Soit .une fonction quelconque

De là résulte, en général,

La fonction f (x) est complètement déterminée par cela seul qu'elle exprime , pour une fonction donnée , y = /" (ar) , le rapport des vitesses correspondantes et simultanées t/, x. Elle prend, par

rapport à la fonction dont elle dérive ainsi ^ ]e nom de fonction dérivée. On rappelle son origine et en même temps on la distingue de la fonction primitive, en lui attribuant la même caractéristique affectée d'un accent.

Cela posé, soit y une fonction de x déterminée parles équations simultanées

y = F(tO, u =» <r{x).

De la résulte

et il s'agit d'établir la relation existant entre les vitesses simultanées iy^ X. On a directement,

et, par suite,

Ce résultat peut s'exprimer généralement comme il suit :

La différentielle d'une fonction de fonction s'obtient en prenant la dérivée de la fonction principale par rapport à la fonction secondaire considérée comme simple variable, et en multipliant cette dérivée par la différentielle de la fonction secondaire,

La règle que nous venons de formuler s'étend d'elle-même au cas où la fonction dite secondaire serait une fonction de fonction, et, ainsi de suite indéfiniment.

Différentiation des fonctions composées *.

NB, — Au lieu de procéder comme il suit , il est plus simple de passer les no» 27, 28, et d'intercaler, à leur place, le n» 58.

27. Soit z une fonction composée ou complexe, dépendant à la * Sî Ton yeut abréger et s'en tenir exclusivement aux ressources offertes

fois de deux variables x, y, et représcntëe par (1). ...... z = f{Xy y).

On demande de déterminer la différentielle i pour le cas général où les deux grandeurs x, y varient simultanément.

Désignons par A la surface que l'équation (1) détermine par rapport à trois axes coordonnés OX, OY, OZ.

Soit,

C une ligne tracée sur la surface A et prise pour génératrice de cette surface;

m un point mobile assujetti à glisser sur la ligne G pendant la génération de la surface A ;

u la vitesse attribuée au point m sur la ligne C.

Dans le déplacement continu de la ligne C, deux cas sont possibles, selon que cette ligne change de position sans changer de forme 9 ou qu'elle change en même temps de forme et de posî^ tion.

Supposons d'abord la ligne C de forme invariable.

En ce cas, on peut toujours et, à chaque instant, considérer le mouvement de la ligne G comme se composant de deux mouvements simultanés et distincts , Fun de rotation autour du point m, l'autre de translation ^ Soit t; la vitesse actuelle du point m sur

par la géométrie plane, on peul, avec avantage, remplacer le n«> 27 par le n«38.

^ Soit M le point de la ligne G qui coïncide avec le point m à Vinstant que Con considère y et D| la touchante en ce point. Représentons~nous les rayons vecteurs allant du point a^ aux autres points de la ligne G. Lorsque la ligne G change de position sans changer de forme, ces rayons forment, avec la ligne G et la droite D|, un système invariable. Lorsque la ligne G change de forme en même temps que de position, on peut dire de la droite D ce que nous avons dit plus haut de la ligne G, à savoir, que la droite D| est animée de deux mouvements simultanés, Tun de rotation autour du point m, l'autre de translation. S'agit-il ensuite de la ligne G? Pour tenir compte à la fois des deux changements qu'elle subit à partir de Hnstant considéré, il suifit d'attribuer à chacun des rayons vecteurs allant du point At aux autres points de la ligne C,

la surface A. Celte vitesse ne peut ëvidemiueiit dépendre en aucune façon de la rotation de la ligne C autour du point m. Il s'ensuit donc qu'elle résulte exclusivement de la translation mentionnée ci-dessus et du glissement du point m sur la ligne C.

Supposons, en second lieu, que la ligne G change de forme en même temps qu'elle change de position.

D étant la directrice du point m sur la ligne G , il suffit de substituer à la ligne C la droite D pour que les mêmes déductions soient littéralement applicables et subsistent ainsi généralement

Désignons par m- le point de la ligne C qui coïncide avec le point m à Finstant que Ton considère. Les composantes de la vitesse V sont dirigées respectivement, l'une suivant la tangente à la trajectoire du point /k, l'autre suivant la tangente à la ligne G. Soit P le plan déterminé par ces deux tangentes, et T la droite suivant laquelle est dirigée la vitesse v. Il est visible que la droite T est nécessairement située dans le plan P. On voit d'ailleurs que, suivant la valeur attribuée à la vitesse u du point m sur la ligne G, la droite T peut prendre dans le plan P toutes les directions imaginables. De là résulte évidemment la conclusion suivante :

Les tangentes à toutes les lignes tracées sur la surface A et pas-

i^ rétat de mouvement de la droite Di ; â» un certain glissement sur lui-même *; 5<> une rotation particulière autour du point V*

Gela posé, il est visible que la vitesse du point m, au sortir du lieu fj^j n'est modifiée ni en grandeur ni en direction par le changement de fonne de la ligne G. Gette vitesse est la même que si, à partir de rinstant considéré, la ligne G persistait dans la forme qu'elle affecte à ce même instant. Elle est la même que si le point m sortait du lieu M en glissant sur la droite Di avec le degré de rapidité qu'on lui attribue sur la ligne G. Ces simples remarques per« mettent de considérer le cas oit la ligne G change en même temps de forme et de position, comme immédiatement réductible à celui où cette ligne change de position sans changer de forme.

" Ce glissement correspond, pour chaque rayon vecteur, au changement de grandeur qu'il peut avoir à subir, comme conséquence du changement de forme de la ligne G. On ne perdra pas de vue que l'état de mouvement de la droite D| se compose d'une rotation autour du point \l et -d'une translation qui n'est autre que la vitesse actuelle de ce point rendue commune à tous les autres.

mul par le point m sont situées , en général , dans un seul et même plan ^

Sans rien changer à ce qui précède, soient x, y, z les coordonnées du point m. Les composantes de la vitesse v parallèles aux axes OX. OY, OZ, sont respectivement ôt, y, i. Considérons les deux sections s, s' faites en m parallèlement aux plans des zx et des zy, D, D' étant les droites qui touchent en m les sections s, s', nous savons que le plan de ces droites contient la direction de la vitesse v, et qu'en conséquence 5 cette vitesse est décomposable en deux autres a, a' respectivement dirigées, Tune suivant la droite D, Tautre suivant la droite D'. Si nous désignons par i^^ la valeur déduite de l'équation (i) en opérant sur z dans l'hypothèse y == constante, il est visible que la vitesse a se décompose en deux autres, l'une x, l'autre i,. Si nous désignons de même par i, la valeur déduite de l'équation (i) en opérant sur jz dans l'hypothèse X = constante , il est visible que la vitesse a' se décompose en deux autres Tune y, l'autre Zy, Concluons que la composante de la vitesse v parallèle à oz peut être exprimée indifféremment soit par i, soit parla somme algébrique^des deux vitesses simultanées i, et Zy, De là résulte immédiatement

(2). . . . z = z,-*- Zy = xf;(x,y) + yfy'(x,y)\

L'équation (i), impliquant comme conséquence Téquation (2), il en résulte, pour les jfbnctîons composées ou complexes , une règle

^ La déHKmstrati0Q suppose qu'H y a contiffliité autour du point ft. Ëlie suppose , en outre , que , dans la génératioB de la smfaee A par la ligae 0, le point M est animé d^une certaine vitesse, différente de zéro et non dirigée smvaut la géaératrioe. On voit aisànentque ces conditions sobsistent en général^ et qu^eUes ne peuvent cesser d'être rempties qu'en certains points singuliers de la surface A.

* Dans les expressions de la forme

Zmy U{3C,y), ây, fy'{x, y),

rindice inférieur exprime celle des variables à laquelle Topération «iécUiée se rapporte, les autres variables étast oonsiidérées comme constantes.

générale qui se combine arec les précédentes et comprend ainsi tous les cas possibles d'application. Cette règle peut s'énoncer comme il suit :

La différentielle d'une fonction composée ou complexe est la somme des différentielles qu'on obtient en distinguant dans la fonction ses éléments variables y et en opérant successivement pour chaque élément distinct y commue s'il était seul variable^ tandis que tous les autres sont supposés constants ^

* Le procédé foarni par la méthode des limites conduit directement et trèssimplement à ce résultat.

Observons d'abord que la limite du produit de plusieurs facteurs est égale au produit des limites respectives de ces mêmes facteurs.

Gela posé, soit la relation générale

Par hypothèse les grandeurs x , y varient en même temps et avec coutKiHiilÀ I>e là résulte entre œs grandeurs une relation qui peut é|re déterminée ou arbitraire, mais qui , dans tous les cas, peut s'exprimer de la manière suivante:

L'équation (i) devient, eu égard à Téquation (2),

t3) « — /Xa?, f{x) = F(a?),

et Ton en déduit, conformément à la formule (2) du n^ 8,

% AF(a?) ,. f(x•¥'àx,y-^^y)—f(X'*-^x,y)-^f{x-^^x,y)—f{x,y) -7 = lim "^ — = lim • -— ' ■ •

X àX AX

De là résulte, en premier lieu, à ,. f{a>^àx,y^^y)-f{x^Ax,y) ày ,. f{x^ àx,y)'-f{x,y)

X â^y aX aX,

en second lieu,

et, par suite,

(4) z =zy fy'{x,y)-{' x.fj{x,y).

Veut -on déduire de l'équation (4) la propriété caractéristique du i^

Montrons par un exemple comment la règle qui >ient d'être formulée se combine avec celle du n^ â6 , et ramène ainsi toutes les opérations du calcul différentiel à la différcntiation des fonctions élémentaire^.

Soit

y = X* sin Ixy

l étant la caractéristique du système des logarithmes népériens. Si nous posons

y ssz x' sin ti,

Ungent? Il saffit de se reporter à la sarface représentée par réquation (1) daus un système quelconque d'axes coordonnés, et de considérer, pour un même point quelconque m de cette surface , les trois tangentes situées respectivement, la première dans un plan parallèle waxzx, la deuxième dans un plan parallèle aux zy, la troisième dans un plan quelconque intermédiaire.

Transportons Torigine au point m et, sur la dernière des trois tangentes mentionnées tout à Theure, prenons un point n, dont les coordonnées soient respectivement z=^z, y = y, x=sx,X Tabscisse x correspond pour la première tangente une ordonnée i« déterminée par la relation

i» = X fi {x, y);

à Tabscisse y correspond de même pour la deuxième tangente une ordonnée hy déterminée par la relation

Zs^yfi(x,y),

Cela posé, il est aisé de voir que la relation générale

résultant de réquation (4), Implique comme conséquence immédiate la déduction suivante :

Les trois tangentes considérées sont dans un seul et même plan. On voit d'ailleurs qu'en disposant du rapport ^, on peut changer comme on veut la position du plan intermédiaire dans lequel est située la troisième tangente. De là donc résulte aussi cet énoncé général :

Le plan tangent en un point dune surface contient, en général,' les tan^ {fentes à toutes les courbes tracées' sur la surface et passant par ce point.

( 129 ) nous en déduirons d'une manière générale

y = i-2x*"~* sin u -♦- i. x^. Ix, siu w. 4- wx- cos w.

De là résulte, en remplaçant z par x, et w par Ixy

y = X (x* sin /x -f- x* /x. sin /x -f- x*~* cos /x).

28. Soit une surface A; un point de cette surface; OX, OY, OZ , trois droites menées par le point et non situées dans un même plan ; OL une droite quelconque tracée par le point dans le plan XOY.

Prenons les droites OX, OY,' OZ pour axes coordonnés, et, considérant les sections faites dans la surface A par les plans ZOX, ZOY, ZOL, désignons-les respectivement la 1'* par Z,, la â"» par Z,,, la dernière par Z{.

Soient m,, m^^ nit trois points qui partent en même temps du point et qui décrivent simultanément, le l"la section Z., le 2"« la section Z„ le 3"* la section Z^.

Le mouvement de ces trois points pouvant être quelconque, supposons -le réglé de manière que les points m^, m^, m, aient toujours même projection, les deux premiers sur Taxe des x, les deux derniers sur Taxe des y.

Concevons trois droites mobiles T^ T^,, T| assujetties à rester parallèles au plan ZOX et à toucher la surface A, la droite T, en m^, la droite Ty en m^, la droite T^ en m,.

* Xy y étant les coordonnées du point nii dans le plan XOY, et iZ Tangle que la droite T| fait avec Taxe des x, on a généralement

De là résulte, conformément à l'équation (â) du numéro qui précède :

à = «, ^-' ij, = a; ç,(x, y) -^ y^y [x, y) \

Appliquée au point , Fëquation (2) exprime la propriété suivante :

A l'origine commune du déplacement simultané des trois points nij,, m^, n)/, la vitesse angulaire de la tangente T/ est la somme des vitesses angulaires des tangentes T« et Ty.

Résumé des résultats précédents.

29. Les notions qui précèdent suïlîsent pour que, dans le cas d'une fonction quelconque simple ou composée,

on puisse déterminer la relation correspondante.

flcVl -4-. yVy -f- iV^ -I- etc. = 0.

Elles suffisent également pour que, étant donnée la relation

(0 y = X f(oc),

on puisse en déduire la relation réciproque (2) Ay « A f{x),

* Soit t; la vitesse actuelle du point nu sur sa trajectoire;

X, y, les composantes de la vitesse v dans le plan XOY;

/jt. le point de la surface A qui coïncide avec le point tni, à l'instant que Ton considère j

Sx , Sy les sections que déterminent, dans la surface A , deux plans menés par le point a* , l'un parallèlement aux zx , l'autre parallèlement aux zy.

Cela posé, voici quelle est la signification précise et générale des symboles âx, ây.

àx est la valeur affectée par « dans T hypothèse oîi le point m^ sortirait du lieu M suivant la section Sx , la vitesse x n'étant pas changée.

ày est la valeur affectée par à dam Vhypothèse où le point mi sortirait du lieu fj- suivant la section Sy, la vitesse if n'étant pas changée.

toutes les l'ois que riuspectioii de la dérivée ^ {x) permet de reconnaître la fonction primitive correspondante f{x).

Pour compléter cette dernière solution, nous allons montrer comment on peut, dans tous les cas, déduire de Féquatiou (i), sinon Féquation (â)^ du moins une représentation géométrique équivalente.

f (x) étant, par hypothèse , une fonction de la variable x entièrement connue, imaginons qu'elle représente l'ordonnée z d'une courbe rapportée à des axes coordonnés rectangulaires et ayant pour équation

Fig. 30.

Soit BE cette courbe; si l'on désigne par (t l'aire comprise entre la courbe BE, l'axe des x et deux ordonnées, l'une fiKC^ l'autre mobile, on a généralement ^

<T = xz = J:,f(x).

De là résulte en vertu de l'équa- X tion(i)

' Soit oam un triangle limité par deux droites fixes oa, am et par une dfôite om, mobile auloui- du point o. (Voir la fig. 31, page suivante.)

U étant la surface du triangle oam, h la perpendiculaire abaissée du iwint o sur la base am, et a; cette base, on a généralement.

De là résulte, conformément à la règle 3 du numéro 5,

ù = iî.

Représentons par mmf la vitesse x du point m et achevons le triangle mm'm"y dont les eètés mnif\ m'm" sont respectivement dirigés, Tun perpen-

et, conséquemiuent ,

^y = Acr.

Mais d'un autre côte, si les valeurs extrêmes attribuées à la variable sont X, x' et qu'on prenne op=x, op'==x\ on a, en désignant par mpy mp' les ordonnées correspondantes,

Aff = pmm'p\

Il vient donc aussi comme équivalent géométrique de l'équation (2)

^y = aire (pmm'p').

Fig. 81,

dicalairemeut, l'autre parallèlement à la droite ow. Si nous tirons les droites om\ om'\ il est visible que les triangles omm\ omm'' sont équiyalenls, puisqu'ils ont même base oi», et leurs sommets I»', m" situés sur une même droite parallèle à cette base. De là résulte en premier lieu la conséquence suivante :

La vitesse Û ayant pour expression numérique le produit ^ , on peut la représenter indifféremment par taire de Vun ou Vautre des triangles omm', omm".

Prenons pour expression de la vitesse Ù Taire du triangle omm'^ et observons que, dans ce triangle, la base mm'^ est la vitesse de circulation communiquée au point m par la rotation de la droite om autour du point o.

Soit obn un second triangle limité comme le premier, avec celte seule différence que la droite àm est i-emplacée par la droite bn : nn" étant la vitesse de circulation communiquée au point n par la rotation de la droite om autour du point o , il est clair que la vitesse d'accroissement de l'aire obn est représentée par le triangle omV\ en même temps et de la même manière que la vitesse Ù est représentée par l'aire omm".

Concluons qu'en désignant par g l'aire du quadrilatère awn6, on a, pour expression de la vitesse à, l'aire du trapèze mm'Vn,

Ce résultat est indépendant des directions suivies par les points m et h à l'origine de leur déplacement simultané. 11 s'étend de lui-même au cas oii 4es droites ant; bn seraient remplacées par des courbes quelconques situées