Précisons davantage ces premières données fondamentales

Soit X une grandeur quelconque continûment variable et x ou dx sa difFérentielJe.

Prenons une droite D et, sur cette droite, a partir d'un point fixe Of une longueur oni.

Par hypothèse , la longueur om est V équivalent numérique de la grandeur x, c'est-à-dire qu'elle se compose avec

Fig. U. l'unité linéaire comme la grandeur x se compose

m avec son unité propre. Il en résulte que la longueur om est comme la grandeur x incessamment variable, et, conséquemment, que le point m se trouve assujetti à glisser continûment sur la droite D.

Cela posé, la différentielle x ou dx est la vitesse du point m sur la droite D.

Sans rien changer à ce qui précède, on peut substituer à la droite D une ligne quelconque. On dirait alors et plus généralement :

La différentielle x ou dx est la vitesse du point m sur sa trajectoire.

Soit y une autre grandeur quelconque dépendant de la pre-

laière et supposée comme elle incessamment variable* Nous pouvons abréger et de même que nous sommes conduit à résumer comme il sait la définition précédente :

La différentielle xoudxestla vitesse du point gui décrit la lour gmur substituée comme Quittaient numérique à la grandeur x,

nous dirons simplement :

La différentielle y ou dy est la vitesse du point qui décrit la lonr gueur substituée comme équivalent numérique d la grandeur y.

Cette définition maintenant bien comprise est tout à fait générale.

La variable x est dite indépendante lorsqu'on en dispose et qu'on la fait croître ou décroître uniformément. En ce cas, la vitesse X est constante et choisie d'ailleurs comme on veut.

La fonction y dépend , par hypothèse , de la variable x. Il s'ensuit que la vitesse y dépend de la vitesse x, et qu'en général , elle est incessamment variable, alors même que la vitesse x est supposée constante.

Partant de là, voici quel est l'objet du calcul différentiel proprement dit :

Étant données la variable x et la fonction y, déterminer, pour chaque valmr de la variable x, la relation qui s'établit entre les vitesses simultanées correspondantes x, y,

A côté de ce problème vient naturellement se poser le problème inverse :

£tant donnée la relation gémrale qui subsiste entre les vitesses simultanées x, y, déterminer l'un par l'autre les accroissements simultanés produits par ces vitesses dans les grandeurs correspondantes y et X,

Ce problème inverse peut être considéré comme l'objet du ccdeut intégral réduit à son expression la plus simple.

Ces préliminaires établis, abordons immédiatement l'exposé des rèf^es du ealeul différentieL Chemin faisant, nous indiquerons^ pour

\^ C$9 1<?$ plus simplesy commeot chacune de ces règles implique, par voie de réciprocité, une règle correspondante du calcul intégral. $, Nous savom déjà que, sans changer en rien les expressions numériques introduites dans le calcul, on peut appliquer directement aux grandeurs données les résultats obtenus pour des Iongqeurs équivalentes et réciproquement. De là résultent immédiatement les déductions suivantes, où Ton étend à des grandeurs quelconques les relations énoncées n**' i et 3, eu ce qui concerne la description simultanée de plusieurs longueurs et les vitesses correspondantes des points décrivants :

l"* c étant une grandeur constante f la vitesse ^ c est toujours nulle et réciproquement.

2<^ y étant, um grandeur continûment variable , la vitesse y n'est pas nulle en général^ elle est positive ou négative, selon que la grandeur y croit ou décroît.

3° Lorsqu'il existe entre deux grandeurs incessamment variables , y et X, un ntppQri constant a, le même rupport s'établit entre les vitesses simultanées x et y. (N** 2, règle i.)

y ==* ax donne, en conséquence, y = air;

i"" Lorsqu'il existe entre les vitesses mmultanées y, x «m rap* port constant Bi y le mime rapport subsieie entre les accroissements simultanés des grandeurs correspondantes y et x» Ces ooeroîs^ements s'e^^priment en faisant précéder de la lettre s les signes représentatifs des grandeurs considéras. (N^ 2, règle â.)

y =:z ax donne, en conséquence, ày === a^x;

8* Lorsqu'il existe entre trois grandeurs incessamment variables, X, y, z, une relation telle que l'une soit constamment égale à la somme ou à la différence des deux autres, la même relation subsiste entre les vitesses correspondantes x, y, z. (N* 2, règle 3,)

z = y dz X donne, en conséquence j^ z = y db x^

* Le lecteur ne perdra pas de vue que les mots vUeese «t êiffirentieUe sont ici tQttI à f^t ^yuonyWiQs.

6® Lorsqu'il existe entre les vitesses simultanées x , y, z une relation telle que l'une soit constamment égale à la somme ou à la différence des deux autres , la même relation subsiste entre les accroissements simultanés des gratideurs correspondantes X, y, z. (N°2, règle 3.)

z = y dt x donne y en conséquence y ajz = Ay ± Ax;

7° Les- règles \^Z^^ du présent numéro s'étendent d'ellesmêmes à un nombre quelconque de variables z, y, x, etc^ combinées ou non avec des constantes a, b, c, etc.

z^=a -f- 6y -t- ex -t- etc. donne, en conséquence, z=by -^ ex -h etc<;

8° Les règles 4 ef 6 s'étendent de la même manière :

z=bi/ -4- ex H- etc. donne, en conséquence, ^z=:bAy -♦- eAx -*- etc.

Théorème fondamental du calcul différentiel.

6. Avant de poursuivre cette première série d'applications, montrons, en général, comment toute relation établie entre deux grandeurs continûment variables, implique une relation correspondante entre les différentielles de ces mêmes grandeurs, et réciproquement.

Soient deux grandeurs quelconques, fonctions l'une de l'autre, et variant ensemble d'une manière continue.

Considérons ces grandeurs lorsqu'après avoir acquis en même temps l'une la valeur quelconque x, l'autre la valeur correspondante y, elles s'écartent de ces valeurs en variant continûment et simultanément.

Par hypothèse , on a généralement

chaque valeur de x déterminant pour y une valeur correspondante, et réciproquement.

Soient Pw, Qn deux longueurs prises à partir des points P et Q

Fig, 24.

sur deux droites parallèles PX, QY, et substituées, coniaie équivalents numériques, FuAe à la grandeur x, Tautre à la grandeur y.

A chaque position du point m sur la droite PX correspond une position déterminée du point n sur la droite QY. Concevons une droite mobile assujettie à passer constamment par les points m et », tandis que ces points glissent simultanément Tun sur PX, Tautre sur QY. On sait que tout déplacement d'une droite dans un plan conmience , en général , par rotation autour d'un certain point désigné sous le nom de centre instantané de rotation ^ Cela posé, puisque chaque position du point m détermine une position correspondante de la droite mn, il en résulte qu'elle détermine en même temps la position correspondante du point o, centre instantané de rotation de la droite mn.

Du centre o abaissons sur la droite mn la perpendiculaire oa. Par les points m et n élevons sur les droites PX, QY deux perpendiculaires mpy nq et prolongeons-les jusqu'à leur rencontre en p et q avec la droite oa,

A Forigine de son déplacement, la droite mn peut être considérée indifféremment soit comme tournant autour du point o avec une certaine vitesse angulaire, soit comme tournant avec cette même vitesse angulaire autour d'un point quelconque de la droite oa, et glissant en même temps sur elle-même avec la vitesse effective du point pris pour centre de rotation.

Soit « la vitesse angulaire communiquée à la droite mn et correspondante aux vitesses actuelles et simultanées x, y des points m et n sur les droites PX, QY. Tout se passe k l'origine du déplacement comme si la droite mn tournait autour du centre o avec

< Voir, au besoîD, les numéros 11, 12, 13 de la première partie, pages 37, 38 et suivantes.

la vitesse û>, ou bien que, tournant avec cette même vitesse autour d'un point quelconque de la droite oa, elle glissât en même temps sur elle-même avec une certaine vitesse convenablement déterminée; mais, quelle que soit cette vitesse de glissement, il est visible qu'elle n'altère en rien ni les positions, ni, par conséquent, les vitesses des points m et n sur les droites PX, QY. On peut donc en faire complètement abstraction , et considérer la droite mn comme tournant avec la vitesse c», soit autour du point p, soit autour du point q.

En prenant le point p pour centre de rotation de la droite mobile mn , il vient immédiatement :

se

== ym. w

En prenant le

point q,

on a

de même

De là résulte

SS3 qn. u.

qn pm

Nous savions déjà que les longueurs jom^ qn dépendent exclusi veulent de. la position du poiat m sur la droite PX, c'est-àdire de la valeur affectée par la grandeur x. La dernière équation iH^us montre que, pour chaque ét9.t particulier de cçtte grandeur, le rapport des vitesses correspondantes et simultanées ^jf, x ^ecte» çn généçaU uue v^lçur déterminée et unique.

Concluons que Von peut attribuer indifféremment à eu vitesse x une valeur quelconque , constante ou variable. Dans tous les cas , le rapport ? reste toujours le même pour une même valeur affectée par la grandeur x, et Von a généralement

y = x.f'{xU

r (x) étaîît une fonction qui dérive de la fonction donnée et qui dépend exclusivement de la variable x.

La fonction f'{x) prend le nom de fonction dérivée. On rappelle

SOU origiue et en même temps on la distingue de ]a fonction primitive f(x)^ en lui attribuant la même caractéristique affectée d'un indice.

I^ quantité f{x) étant le facteur par lequel il faut multiplier la différentielle x ou dx pour obtenir la valeur correspondante de la différentielle y ou dy, on la désigne aussi sous le nom de coefficient différentieL

On voit par ce qui précède que l'objet du calcul diff'êrentiel proprement dit peut être considéré comme se réduisant à lu détermination de la dérivée d'une fonction quelconque ; à ce point de vue, il se résout en ce qu'on appelle le calcul des dérivées ou des fonctions dérivées.