en même temps autour de ce |>oint de manière à ramener le point m sur sa trajectoire. Cette rotation devant être prise à l’instant précis oh le point m sort du lieu n et se confond, en conséquence, avec le point m', il est visible qu’elle n'altère, ni eu direction, ni eu grandeur, la vitesse actuelle du point m sur lu ligue cc'.