Nous venons d'établir que l'équation

implique comme conséquence générale la relation suivante :

m if = ^r{xY

Réciproquement étant donnée l'équation

(5) V = if (x),

si l'on désigne par f[x) la fonction qui a pour dérivée ^ (x) , on peut en conclure immédiatement :

(4) Ay = A f[x).

En effet, si l'on représente par u la fonction /(x), on a d'abord

u « f(x), et par suite

Mais, par hypothèse, f(x) est précisément égale k f(x); on peut donc écrire aussi

M as i ^ (x).

(100 ) De là résulte , eu égard à Féquatiou (5) ,

îjf = li. . •

Les vitesses y, û étant toujours égales pour de mêmes valeurs attribuées de part et d'autre à x et a; > il est évident que la même égalité subsiste nécessairement entre les accroissements simultanés des grandeurs correspondantes y et te. Il vient donc, conformément à la règle (4) du n"* 5,

Ay =s Aw = ù.f\x), C. Q. F. D,

On voit par là comment la question générale des intégrations , désignées sous le nom de quadratures , se ramène à la considération très-simple de trois longueurs ^x, ày, àu décrites simultanément par trois points mobiles. A chaque position du point qui décrit la longueur àx correspond, pour chacun des deux antres points, une seule et même vitesse. La conséquence évidente est que les longueurs ày et àu décrites en même temps que la longueur àx sont constamment égales.

Du procédé général fourni par la méthode des limites pour la détermination des fonctions dérivées.

8. Le procédé que nous allons exposer ne nous est pas nécessaire; néanmoins nous avons plusieurs motifs pour ne pas le passer sous silence. En certains cas, il peut être plus simple ou plus rapide que la voie purement géométrique. Déjà connu des géomètres, il fait immédiatement ressortir la généralité absolue et l'extension sans bornes que comporte notre propre méthode. Il fournit, d'ailleurs, des moyens de contrôle et de vérification qui, s'ils ne sont point indispensables, ont cependant leurs avantages, ne fût-ce qu'à raison des points de vue multiples sous lesquels il convient quelquefois de présenter et de résoudre une même question.

Soit

une fonction quelconque supposée continue et dont on se propose de déterminer la dérivée /"' {x).

Considérons les longueurs substituées comme équivalents numériques à deux accroissements quelconques simultanés Ay, ax.

Soient tjr, x, les vitesses simultanées des points qui décrivent ces longueurs.

Si le rapport ? demeurait invariable à partir de l'origine des accroissements ày, àXy on aurait, conformément à la règle (4) du n° 5 ,

tï ^ i,

àX X " ' • '. ■

Le rapport ^ n'étant pas en général constant, mais variant au contraire incessamment dans Fintervalle ax, on peut prendre cet intervalle assez petit pour que le rapport y soit toujours croissant ou toujours décroissant. On peut d'ailleurs, ainsi que nous l'avons vu, attribuer à x une valeur constante. Dans tous les cas, si nous représentons par ^- la valeur initiale du rapport | et par a ? le changement subi par ce rapport dans Fintervalle ax, on a évidemment

^y < yo y

ou — -♦- A -.

AX > Xo X

selon que le rapport ? croissant ou décroissant dans l'intervalle AX, la quantité a? est positive ou négative.

On"a d'ailleurs en même temps et avec la même évidence

ày > Vo

— ^ ou -7-.

AX <^ Xo

De là résulte en général

ti\ ^y yo .y

AX Xj, X

fi étant une quantité comprise entre zéro et Funité.

Cela posé, le rapport? étant, par hypothèse, incessamment

variable, il s^ensuit que ce rapport varie continûment, et il suffit de resserrer indëfiniment l'intervalle ax pour que l'accroissement A^ se rapproche indéfiniment de zéro.

L'équation (4) prouve que le rapport des accroissements Ay, ax comporte, en général , un développement composé de deux parties essentiellement distinctes : la première est indépendante de l'étendue attribuée à l'intervalle ax; la seconde décroît indéfiniment et converge vers zéro avec cet intervalle. Pour obtenir isolément la première, il faut supprimer dans le développement tous les termes qui dépendent de Tintervalle ax et qui diminuent avec cet intervalle. Or cette première partie -est précisément la dérivée cherchée, et, en général, il suifit d'annuler l'intervalle Ax pour annuler en même temps tous les termes à supprimer. On voit donc aisément comment la recherche de la dérivée d'une fonction se ramène à la formation d'un développement dont on ne conserve que les termes indépendants de la quantité ax et dont on fait disparaître les autres en annulant cette même quantité.

De là résulte comme expression générale du procédé fourni par la méthode des limites pour la recherche des fonctions dérivées , l'équation fondamentale établie ci-dessus et réductible à la forme suivante :

(2) .... . ? = r(x) = lim. ^.