X AX

En écrivant l'équation sous cette forme, il ne faut point perdre de vue que les valeurs simultanées x, x, y sont celles qui correspondent à l'origine des accroissements ax et ^y.

Détermination géométrique de la limite vers laquelle converge le rapport de deux variables qui tendent en même temps vers zéro.

9. Reportons-nous aux données du n^ 6 et considérons en particulier deux positions de la droite mobile, l'une mn supposée quelconque, l'autre PQ correspondante aux deux valeurs simultanées

•Soil i le point où vont se couper les droites mn, PQ. On a évidemment :

Pi

Qn Pm

Fig. 25.

Nous savons en quoi consiste , >r pour la position quelconque mn, rétat de mouvement de la droite mobile. Cet état se compose d'une rotation et d'un glissement simultanés, la droite tournant autour du point a et glissant en même temps sur elle-même. Concevons une deuxième droite assujettie à coïncider toujours avec la droite mobile, mais dépourvue d'ailleurs de tout glissement. Soit D cette autre droite. Il est visible que le point a doit être considéré comme glissant sur la droite D, tandis que la droite D tourne autour du point a , tous deux simultanément et continûment. La conséquence est que le point a décrit, en général, une courbe, et que la tangente à cette courbe, en chaque position du point a, est la position correspondante de la droite mn.

Soit ba la courbe dont il s'agit; c le centre instantané de rotation qui correspond à la position PQ de la droite mobile; 6 la projection sur PQ du centre c. De même que la courbe 5a touche en a la droite mn , de même elle touche en 6 la droite PQ.

Imaginons que la droite D soit ramenée continûment de la position- ntn à la position PQ. Les points a et t se déplacent simultanément, l'un sur l'arc ab, l'autre sur la droite PQ, et tous deux finissent en même temps par se confondre en 6. Il suit de là que, tandis que les deux longueurs Qn et Pm convergent simultanément vers zéro , leur rapport converge en même temps vers la limite ^• Soient Xq, t/o les vitesses simultanées des points m et n au sortir

( 104 ) des positions P et Q, on a, conformément aux déductions du n""^,

Qft y.\ P6 xo'

De là résulte , en conséquence,

(V ^*"™ = iil = ~'

X Vb Xo

Le principe exprimé par l'équation (1) peut s^énoncer de la manière suivante :

Lorsque deux variables convergent simultanément vers zéro , leur rapport converge en même temps vers une certaine limite.

Cette limite est le rapport des valetirs que les différentielles des variables considérées affectent respectivement y lorsque ces variables s^annulent.

Cela posé, étant donné la fonction

soient ax et A^ deux accroissements quelconques simultanés des variables x et y- Quels que soient ces accroissements , ils satisfont toujours et nécessairement à la condition de convei^er en même temps vers zéro. Conduons que la déduction précédente leur est constamment applicable et qu'elle a , pour traduction algébrique, réquation générale

(2) Jim ^ :« ^ « /-'(x).