Soit

une fonction quelconque de la variable x. Nous savons qu*en dedans un même plan et passant, Pmie par le point m, Tautre par le point n. Il est donc tout à fait général , et Ton peut, en conséquence, le formuler comme il suit :

Za différentielle de faire engendrée par un segment de droite mobile dans un plan est égaie au produit de ce segment par la vitesse de circulation de son point milieu.

Cet énoncé général comprend le cas particulier oii la droite mobile se meut

par translation. On peut d'ailleurs prendre ce cas à part et le traiter directement.

Soit z une ordonnée mobile dans un plan et limitée par deux droites fixes

ab, cd. L'ordonnée «, représentée par twp, se

^* * meut en restant perpendiculaire à la droite cd,

J^ Elle engendre ainsi Taire trapézoïdale ampc. Soit

/ -m^^y^^ : <y cette aire et li une droite menée par le point m

parallèlement à cd.

^ ^ i L'ordonnée z croît ou décroît selon qu'elle se

I j meut de gauche à droite, ou de droite à gauche

^ au sortir du lieu quelconque mp. Dans le premier

cas, la vitesse à ne peut être inférieure à x.z : elle est donc égale ou supérieure à ce produit. Supposons la i*eprésenlée par (z-^nj) i : i\ en résulte évidemment que, dans le second cas, elle est exprimée en grandeur par (s— )j) X. Cela posé, imaginons qu'après avoir fait croître l'aire a d'une quantité quelconque ^tr, on la fasse décroître de cette même quantité, l'ordonnée z et la vitesse x repassant en sens inverse par les mêmes valeurs. Lhypoihèse admise implique cette conséquence absurde que les longueurs engmidrées simultanément par deux points, respectivement animés, l'un d'une vitesse plus grande (z-^-yi) x, l'autre d'i|iie vitesse moins grande (;s— if) x, sont égales entre elles. Concluons qu'on a nécessairement )} = o, et par suite,

(7 = ZX,

L'extension que cette formule comporle est d'ailleurs évidente.

( 13* ) signant par y, x les différentielles coprespondautes, on a généra - Icracnt

(2) if = i reconsidérées en elles-mêmes, les grandeurs y^ x ne diffèrent en rien des grandeurs ordinaires susceptibles d'être soumises au calcul. On peut donc leur appliquer toutes les déductions qui précèdent et opérer sur elles, par voie de différentiation, comme on la fait d'abord sur les grandeurs données y et x.

Les différentielles des grandeurs y, x, sont dites différentielles du second ordre y par rapport aux grandeurs primitives y, x; on les distingue par un redoublement du point mis en surcharge ou de la lettre d. Il vient ainsi

dy = y = d.dy, rfx = x = rf.rfx,

el plus simplement

dy ^^ y s= d^y ^ di t^ ôt ^bs d^x.

On déduit d'ailleurs de Téquation (2)

f" (x) étant la dérivée de /"' (x) ou, ce qui revient au même, la dérivée seconde de /"(x).

Le même ordre d'idées, constamment poursuivi, conduit des différentielles du second ordre à celles du troisième, de celles-ci aux différentielles du quatrième ordre, et ainsi de suite indéfiniment. Les signes adoptés pour représenter ces différentielles successives résultent d'ailleurs de Tapplication toujours répétée des conventions premières. Il vient ainsi

dy =zy Bss d,dhf «s rf»y, dx es x e» rf.cPx s=ft5 «Px,

vi généralement,

d"y r= dd"-'yy ' rf"x«rf,rf-V,

( ^5» ) On a en même temps, comme conséquence de Tëquation (3),

(4) . . . y=ïf(x) + Sii^n^) + x»/-'"(x),

et ainsi de suite indéfiniment.

31. Lorsque la variable x est indépendante et qu'on en dispose en la faisant croître ou décroître d'une manière uniforme, on a

X == cons**, et par suite

Il vient alors très-simplement

et en général

(5) . . . . d"y t=: X". f"(x) « dx\ f"{x).

De là résulte

le rapport des deux grandeurs d*t/ et c/x* étant précisément égal à la dérivée de Tordre n, f^{x).

Lorsque la variable x n'est pas uniformément croissante ou décroissante, réquation (6) cesse d'être vraie pour toute valeur de n supérieure au nombre 1. Néanmoins on*. est convenu de considérer comme équivalentes les deux expressions f*{x) et (^). En ce cas, il ne f^ut plus voir dans la dernière de ces expressions le quotient des deux grandeurs d"t/ et rfx", mais seulement un symbole ou ces deux grandeurs figurent à la fois, sans pouvoir se séparer Tune de l'autre, et qui, par suite de la convention adoptée, ne représente pas autre chose que la dérivée /""(x).

Du changement de la variable indépendante,

52. On suppose une formule établie dans Fhypothèse où la variable x, considérée comme indépendante, a été assujettie à croître ou à décroître uniformément. Les dérivées successives f\x)y /""(x), /'"(x) etc., entrant comme parties constituantes de la formule dont il s'agit , le problème à résoudre consiste à déterminer les expressions qu'il faut mettre à la place de ces dérivées pour transformer cette même formule et la rendre applicable au cas général où la variable x croît ou décroît d'une manière quelconque.

Partons de Téquation

qui subsiste dans tous les cas. On en déduit par la dilTérentiatiôn

rff (X) = ir>j = rf4 = ^^^ ,

et de là résulte immédiatement

x'y — ifx dx d^y — dy d^x

(2). . . /•» = On a de même

\ , xy — yic 1 dxd*y — dyd^x (3) . f x==-^d—^- =-. d. — ,

et ainsi de suite indéfiniment.

( i37 ) CHAPITRE V.